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2016考向?qū)Ш?專(zhuān)題二函數(shù)的圖象與性質(zhì) 專(zhuān)題二函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1 必記概念與定理 1 單調(diào)性如果對(duì)于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1 x2 且x1f x2 成立 則f x 在D上是減函數(shù) 2 奇偶性對(duì)于定義域內(nèi)的任意x 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 都有f x f x 成立 則f x 為奇函數(shù) 都有f x f x 成立 則f x 為偶函數(shù) 3 周期性周期函數(shù)f x 的最小正周期T必須滿足下列兩個(gè)條件 當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí) 都有f x T f x T是不為零的最小正數(shù) 2 活用公式與結(jié)論 1 函數(shù)的周期性 若函數(shù)f x 滿足f x a f x a 則f x 為周期函數(shù) 2a是它的一個(gè)周期 設(shè)f x 是R上的偶函數(shù) 且圖象關(guān)于直線x a a 0 對(duì)稱(chēng) 則f x 是周期函數(shù) 2a是它的一個(gè)周期 設(shè)f x 是R上的奇函數(shù) 且圖象關(guān)于直線x a a 0 對(duì)稱(chēng) 則f x 是周期函數(shù) 4a是它的一個(gè)周期 3 辨明易錯(cuò)易混點(diǎn) 1 單調(diào)性是函數(shù)在其定義域上的局部性質(zhì) 奇偶性 周期性是函數(shù)在其定義域上的整體性質(zhì) 2 求函數(shù)單調(diào)區(qū)間時(shí) 多個(gè)單調(diào)區(qū)間之間不能用符號(hào) 和 或 連接 可用 及 連接或用 隔開(kāi) 單調(diào)區(qū)間必須是 區(qū)間 而不能用集合或不等式代替 3 判斷函數(shù)的奇偶性 要注意定義域必須關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 有時(shí)還要對(duì)函數(shù)式化簡(jiǎn)整理 但必須注意使定義域不受影響 4 分段函數(shù)是在其定義域的不同子集上 分別用不同的式子來(lái)表示對(duì)應(yīng)關(guān)系的函數(shù) 它是一個(gè)函數(shù) 而不是幾個(gè)函數(shù) 考點(diǎn)一函數(shù)的解析式與函數(shù)值 C 名師點(diǎn)評(píng) 分段函數(shù)的函數(shù)值的求法 要先判斷分段的條件對(duì)應(yīng)的變量范圍 然后代入相應(yīng)的函數(shù)解析式進(jìn)行求值 D 1 設(shè)f log2x 2x x 0 則f 2 的值是 A 128B 16C 8D 256解析 令log2x 2得x 4 f 2 24 16 B 2 設(shè)函數(shù)f x asinx x2 若f 1 0 則f 1 的值為 A 0B 1C 2D 1解析 f 1 0 asin1 12 0 即asin1 1 f 1 asin 1 1 2 asin1 1 2 C 考點(diǎn)二函數(shù)的單調(diào)性 8 名師點(diǎn)評(píng) 1 利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行轉(zhuǎn)化是求變量范圍的有效方法 2 可借助數(shù)形結(jié)合思想列式求解 B 1 如果奇函數(shù)f x 在區(qū)間 3 7 上是增函數(shù)且最小值為5 那么在區(qū)間 7 3 上是 A 增函數(shù)且最小值為 5B 增函數(shù)且最大值為 5C 減函數(shù)且最小值為 5D 減函數(shù)且最大值為 5解析 由奇函數(shù)f x 在區(qū)間 3 7 上是增函數(shù)且最小值為5 得在區(qū)間 7 3 上是增函數(shù)且最大值為 5 故選B B B 解析 依題意 函數(shù)f x 在 0 上是減函數(shù) 由0f 2 f 3 又f 2 f 2 因此f 1 f 2 f 3 故選A A 考點(diǎn)三函數(shù)的奇偶性 1 名師點(diǎn)評(píng) 1 若f x 是奇函數(shù) 則f x f x 函數(shù)圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng) 若f x 是偶函數(shù) 則f x f x 函數(shù)圖象關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng) 2 當(dāng)奇函數(shù)y f x 在x 0處有意義時(shí) f 0 0 1 B 2 已知f x g x 是定義在R上的函數(shù) h x f x g x 則 f x g x 均為偶函數(shù) 是 h x 為偶函數(shù) 的 A 充要條件B 充分不必要條件C 必要不充分條件D 既不充分也不必要條件解析 一方面 若f x g x 均為偶函數(shù) 則f x f x g x g x 因此 h x f x g x f x g x h x h x 是偶函數(shù) B 另一方面 若h x 是偶函數(shù) 但f x g x 不一定均為偶函數(shù) 事實(shí)上 若f x g x 均為奇函數(shù) h x 也是偶函數(shù) 因此 f x g x 