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第3講統(tǒng)計與統(tǒng)計案例 專題七概率與統(tǒng)計 高考真題體驗 熱點分類突破 高考押題精練 欄目索引 高考真題體驗 1 2 3 4 1 2014 湖南 對一個容量為N的總體抽取容量為n的樣本 當選取簡單隨機抽樣 系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時 總體中每個個體被抽中的概率分別為p1 p2 p3 則 A p1 p2 p3B p2 p3 p1C p1 p3 p2D p1 p2 p3解析由于三種抽樣過程中 每個個體被抽到的概率都是相等的 因此p1 p2 p3 D 1 2 3 4 2 2015 福建 為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關系 隨機調查了該社區(qū)5戶家庭 得到如下統(tǒng)計數據表 1 2 3 4 A 11 4萬元B 11 8萬元C 12 0萬元D 12 2萬元 1 2 3 4 答案B 1 2 3 4 3 2014 天津 某大學為了解在校本科生對參加某項社會實踐活動的意向 擬采用分層抽樣的方法 從該校四個年級的本科生中抽取一個容量為300的樣本進行調查 已知該校一年級 二年級 三年級 四年級的本科生人數之比為4 5 5 6 則應從一年級本科生中抽取 名學生 60 1 2 3 4 4 2014 江蘇 為了了解一片經濟林的生長情況 隨機抽測了其中60株樹木的底部周長 單位 cm 所得數據均在區(qū)間 80 130 上 其頻率分布直方圖如圖所示 則在抽測的60株樹木中 有 株樹木的底部周長小于100cm 1 2 3 4 解析底部周長在 80 90 的頻率為0 015 10 0 15 底部周長在 90 100 的頻率為0 025 10 0 25 樣本容量為60 所以樹木的底部周長小于100cm的株數為 0 15 0 25 60 24 答案24 考情考向分析 1 以選擇題 填空題的形式考查隨機抽樣 樣本的數字特征 統(tǒng)計圖表 回歸方程 獨立性檢驗等 2 在概率與統(tǒng)計的交匯處命題 以解答題中檔難度出現(xiàn) 熱點一抽樣方法 熱點分類突破 1 簡單隨機抽樣特點是從總體中逐個抽取 適用范圍 總體中的個體較少 2 系統(tǒng)抽樣特點是將總體均分成幾部分 按事先確定的規(guī)則在各部分中抽取 適用范圍 總體中的個體數較多 3 分層抽樣特點是將總體分成幾層 分層進行抽取 適用范圍 總體由差異明顯的幾部分組成 例1 1 某月月底 某商場想通過抽取發(fā)票存根的方法估計該月的銷售總額 先將該月的全部銷售發(fā)票的存根進行了編號 1 2 3 然后擬采用系統(tǒng)抽樣的方法獲取一個樣本 若從編號為1 2 3 10的前10張發(fā)票的存根中隨機抽取1張 然后再按系統(tǒng)抽樣的方法依編號順序逐次產生第2張 第3張 第4張 則抽樣中產生的第2張已編號的發(fā)票存根 其編號不可能是 A 13B 17C 19D 23 解析因為第一組的編號為1 2 3 10 所以根據系統(tǒng)抽樣的定義可知第二組的編號為11 12 13 20 故第2張已編號的發(fā)票存根的編號不可能為23 答案D 2 為了研究霧霾天氣的治理 某課題組對部分城市進行空氣質量調查 按地域特點把這些城市分成甲 乙 丙三組 已知三組城市的個數分別為4 y z 依次構成等差數列 且4 y z 4成等比數列 若用分層抽樣抽取6個城市 則乙組中應抽取的城市個數為 解得z 12 或z 4 舍去 故y 8 所以甲 乙 丙三組城市的個數分別為4 8 12 答案2 思維升華 1 隨機抽樣各種方法中 每個個體被抽到的概率都是相等的 2 系統(tǒng)抽樣又稱 等距 抽樣 被抽到的各個號碼間隔相同 3 分層抽樣滿足 各層抽取的比例都等于樣本容量在總體容量中的比例 