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1、目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 小結(jié)與習題課小結(jié)與習題課一、一、 二重積分內(nèi)容總結(jié)二重積分內(nèi)容總結(jié)三、二重積分計算的基本技巧三、二重積分計算的基本技巧 第十章 二重積分的 計算 及應用 二、二、 二重積分計算的基本方法二重積分計算的基本方法 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、二重積分課程內(nèi)容回顧總結(jié)1. 二重積分概念2. 性質(zhì)（P138）3. 重要結(jié)論(對稱性）1、直角坐標計算二重積分2、極坐標計算二重積分三、二重積分計算技巧；二、二重積分基本計算方法目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例1. 比較下列積分的大小:d)(,d)(32DDyxyx其中其中2) 1()2( :22yxD解解: 積分域積分

2、域 D 的邊界為圓周的邊界為圓周1 yx332)()(yxyx2) 1()2(22yx它在與它在與 x 軸的交點軸的交點 (1,0) 處與直線處與直線.1相切 yx, 1 yx從而從而d)(d)(32DDyxyx而域而域 D 位于直線的上方位于直線的上方, 故在故在 D 上上1y2x1OD課練：課練：P140：5（2）目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 估計下列積分之值10:coscos100dd22yxDyxyxID解解: D 的面積為的面積為200)210(2由于由于yx22coscos1001積分性質(zhì)積分性質(zhì)5100200 I102200即即: 1.96 I 210101010D10

3、011021xyO課練：課練：返回返回目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 DB目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 結(jié)論結(jié)論-利用對稱性計算重積分利用對稱性計算重積分1. 二重積分 若 D 關(guān)于 x 軸對稱， Ddxdyyxf),(1D為“對稱的一半”xy01D（1）若在 D 中，f ( x, y ) 關(guān)于 y 為奇函數(shù)，即),(),(yxfyxf 0),( Ddxdyyxf則則（2）若在 D 中，f ( x, y ) 關(guān)于 y 為偶函數(shù)，即),(),(yxfyxf 1),(2),(DDdxdyyxfdxdyyxf則則目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 結(jié)論結(jié)論-利用對稱性計算重積分利用對稱性計算重積分1. 二重

4、積分 若 D 關(guān)于 y 軸對稱， Ddxdyyxf),(2D為“對稱的一半”xy0（1）若在 D 中，f ( x, y ) 關(guān)于 x 為奇函數(shù)，即),(),(yxfyxf 0),( Ddxdyyxf則則（2）若在 D 中，f ( x, y ) 關(guān)于 x 為偶函數(shù)，即),(),(yxfyxf 2),(2),(DDdxdyyxfdxdyyxf則則2DP185:2(2)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 D2D3D4D2(2). 則yxyxyxDdd)sincos(yxyxADddsincos2)(1yxyxBDdd2)(1yxyxyxCDdd)sincos(4)(10)(D1D提示提示: 如圖 ,432

5、1DDDDD由對稱性知0ddyxyxD在43DD yxsincos上是關(guān)于 y 的奇函數(shù)在21DD 上是關(guān)于 x 的偶函數(shù)A,),(ayxaxayxD),(1yxD ,0ayxaxxyaaaO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2/316目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 :1,01D xy例1 設(shè)5(cos)()Dxyy yd則52cosDDyxydy d2Dy d解:積分區(qū)域如圖所示122Dy dD1112002dxy dy23目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 結(jié)論結(jié)論-利用對稱性計算重積分利用對稱性計算重積分2. 二重積分 若 D 關(guān)于 原點軸對稱， Ddxdyyxf),(3D為“對稱的一半”xy0（1

6、）若在 D 中，f ( x, y ) 關(guān)于 x , y 為奇函數(shù)，即),(),(yxfyxf 0),( Ddxdyyxf則則（2）若在 D 中，f ( x, y ) 關(guān)于 x, y 為偶函數(shù)，即),(),(yxfyxf 3),(2),(DDdxdyyxfdxdyyxf則則3D目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 結(jié)論結(jié)論-利用對稱性計算重積分利用對稱性計算重積分3. 二重積分 若 D 關(guān)于直線 y = x 對稱，即 Ddxdyyxf),(xy,),(Dyx 若若 DDdxdyxyfdxdyyxf),(),(則則,),(Dxy 則則即被積函數(shù)中，x 和 y 對換，二重積分值不。0 xy D該對稱性又稱坐

