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第2講 力的合成與分解 1 合力與分力 1 定義 如果一個力單獨作用的效果與幾個力同時作用的共同效果相同 這個力就叫那幾個力的 力 而那幾個 力就叫這個力的 力 合 分 等效替代 2 關(guān)系 合力與分力之間在效果上是 的關(guān)系 3 力的合成與分解 求幾個力的合力的過程叫力的 求一個力的分力的過程叫力的 分解 一 力的合成 合成 2 平行四邊形定則如果以表示兩個共點力的線段為鄰邊作平行四邊形 則合力的大小和方向就可以用這兩個鄰邊之間的 來表示 這就是力的平行四邊形定則 如圖2 2 1所示 平行四邊形定則 是 運算的普遍法則 對角線 矢量 圖2 2 13 兩個共點力的合力兩個力的合力F滿足 F1 F2 F F1 F2 當兩個力的 夾角變大時 合力F變 小 1 力的分解 求一個力的分力的過程 力的分解與力的合 成互為 逆過程 平行四邊形 有向線段 2 遵從原則 定則 3 矢量運算法則 1 平行四邊形定則 2 三角形定則 把兩個矢量的首尾順次連接起來 第一個矢量的首到第二個矢量的尾的 為合矢量 二 力的分解 基礎(chǔ)檢測 如圖2 2 2所示 有5個力作用于同一點O 表示這5個力的有向線段恰構(gòu)成一個正六邊形的兩鄰邊和三條對角線 已知 F1 10N 求這5個力的合力大小 圖2 2 2 A 50N B 30N C 20N D 10N 答案 B 考點1共點力合成的方法及合力范圍 重點歸納 1 作圖法 從力的作用點起 按同一標度作出兩個分力F1和F2的圖示 再以F1和F2的圖示為鄰邊作平行四邊形 畫出過作用點的對角線 量出對角線的長度 計算出合力的大小 量出對角線與某一力的夾角確定合力的方向 如圖2 2 3所示 圖2 2 3 2 計算法 根據(jù)平行四邊形定則作出示意圖 然后利用數(shù) 學規(guī)律和公式求出合力的大小 3 力的三角形法則 將表示兩個力的圖示 或示意圖 保持原來的方向依次首尾相接 從第一個力的作用點 到第二個力的箭頭的有向線段為合力 如圖2 2 4所示 三角形法則與平行四邊形定則的實質(zhì)是一樣的 但有時三角形法則比平行四邊形定則畫圖要簡單 圖2 2 4 典例剖析例1 一物體受到三個共面共點力F1 F2 F3的作用 三個力的矢量關(guān)系如圖2 2 5所示 小方格邊長相等 則下列說法 正確的是 圖2 2 5A 三力的合力有最大值F1 F2 F3 方向不確定B 三力的合力有唯一值3F3 方向與F3同向C 三力的合力有唯一值2F3 方向與F3同向D 由題給條件無法求出合力大小 思維點撥 解答本題注意兩點 1 借助于小方格的個數(shù) 觀察F1 F2 F3的大小和方向特點 2 先求F1 F2的合力 再與F3求合力 最后求出結(jié)果 解析 以F1和F2為鄰邊作平行四邊形 對角線必沿F3方向 其大小F12 2F3 再與F3求合力 故F 3F3 與F3同向 所以只有B正確 答案 B 備考策略 常見的求合力的方法有作圖法 計算法 三角形法 本題可用三角形法或作圖法解答 若有三個分力求合力 則應考慮先求哪兩個力的合力 再與第三個分力合成 隨便選擇兩個分力求合力 會給求解帶來難度 在以后的解題中 同學們應該學會觀察和思考 找到解題的突破口 如先求F1和F2的合力就是本題的解題突破口 考點練透 1 多選 2015年廣東深圳五校聯(lián)考 一物體位于光滑水平面上 同時受到三個水平共點力F1 F2和F3作用 其大小分別為F1 42N F2 28N F3 20N 且F2的方向指向正北 下 列說法正確的是 A 這三個力的合力不可能為零B F1 F2兩個力的合力大小可能為20NC 若物體處于勻速直線運動狀態(tài) 則F1 F3的合力大小為48N 方向指向正南D 若物體處于靜止狀態(tài) 則F1 F3的合力大小一定為28N 方向指向正南 答案 BD 解析 根據(jù)兩個力F1和F2的合力范圍 F1 F2 F合 F1 F2 