《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 第5節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法課件 理 新人教A版.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 第5節(jié) 數(shù)學(xué)歸納法課件 理 新人教A版.ppt（50頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

理 第5節(jié)數(shù)學(xué)歸納法 了解數(shù)學(xué)歸納法的原理 能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題 整合 主干知識(shí) 數(shù)學(xué)歸納法一般地 證明一個(gè)與正整數(shù)n有關(guān)的命題 可按下列步驟進(jìn)行 1 歸納奠基 證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0 n0 N 時(shí)命題成立 2 歸納遞推 假設(shè)當(dāng)n k k N k n0 時(shí)命題成立 推出當(dāng) 時(shí)命題也成立 只要完成這兩個(gè)步驟 就可以斷定命題對(duì)n取第一個(gè)值后面的所有正整數(shù)都成立 上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法 n k 1 質(zhì)疑探究2 數(shù)學(xué)歸納法兩個(gè)步驟有什么關(guān)系 提示 數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想 第一步是遞推的基礎(chǔ) 第二步是遞推的依據(jù) 兩個(gè)步驟缺一不可 否則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤 1 第一步中 驗(yàn)算n n0中的n0不一定為1 根據(jù)題目要求 有時(shí)可為2或3等 2 第二步中 證明n k 1時(shí)命題成立的過程中 一定要用到歸納假設(shè) 掌握 一湊假設(shè) 二湊結(jié)論 的技巧 解析 觀察等式左邊的特征易知選C 答案 C 解析 因?yàn)榧僭O(shè)n k k 2且k為偶數(shù) 故下一個(gè)偶數(shù)為k 2 答案 B 解析 從n到n2共有n2 n 1個(gè)數(shù) 所以f n 中共有n2 n 1項(xiàng) 答案 D 4 凸k邊形內(nèi)角和為f k 則凸k 1邊形的內(nèi)角和為f k 1 f k 解析 易得f k 1 f k 答案 答案 2k 聚集 熱點(diǎn)題型 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 拓展提高 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明等式問題是常見題型 其關(guān)鍵點(diǎn)在于弄清等式兩邊的構(gòu)成規(guī)律 等式兩邊各有多少項(xiàng) 初始值n0是幾 2 由n k到n k 1時(shí) 除等式兩邊變化的項(xiàng)外還要充分利用n k時(shí)的式子 即充分利用假設(shè) 正確寫出歸納證明的步驟 從而使問題得以證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 拓展提高 1 用數(shù)學(xué)歸納法證明與n有關(guān)的不等式一般有兩種具體形式 一是直接給出不等式 按要求進(jìn)行證明 二是給出兩個(gè)式子 按要求比較它們的大小 對(duì)第二類形式往往要先對(duì)n取前幾個(gè)值的情況分別驗(yàn)證比較 以免出現(xiàn)判斷失誤 最后猜出從某個(gè)n值開始都成立的結(jié)論 常用數(shù)學(xué)歸納法證明 2 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是由n k時(shí)成立得n k 1時(shí)成立 主要方法有 放縮法 利用均值不等式法 作差比較法等 典例賞析3 用數(shù)學(xué)歸納法證明42n 1 3n 2能被13整除 其中n為正整數(shù) 思路索引 當(dāng)n k 1時(shí) 把42 k 1 1 3k 3配湊成42k 1 3k 2的形式是解題的關(guān)鍵 證明 1 當(dāng)n 1時(shí) 42 1 1 31 2 91能被13整除 2 假設(shè)當(dāng)n k時(shí) 42k 1 3k 2能被13整除 則當(dāng)n k 1時(shí) 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性問題 方法一42 k 1 1 3k 3 42k 1 42 3k 2 3 42k 1 3 42k 1 3 42k 1 13 3 42k 1 3k 2 42k 1 13能被13整除 42k 1 3k 2能被13整除 42 k 1 1 3k 3能被13整除 方法二因?yàn)?42 