7、標輪換法。練習：P185：1（2）；目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1(2)：計算,)(2222 DyxddbyaxIxyxy 0 DyxddbxayI)(2222解222:RyxD 因為 D 關(guān)于直線 y = x 對稱，所以 DyxddbxaybyaxI)()(222222222 Dyxddyxba)()11(2222 Rddba022022)11( )11(2224baR P185:1(2)目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1(2)：計算,)(2222 DyxddbyaxIxyxy 0 DyxddbxayI)(2222解222:RyxD 因為 D 關(guān)于直線 y = x 對稱，所以 Dyxddbx

8、aybyaxI)()(222222222 Rddba022022)11( )11(2224baR )11(4224baRI 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、二重積分計算的基本方法二、二重積分計算的基本方法1、直角坐標計算二重積分選擇易計算的積分次序，積分域分塊要少, 累次積分易算為妙 .2、極坐標計算二重積分 積分區(qū)域是圓或圓的一部分，或者區(qū)域 D 的邊界方程用極坐標表示比較簡單； 被積函數(shù)具有下列形式時什么時候考慮用極坐標計算?2(),(cot ),(tan )fff22(),( ),( )xyf xyffyx目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 練習：練習：P185：1（1）2220yxdxed

9、y例1：積分 的值是（ ）22yxe dy積分 積不出來，因此需改變積分次序因此需改變積分次序解：xy222200yydyedx原式原式2200yyedydx220yeydy22201()2yedy41(1)2e原函數(shù)不是初等函數(shù)，不能用牛頓牛頓-萊布尼茨求原函數(shù)，萊布尼茨求原函數(shù)，目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例2. 計算,ddsinDyxxx其中D 是直線 ,0,yxy所圍成的閉區(qū)域.OxyDxxy 解: 由被積函數(shù)可知,因此取D 為X - 型域 :00:xxyDDyxxxddsinxy0d0dsinxx0cosx20dsinxxxx先對 x 積分不行, 說明: 有些二次積分為了積分方便

10、, 還需交換積分順序.目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 計算二重積分,d222DyxR其中D 為圓周xRyx22所圍成的閉區(qū)域.解解: 利用極坐標cosRr 原式cos022dRrrRr2033d)sin1(32R)34(313RyDR xO:D0cosrR2222d練習：P185 3 (3). 例3目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 計算二重積分,d222DyxR其中D 為圓周所圍成的閉區(qū)域.解解: 利用極坐標sinrR原式sin220RRr rdryDRxO:D0sinrR00d練習：P185 3 (3). 3 (4). 學生練習學生練習22xyRy222:D xyR2222:D axyb思考:如果

11、積分區(qū)域為:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 計算二重積分2(369)d ,Dyxy其中解解:由輪換對稱性yDRxO220012Rdr rdr課練：P185 3 (4). 222( , )|Dx yxyR2d3d6d91dDDDDyxy原式dd0DDxy由對稱性由性質(zhì)29d9DR2dDy221d2Dxy44R22ddDDyx原式4294RR例4:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 三、二重積分計算的基本技巧三、二重積分計算的基本技巧分塊積分法利用對稱性1. 交換積分順序的方法(185:1(1)2. 利用對稱性簡化計算(185:1(2),2(2)3. 消去被積函數(shù)絕對值符號4. 利用擴展積分域進行計算 目

12、錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 CD目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 axamyxamaxxfxaxxfy0)(0)(0d)(e)(d)(ed例2:證明提示提示: 左端積分區(qū)域如圖,Dxy a交換積分順序即可證得.P186 5.yxO()00( )aym a xdyef x dx()0( )aam a xxdxef x dy()0( )aam a xxef x dxdy()0()( )am a xax ef x dx證畢證明:目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例例3計算二重積分,dd)e(222yxyxxIyxD其中:(1) D為圓域; 122 yx(2) D由直線1,1,xyxy解解: (1) 利用對稱

13、性.yxxIDdd20dd)(2122yxyxD10320dd21rr4yxyxDyxdde22圍成 . yx1DO目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 y1x1O(2) 積分域如圖:1D2Dxyxy , xy將D 分為,21DDyxxIDdd2yxyxDyxdde22200dd1112xyxx32添加輔助線利用對稱性 , 得yxyxxIyxDdd)e(222221xyDxyedxdy目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 課練17年目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 課練16年目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 課練15年目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 課練15年目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 課練14年目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二重積分的應用二重積分的應用1. 幾何方面的應用：空間體的體積2. 平面塊的面積目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 解：222222xyxyDDVaxy dxdyxy dxdy在 平面上的投影域為xoy,:222ayxDxy 由二重積分幾何意義，所求體積為2222xyxyDDad dd d 2222200002aadaddd 3322(2 21)33aa34( 21)3a目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 例題, P:158：8,9,10,17,18：P177。1，2，3目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束