跟蹤演練1 1 總體由編號為01 02 19 20的20個個體組成 利用下面的隨機數表選取5個個體 選取方法是從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字 則選出來的第5個個體的編號為 A 08B 07C 02D 01 解析從隨機數表第1行的第5列和第6列數字開始由左到右依次選取兩個數字中小于20的編號依次為08 02 14 07 02 01 其中第二個和第四個都是02 重復 去掉第四個02 得對應的數值為08 02 14 07 01 所以第5個個體編號為01 故選D 答案D 2 2014 廣東 已知某地區(qū)中小學生人數和近視情況分別如圖 和圖 所示 為了解該地區(qū)中小學生的近視形成原因 用分層抽樣的方法抽取2 的學生進行調查 則樣本容量和抽取的高中生近視人數分別為 A 200 20B 100 20C 200 10D 100 10 解析該地區(qū)中 小學生總人數為3500 2000 4500 10000 則樣本容量為10000 2 200 其中抽取的高中生近視人數為2000 2 50 20 故選A 答案A 熱點二用樣本估計總體 2 頻率分布直方圖中各小長方形的面積之和為1 3 利用頻率分布直方圖求眾數 中位數與平均數利用頻率分布直方圖求眾數 中位數和平均數時易出錯 應注意區(qū)分這三者 在頻率分布直方圖中 1 最高的小長方形底邊中點的橫坐標即是眾數 2 中位數左邊和右邊的小長方形的面積和是相等的 3 平均數是頻率分布直方圖的 重心 等于頻率分布直方圖中每個小長方形的面積乘以小長方形底邊中點的橫坐標之和 例2 1 2015 湖北 某電子商務公司對10000名網絡購物者2014年度的消費情況進行統(tǒng)計 發(fā)現(xiàn)消費金額 單位 萬元 都在區(qū)間 0 3 0 9 內 其頻率分布直方圖如圖所示 直方圖中的a 在這些購物者中 消費金額在區(qū)間 0 5 0 9 內的購物者的人數為 解析由頻率分布直方圖及頻率和等于1可得0 2 0 1 0 8 0 1 1 5 0 1 2 0 1 2 5 0 1 a 0 1 1 解得a 3 于是消費金額在區(qū)間 0 5 0 9 內頻率為0 2 0 1 0 8 0 1 2 0 1 3 0 1 0 6 所以消費金額在區(qū)間 0 5 0 9 內的購物者的人數為0 6 10000 6000 答案 3 6000 2 2014 陜西 設樣本數據x1 x2 x10的均值和方差分別為1和4 若yi xi a a為非零常數 i 1 2 10 則y1 y2 y10的平均數和方差分別為 A 1 a 4B 1 a 4 aC 1 4D 1 4 a 所以y1 y2 y10的平均數為1 a 方差不變仍為4 故選A A 思維升華 1 反映樣本數據分布的主要方式 頻率分布表 頻率分布直方圖 莖葉圖 關于頻率分布直方圖要明確每個小矩形的面積即為對應的頻率 其高低能夠描述頻率的大小 高考中常?？疾轭l率分布直方圖的基本知識 同時考查借助頻率分布直方圖估計總體的概率分布和總體的特征數 具體問題中要能夠根據公式求解數據的平均數 眾數和中位數 方差等 2 由樣本數據估計總體時 樣本方差越小 數據越穩(wěn)定 波動越小 跟蹤演練2 1 某商場在慶元宵促銷活動中 對元宵節(jié)9時至14時的銷售額進行統(tǒng)計 其頻率分布直方圖如圖所示 已知9時至10時的銷售額為2 5萬元 則11時至12時的銷售額為 萬元 解析設11時至12時的銷售額為x萬元 答案10 2 PM2 5是指大氣中直徑小于或等于2 5微米的顆粒物 也稱為可入肺顆粒物 如圖是根據某地某日早7點至晚8點甲 乙兩個PM2 5監(jiān)測點統(tǒng)計的數據 單位 毫克 每立方米 列出的莖葉圖 則甲 乙兩地濃度的方差較小的是 A 甲B 乙C 甲乙相等D 無法確定 所以甲 乙兩地濃度的方差較小的是甲地 答案A 熱點三統(tǒng)計案例 1 線性回歸方程 2 隨機變量 