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1、第第2 2講講 數(shù)列求和及簡單應用數(shù)列求和及簡單應用考情分析考情分析年份卷別題號考查內容命題規(guī)律20173,15數(shù)學文化及等比數(shù)列;裂項相消法求和高考中對數(shù)列求和及其簡單應用的考查,主、客觀題均會出現(xiàn),難度中等.考查內容主要有:以等差、等比數(shù)列為載體,考查數(shù)列的通項公式及前n項和;利用遞推關系求數(shù)列的通項公式、前n項和.201517等差數(shù)列的通項公式、裂項相消法求和總綱目錄考點一 利用Sa、an的關系式求an考點二 數(shù)學文化與數(shù)列考點三 數(shù)列求和考點四 數(shù)列中的不等式問題an=11(1),(2).nnS nSSn考點一 利用Sn、an的關系式求an數(shù)列an中,an與Sn的關系:典型例題典型例題

2、(1)已知各項均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項和為Sn,若S1=2,3-2an+1Sn=,則an=.(2)(2017成都第二次診斷性檢測)在數(shù)列an中,a1=1,a1+=an(nN*),則數(shù)列an的通項公式為an=.2nS21na222a323a2nan解析解析(1)由題意可得3-2an+1Sn-=(Sn-an+1)(3Sn+an+1)=0,又an0,所以Sn=an+1,則Sn-1=an(n2),兩式相減并移項得an+1=2an(n2),又S1=a1=a2=2,則an=a22n-2=2n-1(n2),故an=(2)根據(jù)a1+=an,有a1+=an-1(n2),-得=an-an-1(n2)n2an-1

3、=(n2-1)an(n2)=(n2),所以=(n2),所以an=a12nS21na12,1,2,2.nnn222a323a2nan222a323a12(1)nan2nan1nnaa221nn 21aa32aa1nnaa2222122331221nn 2222122331221nn 答案答案(1)(2)12,12,2nnn21nn=(n2).a1=1滿足上式,an=.方法歸納方法歸納給出Sn與an的遞推關系求an的一般思路:一是利用Sn-Sn-1=an(n2)轉化為an的遞推關系,再求其通項公式;二是轉化為Sn的遞推關系,先求出Sn與n之間的關系,再求an.2222234(2 1) (2 1)

4、(3 1) (3 1) (4 1) (4 1)(1) (1)nnn22222341 3 2 4 3 5(1) (1)nnn 21nn21nn跟蹤集訓跟蹤集訓1.若數(shù)列an的前n項和Sn=n2-n+1,則它的通項公式an=.答案答案1(1)22(2)nnn解析解析當n=1時,a1=S1=12-1+1=1,當n2時,an=Sn-Sn-1=(n2-n+1)-(n-1)2-(n-1)+1=2n-2,a1=1不滿足上式,an=1(1),22(2).nnn2.在數(shù)列an中,a1+=2n-1(nN*),則an=.22a33anan答案答案n2n-1解析解析依題意得,數(shù)列的前n項和為2n-1,當n2時,=(2

5、n-1)-(2n-1-1)=2n-1,又=21-1=1=21-1,因此=2n-1(nN*),故an=n2n-1.nannan11anan考點二 數(shù)學文化與數(shù)列典型例題典型例題(2017課標全國,3,5分)我國古代數(shù)學名著算法統(tǒng)宗中有如下問題:“遠望巍巍塔七層,紅光點點倍加增,共燈三百八十一,請問尖頭幾盞燈?”意思是:一座7層塔共掛了381盞燈,且相鄰兩層中的下一層燈數(shù)是上一層燈數(shù)的2倍,則塔的頂層共有燈()A.1盞B.3盞C.5盞D.9盞解析解析由題意可知,由上到下燈的盞數(shù)a1,a2,a3,a7構成以2為公比的等比數(shù)列,S7=381,a1=3.故選B.方法歸納方法歸納與等差數(shù)列一樣,我國古代數(shù)