k 1 1 3k 3 3 42k 1 3k 2 42k 1 42 3k 2 3 3 42k 1 3k 2 42k 1 13 42k 1 13能被13整除 42 k 1 1 3k 3 3 42k 1 3k 2 能被13整除 因而42 k 1 1 3k 3能被13整除 當(dāng)n k 1時(shí)命題也成立 由 1 2 知 當(dāng)n N 時(shí) 42n 1 3n 2能被13整除 拓展提高 用數(shù)學(xué)歸納法證明整除問題 P k P k 1 的整式變形是個(gè)難點(diǎn) 找出它們之間的差異 然后將P k 1 進(jìn)行分拆 配湊成P k 的形式 也可運(yùn)用結(jié)論 P k 能被p整除且P k 1 P k 能被p整除 P k 1 能被p整除 變式訓(xùn)練 3 已知n為正整數(shù) a Z 用數(shù)學(xué)歸納法證明 an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 證明 1 當(dāng)n 1時(shí) an 1 a 1 2n 1 a2 a 1 能被a2 a 1整除 2 假設(shè)n k時(shí) ak 1 a 1 2k 1能被a2 a 1整除 那么當(dāng)n k 1時(shí) ak 2 a 1 2k 1 a 1 2 ak 1 a 1 2k 1 ak 2 ak 1 a 1 2 a 1 2 ak 1 a 1 2k 1 ak 1 a2 a 1 能被a2 a 1整除 即當(dāng)n k 1時(shí)命題也成立 根據(jù) 1 2 可知 對(duì)于任意n N an 1 a 1 2n 1能被a2 a 1整除 思路索引 關(guān)鍵是搞清n k到n k 1時(shí)對(duì)角線增加的條數(shù) 看頂點(diǎn)的變化可知對(duì)角線的變化從而可解 證明 因?yàn)槿切螞]有對(duì)角線 所以n 3時(shí) f 3 0 命題成立 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題 拓展提高 用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的關(guān)鍵是 找項(xiàng) 即幾何元素從k個(gè)變成k 1個(gè)時(shí) 所證的幾何量將增加多少 這需用到幾何知識(shí)或借助于幾何圖形來分析 事實(shí)上 將n k 1和n k分別代入所證的式子 然后作差 即可求出增加量 這也是用數(shù)學(xué)歸納法證明幾何問題的一大技巧 變式訓(xùn)練 4 平面上有n個(gè)圓 每?jī)蓤A交于兩點(diǎn) 每三圓不過同一點(diǎn) 求證這n個(gè)圓分平面為n2 n 2個(gè)部分 證明 1 當(dāng)n 1時(shí) n2 n 2 1 1 2 2 而一圓把平面分成兩部分 所以n 1命題成立 2 設(shè)n k時(shí) k個(gè)圓分平面為k2 k 2個(gè)部分 則n k 1時(shí) 第k 1個(gè)圓與前k個(gè)圓有2k個(gè)交點(diǎn) 這2k個(gè)交點(diǎn)分第k 1個(gè)圓為2k段 每一段都將原來所在的平面一分為二 故增加了2k個(gè)平面塊 共有 k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2個(gè)部分 對(duì)n k 1也成立 由 1 2 可知 這n個(gè)圓分割平面為n2 n 2個(gè)部分 備課札記 提升 學(xué)科素養(yǎng) 理 歸納 猜想 證明 審題視角 1 將n 1 2 3代入已知等式得a1 a2 a3 從而可猜想an 并用數(shù)學(xué)歸納法證明 2 利用分析法 結(jié)合x 0 y 0 x y 1 利用基本不等式可證 溫馨提醒 1 利用數(shù)學(xué)歸納法可以探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題 存在性問題 其基本模式是 歸納 猜想 證明 即先由合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論 然后經(jīng)邏輯推理即演繹推理論證結(jié)論的正確性 2 為了正確地猜想an 首先準(zhǔn)確求出a1 a2 a3的值 1 一種方法數(shù)學(xué)歸納法是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法 主要用于解決與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題 證明時(shí)步驟 1 和 2 缺一不可 步驟 1 是步驟 2 的基礎(chǔ) 步驟 2 是遞推的依據(jù) 2 兩點(diǎn)注意 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)注意 1 第一步驗(yàn)證n n0時(shí) n0不一定為1 要根據(jù)題目要求選擇合適的起始值 2 由n k時(shí)命題成立 證明n k 1時(shí)命題成立的過程中 一定要?dú)w納假設(shè) 否則就不是數(shù)學(xué)歸納法