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專題一 第四講 思想方法概述 應用角度例析 通法歸納領悟 專題專項訓練 角度一 角度二 角度三 角度四 1 轉化與化歸思想的含義轉化與化歸思想方法 就是在研究和解決有關數學問題時 采用某種手段將問題通過變換使之轉化 進而使問題得到解決的一種數學方法 一般是將復雜的問題通過變換轉化為簡單的問題 將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題 將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題 2 轉化與化歸的常見方法 1 直接轉化法 把原問題直接轉化為基本定理 基本公式或基本圖形問題 2 換元法 運用 換元 把式子轉化為有理式或使整式降冪等 把較復雜的函數 方程 不等式問題轉化為易于解決的基本問題 3 數形結合法 研究原問題中數量關系 解析式 與空間形式 圖形 關系 通過互相變換獲得轉化途徑 4 等價轉化法 把原問題轉化為一個易于解決的等價問題 以達到化歸的目的 5 特殊化方法 把原問題的形式向特殊化形式轉化 并證明特殊化后的問題的結論適合原問題 6 構造法 構造 一個合適的數學模型 把問題變?yōu)橐子诮鉀Q的問題 7 坐標法 以坐標系為工具 用計算方法解決幾何問題是轉化方法的一個重要途徑 8 類比法 運用類比推理 猜測問題的結論 易于探求 9 參數法 引進參數 使原問題轉化為熟悉的問題進行解決 10 補集法 如果正面解決原問題有困難 可把原問題的結果看作集合A 而把包含該問題的整體問題的結果類比為全集U 通過解決全集U及補集 UA使原問題獲得解決 體現了正難則反的原則 一般與特殊的轉化 1 有些數學題具有一般性 有的具有特殊性 解題時 有時需要把一般問題化為特殊問題 有時需要把特殊問題化為一般問題 其模式是 首先假設使問題特殊 或一般 化 降低難度 然后再解這個特殊 或一般 性的問題 從而使原問題獲解 2 本例是用特殊法求解 簡單 迅速 當選擇題或填空題的結論唯一或其值為定值時 我們只要把題中的參變量用特殊值代替 即一般化為特殊 即可得到結論 1 2012 江西高考 等比數列 an 的前n項和為Sn 公比不為1 若a1 1 則對任意的n N 都有an 2 an 1 2an 0 則S5 答案 11 答案 1 例2 1 2012 青島模擬 設x y為實數 若4x2 y2 xy 1 則2x y的最大值是 2 若關于x的方程9x 4 a 3x 4 0有解 則實數a的取值范圍是 思路點撥 1 可利用不等式將方程轉化為只含2x y的不等式求解 但要注意取等號的充要條件 2 可采用換元法 令t 3x 將問題轉化為關于t的方程有正解進行解決 等與不等的轉化 等與不等是數學解題中矛盾的兩個方面 但是它們在一定的條件下可以相互轉化 例如本例 表面看來似乎只具有相等的數量關系 且根據這些相等關系很難解決 但是通過挖掘其中的不等量關系 轉化為不等式 組 來求解 則顯得非常簡捷有效 例3 2012 北京高考 已知f x m x 2m x m 3 g x 2x 2 若 x R f x 0或g x 0 則m的取值范圍是 思路點撥 根據題意 可將問題轉化為g x 0的解集的補集是f x 0的解集的子集求解 解析 由題易知當x 1時 g x 0 故要使對 x R f x 0或g x 0 只需在x 1時 f x 0恒成立即可 正向與逆向的轉化 當m 0時 f x 0時 f x 0 因為x 1 2m 0 所以x 2m 0 于是不等式轉化為m x 3 又x 1時 x 3 4 所以要使m x 3在x 1時恒成立 只需m 4 故 4 m 0 綜上 4 m 0 答案 4 0 正難則反 利用補集求得其解 這就是補集思想 一種充分體現對立統(tǒng)一 相互轉化的思想方法 一般地 題目若出現多種成立的情形 則不成立的情形相對很少 從反面考慮較簡單 因此 間接法多用于含有 至多 至少 情形的問題中 4 由命題 存在x R 使e x 1 m 0 是假命題 得m的取值范圍是 a 則實數a的取值是 A 1 B 2 C 1D 2解析 選命題 存在x R 使e x 1 m 0 是假命題 可知它的否定形式 任意x R 使e x 1 m 0 是真命題 可得m的取值范圍是 1 而 a 與 1 為同一區(qū)間 故a 1 C 5 若二次函數f x 4x2 2 p 2 x 2p2 p 1 在區(qū)間 1 1 內至少存在一個值c 使得f c 0 則實數p的取值范圍是 例4 對于滿足0 p 4的所有實數p 使不等式x2 px 4x p 3成立的x的取值范圍是 思路點撥 本題若按常規(guī)法視x為主元來解 需要分類討論 這樣會很繁瑣 若以p為主元 即可將原問題化歸為在區(qū)間 0 4 上 一次函數f p x 1 p x2 4x 3 0成立的x的取值范圍 這樣 借助一次函數的單調性就很容易使問題得以解決 常量與變量的轉化 答案 1 3 在處理多變元的數學問題時 我們可以選取其中的常數 或參數 將其看做是 主元 而把其它變元看做是常量 從而達到減少變元簡化運算的目的 6 設f x 是定義在R上的單調增函數 若f 1 ax x2 f 2 a 對任意a 1 1 恒成立 求x的取值范圍 化歸與轉化 還有 數與形的轉化 數學各分支之間的轉化 等 應用時還應遵循以下五條原則 1 熟悉化原則將陌生的問題轉化為熟悉的問題 以利于運用熟知的知識和經驗來解答問題 2 簡單化原則將復雜的問題轉化為簡單的問題 通過對簡單問題的解決 達到解決復雜問題的目的 或獲得某種解題的啟示和依據 3 和諧化原則轉化問題的條件或結論 使其表現形式更符合數與形內部所表示的和諧統(tǒng)一的形式 或者轉化命題 使其推演有利于運用某種數學方法或符合人們的思維規(guī)律 4 直觀化原則將比較抽象的問題轉化為比較直觀的問題來解決 5 正難則反原則當問題正面討論遇到困難時 應想到考慮問題的反面 設法從問題的反面去探求 使問題獲得解決 或證明問題的可能性 總之 化歸與轉化是高中數學的一種重要思想方法 掌握好化歸與轉化的思想方法的特點 題型 方法 要素 原則對我們學習數學是非常有幫助的