6、學涉及等比數(shù)列的問題也有很多,因此,涉及等比數(shù)列的數(shù)學文化題也頻繁出現(xiàn)在各級各類考試試卷中.解決這類問題的關鍵是將古代實際問題轉化為現(xiàn)代數(shù)學問題,掌握等比數(shù)列的概念、通項公式和前n項和公式.71(1 2 )1 2a答案答案 B跟蹤集訓跟蹤集訓(2017濰坊二模)中國古代數(shù)學著作算法統(tǒng)宗中有這樣一個問題:“三百七十八里關,初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關,要見次日行里數(shù),請公仔細算相還.”其意思為:“有一個人走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛每天走的路程為前一天的一半,走了6天才到達目的地.”則此人第4天和第5天共走的路程為()A.60里B.48里C.36里D.24里答案

7、答案C由題意知,此人每天走的路程構成公比為的等比數(shù)列.設等比數(shù)列的首項為a1,則有=378,解得a1=192,則a4=192=24,a5=21216112112a184=12,a4+a5=24+12=36,所以此人第4天和第5天共走了36里路,故選C.12考點三 數(shù)列求和典型例題典型例題(2017天津,18,13分)已知an為等差數(shù)列,前n項和為Sn(nN*),bn是首項為2的等比數(shù)列,且公比大于0,b2+b3=12,b3=a4-2a1,S11=11b4.(1)求an和bn的通項公式;(2)求數(shù)列a2nb2n-1的前n項和(nN*).解析解析(1)設等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為

8、q.由已知b2+b3=12,得b1(q+q2)=12,而b1=2,所以q2+q-6=0,解得q=2或q=-3,又因為q0,所以q=2.所以,bn=2n.由b3=a4-2a1,可得3d-a1=8,由S11=11b4,可得a1+5d=16,聯(lián)立,解得a1=1,d=3,由此可得an=3n-2.所以,數(shù)列an的通項公式為an=3n-2,數(shù)列bn的通項公式為bn=2n.(2)設數(shù)列a2nb2n-1的前n項和為Tn,由a2n=6n-2,b2n-1=24n-1,有a2nb2n-1=(3n-1)4n,故Tn=24+542+843+(3n-1)4n,4Tn=242+543+844+(3n-4)4n+(3n-1)

9、4n+1,上述兩式相減,得-3Tn=24+342+343+34n-(3n-1)4n+1=-4-(3n-1)4n+1=-(3n-2)4n+1-8.得Tn=4n+1+.所以,數(shù)列a2nb2n-1的前n項和為4n+1+.12 (1 4 )1 4n323n83323n83方法歸納方法歸納數(shù)列求和最常用的四種方法(1)公式法適合求等差數(shù)列或等比數(shù)列的前n項和,對于等比數(shù)列,利用公式法求和時,一定要注意q是否取1.(2)錯位相減法這是推導等比數(shù)列的前n項和公式時所用的方法,主要用于求數(shù)列anbn的前n項和,其中an、bn分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列.(3)裂項相消法把數(shù)列和式中的各項分別裂開后,消去一部分從而

10、計算和的方法,適用于求數(shù)列的前n項和.若an為等差數(shù)列,d為公差,則=.(4)分組求和法一個數(shù)列既不是等差數(shù)列,也不是等比數(shù)列,若將這個數(shù)列適當拆開,重新組合,就會變成幾個可以求和的部分(即能分別求和),然后再合并.11nna a11nna a1d111nnaa跟蹤集訓跟蹤集訓1.(2017課標全國,15,5分)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,a3=3,S4=10,則=.1nk1kS答案答案 21nn解析解析設公差為d,則an=n.前n項和Sn=1+2+n=,=2,=21-+-+-=2=2=.1123,4610,adad11,1,ad(1)2n n1nS2(1)n n111nn1nk1kS121

