《數(shù)學(xué)第七章 不等式 7.4 基本不等式及不等式的應(yīng)用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)第七章 不等式 7.4 基本不等式及不等式的應(yīng)用（15頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、7.4 基本不等式及不等式的應(yīng)用高考數(shù)學(xué)高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)一基本不等式考點(diǎn)一基本不等式1.幾個重要不等式(1)a2+b22ab(a,bR).(2)(a,bR+).(3)+2(a,b同號).(4)ab(a,bR).(5)(a,bR+).(6)三角不等式|a|-|b|ab|a|+|b|,2abababba22ab222ab2abab211ab知識清單|a1a2an|a1|+|a2|+|an|.2.利用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)求函數(shù)的最值(1)已知x、yR+,如果積xy是定值P,那么當(dāng)x=y時,和x+y有最小值,是2.(2)已知x、yR+,如果和x+y是定值S,那么當(dāng)x=y時,積xy有最大值,是S2.P14

2、考點(diǎn)二不等式的綜合應(yīng)用考點(diǎn)二不等式的綜合應(yīng)用1.常用的證明方法(1)比較法a.作差比較.如,a、b、m均為正數(shù),且a.基本步驟:作差,變形,定號.b.作商比較.基本步驟:作商,變形,與1比較大小.(2)分析法與綜合法令字母A、A1、A2、An、B分別表示一個不等式,其中B為已知不等式,A為待證不等式.若有AA1A2AnB,綜合法是由B前進(jìn)式地推導(dǎo)A,分析法則是由A倒退式地分析到B.用分析法時,必須步步充分.ambmab(3)反證法從否定結(jié)論出發(fā),經(jīng)過邏輯推理,得出矛盾,證實結(jié)論的否定是錯誤的,從而肯定原結(jié)論正確.(4)放縮法欲證AB,可通過適當(dāng)放大或縮小,借助一個或多個中間量,即BB1,B1B

3、2,BiA或AA1,A1A2,AiB,再利用傳遞性,達(dá)到證明目的.(5)三角代換法如,若x2+y2=1,求證:|x2-2xy-y2|.分析:由于x2+y2=1,故可設(shè)x=cos,y=sin,則|x2-2xy-y2|=|cos2-2sincos-sin2|=.22cos 242(6)基本不等式法使用時要注意條件是否滿足以及等號何時取得.(7)函數(shù)增減性法如,若0u,求證:u+.分析:基本不等式的基本條件不具備,即u=時,u=1,而0b0,am0,則;(2)a,b,c,dR+,則;(3)nN*,-1,-0,b0)定義域內(nèi)不含實數(shù)的類型的最值問題,要會用函數(shù)單調(diào)性求解.例1(2017浙江高考模擬訓(xùn)練

4、沖刺卷四,16)已知a+b=5(a-1,b-2),則+的最大值為.bxba1a 2b方法技巧方法1解題導(dǎo)引把+平方后開方利用基本不等式得最大值檢驗等號成立的條件結(jié)論1a 2b解析a+10,b+20,+=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b+1時取等號,又a+b=5,故當(dāng)a=3,b=2時,+取最大值,最大值為4.1a 2b1 2122aabb 3(12)abab 1a 2b答案4評析本題考查利用基本不等式求最值,平方消去根號,考查化歸轉(zhuǎn)化思想.在解答此類問題時,一定要注意“一正、二定、三相等”的原則. 不等式綜合應(yīng)用的解題策略不等式綜合應(yīng)用的解題策略例2(2017浙江寧波二模(5月),17)若6x2+4y2+6x

5、y=1,x,yR,則x2-y2的最大值為.方法2解題導(dǎo)引導(dǎo)引一:設(shè)x+y=m,x-y=n,將原問題轉(zhuǎn)化為已知4m2+mn+n2=1,求mn的最大值問題利用基本不等式得最大值檢驗等號成立的條件結(jié)論導(dǎo)引二:利用x2-y2=,將x2-y2化為齊次式設(shè)t=,轉(zhuǎn)化為求關(guān)于t的分式函數(shù)的最大值利用判別式求最大值結(jié)論導(dǎo)引三:湊配系數(shù),利用基本不等式求最大值檢驗等號成立的條件結(jié)論2222664xyxxyyyx解析解法一:設(shè)m=x+y,n=x-y,則問題轉(zhuǎn)化為“已知4m2+mn+n2=1,求mn的最大值”.由基本不等式,知1=mn+4m2+n2mn+4|mn|,所以-mn,當(dāng)且僅當(dāng)n=2m,即x=-3y時,取到

6、最大值.解法二(齊次化處理):顯然要使得目標(biāo)函數(shù)取到最大值,x0.令z=x2-y2=,設(shè)t=,則z=,則(4z+1)t2+6zt+6z-1=0對tR有解.1315152222646xyxyxy221646yxyyxx yx221646ttt當(dāng)z=-時,t=-.當(dāng)z-時,=36z2-4(4z+1)(6z-1)0,解得-z.當(dāng)t=-=-時取到最大值.解法三:1=6x2+4y2+6y6x2+4y2-6=5x2-5y2,所以x2-y2,當(dāng)且僅當(dāng)x=-3y時取等號.1453141315341zz 133x322332xy15答案15評析本題考查利用基本不等式求最值,判別式法求最值,湊配系數(shù)法求最值等基礎(chǔ)知識,考查換元法、湊配法、判別式法,以及函數(shù)與方程思想,分類討論思想和化歸與轉(zhuǎn)化思想.