得F1和F2的合力范圍為14N F合 70N F3 20N 則F3與F1和F2的合力大小可能相等 則三個力的合力可能為零 故A錯誤 F1和F2的合力范圍為14N F合 70N 則F1 F2兩個力的合力大小可能為20N 故B正確 若物體處于勻速直線運動狀態(tài) 合外力為零 F1 F3的合力與F2 28N大小相等 方向相反 即F1 F3的合力大小為28N 方向與F2方向相反 故C錯誤 若物體處于靜止狀態(tài) 合外力為零 F1 F3的合力大小與F2 28N大小相等 方向相反 即F1 F3的合力大小一定為28N 方向指向正南 故D正確 2 三個共點力大小分別是F1 F2 F3 關(guān)于它們的合力F 的大小 下列說法中正確的是 A F大小的取值范圍一定是0 F F1 F2 F3B F至少比F1 F2 F3中的某一個大C 若F1 F2 F3 3 6 8 只要適當調(diào)整它們之間的夾角 一定能使合力為零D 若F1 F2 F3 3 6 2 只要適當調(diào)整它們之間的夾角 一定能使合力為零答案 C 考點2按照力的作用效果分解力 重點歸納 下列是高中階段常見的按效果分解力的情形 典例剖析例2 如圖2 2 6所示 將細線的一端系在右手中指上 另一端系上一個重為G的鉤碼 用一支很輕的鉛筆的尾部頂在細線上的某一點 使細線的上段保持水平 筆的尖端置于右手掌 心 鉛筆與水平細線的夾角為 則 A 中指受到的拉力為Gsin B 中指受到的拉力為Gcos C 手心受到的壓力為 Gsin D 手心受到的壓力為 Gcos 圖2 2 6 思維點撥 鉤碼豎直向下拉細線的力產(chǎn)生兩個作用效果 一種效果是拉手指 另一種效果壓手心 解析 受力分析如圖2 2 7所示 則有Ncos TNsin TGTG G聯(lián)立以上三式 得 中指受到的拉力T Gtan 手心受到的壓力為N G sin 圖2 2 7 答案 C 備考策略 按照力的效果分解是學習的一個難點 很多同學無法得出力的兩個實際效果 所以導致隨便分解出錯 按照力的效果分解一般分以下三個步驟 1 根據(jù)力的實際作用效果確定兩個實際分力的方向 2 再根據(jù)兩個實際分力的方向畫出平行四邊形 3 最后由平行四邊形和數(shù)學知識 如正弦定理 余弦定理 三角形相似等 求出兩分力的大小 考點練透 3 2014年廣東汕頭金山中學摸底 用起重機緩慢吊起質(zhì)量均勻分布的鋼管時 鋼絲繩固定在鋼管的兩端 如圖2 2 8所示 鋼絲繩的總長保持不變 如鋼管的質(zhì)量相同但長度L不同 下列說法正確的是 圖2 2 8 A 鋼管越長則鋼絲繩的拉力越大B 鋼管越長則鋼絲繩的拉力越小 C 鋼絲繩的拉力大小與鋼管長度無關(guān) D 鋼管越長則鋼絲繩對鋼管拉力的合力越大 解析 將重力沿兩繩子方向分解兩個分力 分力大小與繩子拉力大小相等 鋼管越長 夾角越大 分力越大 繩子拉力越大 根據(jù)平衡條件可知 合力一直為鋼管重力 故A正確 答案 A 為 4 2016年湖北孝感月考 如圖2 2 9所示 墻上有兩個釘子a和b 它們的連線與水平方向的夾角為45 兩者的高度差為l 一條不可伸長的輕質(zhì)細繩一端固定于a點 另一端跨過光滑釘子b懸掛一質(zhì)量為m1的重物 在繩上距am2的鉤碼 平衡后繩的ac段正好水平 則重物 和鉤碼的質(zhì)量比 m1m2 圖2 2 9 圖D5答案 C 方法 正交分解法在解題中的應用 1 正交分解方法把一個力分解為互相垂直的兩個分力 特別是物體受多個力時 把物體受到的各力都分解到互相垂直的兩個方向上去 然后分別求出每個方向上力的代數(shù)和 2 利用正交分解法求合力 1 正確選擇直角坐標系 通常選擇共點力的作用點為坐標原點 直角坐標系的選擇應使盡量多的力落在坐標軸上 2 正交分解各力 即分別將各力投影到坐標軸上 然后求 各力在x軸和y軸上的分力的合力Fx和Fy Fx F1x F2x F3x Fy F1y F2y F3y 在運用正交分解法解題時 關(guān)鍵是如何確定直角坐標系 在靜力學中 