11、2131n11n111n1nn21nn2.(2017合肥第一次教學質量檢測)已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足S4=24,S7=63.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若bn=+(-1)nan,求數(shù)列bn的前n項和Tn.2na解析解析(1)an為等差數(shù)列,解得an=2n+1.41714 3424,27 6763,2SadSad13,2,ad(2)bn=+(-1)nan=22n+1+(-1)n(2n+1)=24n+(-1)n(2n+1),Tn=2(41+42+4n)+-3+5-7+9-+(-1)n(2n+1)=+Gn.當n=2k(kN*)時,Gn=2=n,Tn=+n;當n=2k-1(kN*

12、)時,Gn=2-(2n+1)=-n-2,2na8(41)3n2n8(41)3n12nTn=-n-2,Tn=8(41)3nn*n*8(41)(2 ,N ),38(41)2(21,N ).3n nk knnkk考點四 數(shù)列中的不等式問題典型例題典型例題設Sn為數(shù)列an的前n項和,已知a1=2,對任意nN*,都有2Sn=(n+1)an.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)若數(shù)列的前n項和為Tn,求證:Tn0,所以1-1,因為y=在N*上是遞減函數(shù),所以y=1-在N*上是遞增函數(shù),所以當n=1時,Tn取得最小值.4(2)nna a 42 (22)nn 1(1)n n1n11n1121123111nn11

13、n11n11n11n11n12所以Tn0,故q=2,從而an=22n-1,即數(shù)列an的通項公式為an=22n-1.(2)由(1)知數(shù)列an是以2為首項,22為公比的等比數(shù)列,故Sn=(22n-1).因此不等式Sk30(2k+1)可化為(22k-1)30(2k+1),422222nq2221 (2 ) 1 2n23即(2k-1)(2k+1)30(2k+1),因為2k+10,所以2k46,即klog246.又5log2466,所以正整數(shù)k的最小值為6.23231.已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且a1=1,S3=a5.令bn=(-1)n-1an,則數(shù)列bn的前2n項和T2n為()A.-nB.-2

14、nC.nD.2n隨堂檢測隨堂檢測答案答案B設等差數(shù)列an的公差為d,由S3=a5得3a2=a5,3(1+d)=1+4d,解得d=2,an=2n-1,bn=(-1)n-1(2n-1),T2n=1-3+5-7+(4n-3)-(4n-1)=-2n.故選B.2.(2017湖南五市十校聯(lián)考)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,且a1m時,Sn與an的大小關系是()A.SnanD.大小不能確定答案答案C若a10,若d0,數(shù)列是遞減數(shù)列,則Smam,不存在am=Sm.由于a10,當m3時,有am=Sm,因此am0,Sm0,又Sn=Sm+am+1+an,顯然Snan.故選C.3.(2017武漢武昌調研考試)設等差數(shù)

15、列an的前n項和為Sn,已知a1=9,a2為整數(shù),且SnS5,則數(shù)列的前9項和為.11nna a答案答案-19解析解析設等差數(shù)列an的公差為d.由SnS5得又a1=9,得-d-,又a2為整數(shù),d=-2,an=a1+(n-1)d=11-2n,=,數(shù)列的前n項和Tn=,T9=-=-.560,0,aa940,950,dd949511nnaa1d111nnaa11nna a1d12231111111nnaaaaaa1d1111naa121199 194.(2017張掖第一次診斷考試)已知數(shù)列an的前n項和為Sn,若an=-3Sn+4,bn=-log2an+1.(1)求數(shù)列an的通項公式與數(shù)列bn的通項公式;(2)令cn=,其中nN*,記數(shù)列cn的前n項和為Tn,求Tn+的值.12nnb22nn解析解析(1)由題意知a1=1,an=-3Sn+4,an+1=-3Sn+1+4.兩式相減并化簡得an+1=an,an=.bn=-log2an+1=-log2=2n.14114n14n(2)由(1)知cn=.則Tn=+,Tn=+,2nn122223322nn1221232212nn12nn-得,Tn=+-=1-.Tn=2-.可得Tn+=2.121221231212n12nn122nn22nn22nn