例3 1 2015 北京 高三年級267位學生參加期末考試 某班37位學生的語文成績 數學成績與總成績在全年級中的排名情況如圖所示 甲 乙 丙為該班三位學生 從這次考試成績看 在甲 乙兩人中 其語文成績名次比其總成績名次靠前的學生是 解析由散點圖可知 越靠近坐標原點O名次越好 乙同學語文成績好 而總成績年級名次靠后 而甲同學語文成績名次比總成績名次差 所以應是乙同學語文成績名次比總成績名次靠前 乙 在語文和數學兩個科目中 丙同學的成績名次更靠前的科目是 解析丙同學總成績年級名次比數學成績年級名次差 所以丙同學成績名次更靠前的是數學 數學 2 2014 江西 某人研究中學生的性別與成績 視力 智商 閱讀量這4個變量的關系 隨機抽查52名中學生 得到統(tǒng)計數據如表1至表4 則與性別有關聯(lián)的可能性最大的變量是 表1 表2 表3 表4 A 成績B 視力C 智商D 閱讀量 解析根據數據求出K2的值 再進一步比較大小 A中 a 6 b 14 c 10 d 22 a b 20 c d 32 a c 16 b d 36 n 52 B中 a 4 b 16 c 12 d 20 a b 20 c d 32 a c 16 b d 36 n 52 C中 a 8 b 12 c 8 d 24 a b 20 c d 32 a c 16 b d 36 n 52 D中 a 14 b 6 c 2 d 30 a b 20 c d 32 a c 16 b d 36 n 52 與性別有關聯(lián)的可能性最大的變量是閱讀量 答案D 思維升華 2 獨立性檢驗問題 要確定2 2列聯(lián)表中的對應數據 然后代入K2取值范圍求解即可 跟蹤演練3 1 某單位為了解用電量y 度 與氣溫x 之間的關系 隨機統(tǒng)計了某4天的用電量與當天氣溫 并制作了對照表 A 65B 66C 67D 68 答案D 2 春節(jié)期間 厲行節(jié)約 反對浪費 之風悄然吹開 某市通過隨機詢問100名性別不同的居民是否能做到 光盤 行動 得到如下的列聯(lián)表 附 參照附表 得到的正確結論是 A 在犯錯誤的概率不超過1 的前提下 認為 該市居民能否做到 光盤 與性別有關 B 在犯錯誤的概率不超過1 的前提下 認為 該市居民能否做到 光盤 與性別無關 C 有90 以上的把握認為 該市居民能否做到 光盤 與性別有關 D 有90 以上的把握認為 該市居民能否做到 光盤 與性別無關 解析由公式可計算K2的觀測值 所以有90 以上的把握認為 該市居民能否做到 光盤 與性別有關 故選C 答案C 高考押題精練 1 2 3 1 2 3 押題依據對莖葉圖的考查在高考中較為常見 從中提取數字的特征 如平均數 眾數 中位數等 是高考命題的熱點題型 解析甲班10名學生的數學成績的平均數為 1 2 3 乙班10名學生的數學成績的平均數為 所以m甲 m乙 故選A 答案A 1 2 3 2 某校為了了解高三學生寒假期間的學習情況 抽查了100名學生 統(tǒng)計他們每天的平均學習時間 繪成的頻率分布直方圖如圖所示 則這100名學生中學習時間在6至10小時之間的人數為 1 2 3 押題依據頻率分布直方圖多以現(xiàn)實生活中的實際問題為背景 對圖形的理解應用可以考查考生的基本分析能力 是高考的熱點 解析由圖知 0 04 0 12 x 0 14 0 05 2 1 解得x 0 15 所以學習時間在6至10小時之間的頻率是 0 15 0 14 2 0 58 所求人數是100 0 58 58 答案58 1 2 3 3 某車間為了制定工時定額 需要確定加工零件所花費的時間 為此做了四次試驗 得到的數據如下 1 2 3 1 在給定的坐標系中畫出表中數據的散點圖 1 2 3 3 試預測加工10個零件需要多少小時 押題依據線性回歸分析在生活中具有很強的應用價值 是高考的一個重要考點 1 2 3 解 1 散點圖如圖 1 2 3 1 2 3 3 將x 10代入線性回歸方程 故預測加工10個零件約需要8 05小時