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第八章平面解析幾何 第4節(jié)雙曲線 1 了解雙曲線的定義 幾何圖形和標準方程 知道其簡單的幾何性質 范圍 對稱性 頂點 離心率 漸近線 2 了解雙曲線的實際背景及雙曲線的簡單應用 3 理解數(shù)形結合的思想 要點梳理 1 雙曲線的概念平面內動點P與兩個定點F1 F2 F1F2 2c 0 的距離的差的絕對值為常數(shù)2a 2a 2c 則點P的軌跡叫 這兩個定點叫雙曲線的 兩焦點間的距離叫 質疑探究 與兩定點F1 F2的距離之差的絕對值等于常數(shù)2a的動點的軌跡一定為雙曲線嗎 雙曲線 焦點 焦距 提示 只有當0 2a F1F2 時 動點的軌跡才是雙曲線 當2a 0時 動點的軌跡是線段F1F2的中垂線 當2a F1F2 時 動點的軌跡是以F1 F2為端點的兩條射線 當2a F1F2 時 動點的軌跡不存在 2 雙曲線的標準方程和幾何性質 實軸 虛軸 y x 垂直 平分 答案 4x 3y 0或4x 3y 0 典例透析 考向一雙曲線的定義及應用例1 1 2015 陜西師大附中模擬 設過雙曲線x2 y2 9左焦點F1的直線交雙曲線的左支于點P Q F2為雙曲線的右焦點 若 PQ 7 則 F2PQ的周長為 A 19B 26C 43D 50 2 已知圓C1 x 3 2 y2 1和圓C2 x 3 2 y2 9 動圓M同時與圓C1及圓C2相外切 則動圓圓心M的軌跡方程為 思路點撥 1 利用雙曲線定義 PF2 QF2 2a及三角形周長的計算求解 2 根據(jù)雙曲線的定義求軌跡方程 2 如圖所示 設動圓M與圓C1及圓C2分別外切于A和B 根據(jù)兩圓外切的條件 得 MC1 AC1 MA MC2 BC2 MB 因為 MA MB 所以 MC1 AC1 MC2 BC2 即 MC2 MC1 BC2 AC1 2 所以點M到兩定點C1 C2的距離的差是常數(shù)且小于 C1C2 拓展提高 1 涉及到雙曲線上的點到焦點的距離問題時 經?？紤]使用雙曲線的定義 提醒 在 焦點三角形 中 雙曲線的定義與正弦定理 余弦定理經常綜合使用 通常由雙曲線的定義知 PF1 PF2 2a 運用平方的方法 建立它與 PF1 PF2 的聯(lián)系 2 利用定義法求雙曲線的標準方程時 要特別注意條件 差的絕對值 弄清所求軌跡是整條雙曲線 還是雙曲線的一支 答案 1 B 2 A 拓展提高求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數(shù)法 1 若已知雙曲線的焦點位置可設雙曲線的標準方程 再根據(jù)a b c e及漸近線之間的關系 求出a b的值 2 若不能確定焦點位置 則可設雙曲線方程為Ax2 By2 1 A B 0 根據(jù)條件求出A B 答案 A 思維升華 方法與技巧 失誤與防范 4 若利用弦長公式計算 在設直線斜率時要注意說明斜率不存在的情況 5 直線與雙曲線交于一點時 不一定相切 例如 當直線與雙曲線的漸近線平行時 直線與雙曲線相交于一點 但不是相切 反之 當直線與雙曲線相切時 直線與雙曲線僅有一個交點