均為偶函數(shù) 是 h x 為偶函數(shù) 的充分不必要條件 故選B 3 若f x ex e x ax2 bx c 是偶函數(shù) 則一定有 A b 0B ac 0C a 0且c 0D a 0 c 0且b 0解析 設(shè)函數(shù)g x ex e x g x e x ex g x g x 是奇函數(shù) f x g x ax2 bx c 是偶函數(shù) h x ax2 bx c為奇函數(shù) 即h x h x 0恒成立 有ax2 c 0恒成立 a c 0 當(dāng)a c b 0時(shí) f x 0 也是偶函數(shù) 選C C 考點(diǎn)四函數(shù)的最值 經(jīng)典考題 若函數(shù)f x 1 x2 x2 ax b 的圖象關(guān)于直線x 2對(duì)稱(chēng) 則f x 的最大值為 解析 點(diǎn) 1 0 1 0 在f x 的圖象上 且圖象關(guān)于直線x 2對(duì)稱(chēng) 點(diǎn) 5 0 3 0 必在f x 的圖象上 f 5 1 25 25 5a b 0 f 3 1 9 9 3a b 0 16 聯(lián)立 解得a 8 b 15 f x 1 x2 x2 8x 15 x 1 x 1 x 3 x 5 x2 4x 3 x2 4x 5 令t x2 4x x 2 2 4 4 則g t t 3 t 5 t2 2t 15 t 1 2 16 16 t 1 2 當(dāng)t 1時(shí) f x max 16 名師點(diǎn)評(píng) 1 利用函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性 求出函數(shù)的解析式 2 將函數(shù)變型轉(zhuǎn)化成基本初等函數(shù)是求函數(shù)最值的常用方法 解析 由于圖象關(guān)于x 0對(duì)稱(chēng) 所以求得a 0 此時(shí)f x x4 b 1 x2 b f x 4x3 2 b 1 x 當(dāng)b 1時(shí) f x 在 0 上遞減 在 0 上遞增 此時(shí)f x 無(wú)極大值 4 解析 f x ex e x 2 2 f x min 2 C C 解析 因?yàn)楫?dāng)x 1時(shí) 2x 2恒成立 所以要使函數(shù)的最小值為2 則必須有當(dāng)x 1 a 由 1 a 2得a 3 3 考點(diǎn)五函數(shù)的周期性 若定義在R上的偶函數(shù)f x 的周期T 2 x 0 1 時(shí) f x x 則方程f x log3 x 的根的個(gè)數(shù)是 A 2B 3C 4D 6 解析 由于f x 是偶函數(shù) 且周期T 2 畫(huà)出y f x 的圖象與y log3 x 的圖象 如圖共有4個(gè)交點(diǎn) 故選C C 名師點(diǎn)評(píng) 根據(jù)函數(shù)的周期性的特點(diǎn) 作出函數(shù)的簡(jiǎn)圖是解決有關(guān)周期性函數(shù)的有效方法 本問(wèn)題中 f x 是奇函數(shù) x 0 1 時(shí) f x x f 0 f 1 0 其他條件不變 根有 個(gè) 其他條件不變 方程g x lnx的根有 個(gè) 4 1 1 設(shè)f x 是周期為4的奇函數(shù) 當(dāng)0 x 2時(shí) f x x 2 x 則f 5 等于 A 1B 1C 3D 3解析 因?yàn)閒 x 是周期為4的奇函數(shù) 所以f 5 f 5 4 f 1 f 1 1 2 1 1 故選B B D 解析 由條件易知 函數(shù)f x 為奇函數(shù) 且是周期為4的周期函數(shù) 因?yàn)閘og232 log220 log216 所以4 log220 5 所以0 log220 4 1 A 考點(diǎn)六函數(shù)的圖象 2015 高考全國(guó)卷 5分 如圖 長(zhǎng)方形ABCD的邊AB 2 BC 1 O是AB的中點(diǎn) 點(diǎn)P沿著邊BC CD與DA運(yùn)動(dòng) 記 BOP x 將動(dòng)點(diǎn)P到A B兩點(diǎn)距離之和表示為x的函數(shù)f x 則y f x 的圖象大致為 B 名師點(diǎn)評(píng) 判斷函數(shù)的圖象的兩種方法 1 根據(jù)函數(shù)的解析式描繪大致圖象 有時(shí)根據(jù)一些特殊點(diǎn)進(jìn)行判斷 2 根據(jù)運(yùn)動(dòng)變化的趨勢(shì)走向描繪大致圖象 有時(shí)取特殊位置 如圖 長(zhǎng)方形ABCD的邊AB 2 BC 1 O是AB的中點(diǎn) 點(diǎn)P沿著B(niǎo)C CD與DA運(yùn)動(dòng) 記 BOP x 將 POB的面積表示為x的函數(shù) 則y f x 的大致圖象為 C 1 如圖 直線l和圓C 當(dāng)l從l0開(kāi)始在平面上繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较騽蛩俎D(zhuǎn)動(dòng) 轉(zhuǎn)動(dòng)角度不超過(guò)90 時(shí) 它掃過(guò)的圓內(nèi)陰影部分的面積S是時(shí)間t的函數(shù) 這個(gè)函數(shù)的大致圖象是 C 解析 隨著時(shí)間的增長(zhǎng) 直線被圓截得的弦長(zhǎng)先慢慢增加到直徑 再慢慢減小 所以圓內(nèi)陰影部分的面積增加速度先越來(lái)越快 然后越來(lái)越慢 反映在圖象上面 則先由平緩變陡 再由陡變平緩 結(jié)合圖象知 選C A 3 如圖 OAB是邊長(zhǎng)為a的正三角形 記 OAB位于直線x t 0 x a 左側(cè)的圖形的面積為f t 則函數(shù)y f t 的大致圖象是 C