以少分解力和容易分解力為原則 在動力學中 以加速度方向和垂直加速度方向為坐標軸建立坐標 這樣使牛頓第二定律表達式為 Fy 0 Fx ma 例3 如圖2 2 10所示 兩個大人和一個小孩沿河岸拉一條船前進 兩個大人的拉力F1 200N F2 100N 方向如圖所示 要使船在河中間平行河岸行駛 試求 1 小孩對船施加的最小力是多大 2 在第 1 問的情況下 船受的拉力的合力為多大 圖2 2 10 審題突破 解答本題時應注意以下兩個方面 1 船受三個人的拉力的合力方向平行于河岸 2 小孩的力只平衡垂直河岸方向的力時為最小 解 1 將F1 F2正交分解如圖2 2 11所示 圖2 2 11 船在河中間平行河岸行駛 則Fy 0 當小孩用力方向與河岸垂直時用力最小 所以Fy3 Fy1 Fy2 F1sin30 F2sin60 13 4N用力方向與Fy2同向 2 船所受的拉力的合力 F合 Fx1 Fx2 F1cos30 F2cos60 223 2N 題外拓展 此題屬于極值問題 極值問題往往是動態(tài)的過程分析 如何把動態(tài)轉(zhuǎn)化為靜態(tài)是處理此類問題的關(guān)鍵 本題巧妙地利用正交分解法使垂直河岸的分力為零 得到小孩的最小拉力 若本題中小孩的力改為由船的發(fā)動機提供 發(fā)動機如何提供一個最小的力才能使船垂直駛向岸邊 有興趣的同學可以做一下 觸類旁通 1 如圖2 2 12所示 一物塊置于水平地面上 當用與水平方向成60 角的力F1拉物塊時 物塊做勻速直線運動 當改用與水平方向成30 角的力F2推物塊時 物塊仍做勻速直線運動 若F1和F2的大小相等 則物塊與地面之間的動摩擦因數(shù) 為 圖2 2 12 解析 當用F1拉物塊做勻速直線運動時 受力分析如圖D6所示 將F1正交分解 則水平方向有F1cos60 Ff1圖D6豎直方向有F1sin60 FN1 mg其中Ff1 FN1 聯(lián)立上式可得F1 同理 當用F2推物塊做勻速直線運動時 水平方向有F2cos30 Ff2豎直方向有F2sin30 mg FN2其中Ff2 FN2 答案 B 2 多選 如圖2 2 13所示 質(zhì)量為M的斜面體A放在粗糙水平面上 用輕繩拴住質(zhì)量為m的小球B置于斜面上 整個系統(tǒng)處于靜止狀態(tài) 已知斜面的傾角及輕繩與豎直方向的夾角 均為 30 不計小球與斜面間的摩擦 則 A 輕繩對小球的作用力大小為 mg B 斜面對小球的作用力大小為mgC 斜面體對水平面的壓力大小為 M m g D 斜面體與水平面間的摩擦力大小為 mg 圖2 2 13 解析 以B為研究對象 受力如圖D7甲所示 由幾何關(guān)系知 30 根據(jù)受力平衡可得 以斜面體為研究對象 其受力如圖乙所示 甲 乙 圖D7 故B C選項錯誤 A D選項正確 答案 AD 易錯點力的合成與分解中多解的問題例4 多選 將一個已知力分解為兩個分力時 下列情況得 到唯一解的是 A 已知一個分力的大小和另一個分力的方向 求第一個分力的方向和另一個分力的大小B 已知兩個分力的大小 求兩個分力的方向C 已知一分力的大小和方向 求另一個分力的大小和方向D 已知兩個分力的方向 求這兩個分力的大小 解析 由圖2 2 14甲知 選項A不正確 由圖乙知 選項B不正確 由平行四邊形法則可以知道C D答案正確 甲 乙 圖2 2 14 答案 CD 觸類旁通 3 如圖2 2 15所示 小車水平向右做勻加速運動 BC桿 圖2 2 15B 一定豎直向上D 條件不足 無法判斷 對小球的作用力方向為 A 一定沿桿斜向上C 一定水平向右答案 D 4 已知兩個共點力的合力為50N 分力F1的方向與合力 F的方向成30 角 分力F2的大小為30N 則 A F1的大小是唯一的B F2的方向是唯一的C F2有兩個可能的方向D F2可取任意方向 解析 如圖D8所示 因為F2 30N Fsin30 25N 以F的矢尖為圓心 以30N為半徑畫一個圓弧 與F1有兩個交點 這樣F2有兩種可能的方向 F1有兩個可能的大小 因此C正確 圖D8 答案 C