《2019屆高考數(shù)學一輪復習 第二篇 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第11節(jié) 第三課時 利用導數(shù)證明不等式專題課件 理 新人教版.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2019屆高考數(shù)學一輪復習 第二篇 函數(shù)、導數(shù)及其應用 第11節(jié) 第三課時 利用導數(shù)證明不等式專題課件 理 新人教版.ppt（25頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第三課時利用導數(shù)證明不等式專題 專題概述 利用導數(shù)證明不等式是高考的熱點問題 常作為解答題的一問出現(xiàn) 難度較大 解決此類問題一般是通過構(gòu)造函數(shù)把不等式問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)單調(diào)性或最值問題解決 考點一 構(gòu)造函數(shù)證明不等式 考查角度1 移項構(gòu)造函數(shù)證明不等式 例1 2016 全國 卷 設函數(shù)f x lnx x 1 1 討論f x 的單調(diào)性 考點專項突破在講練中理解知識 2 證明當x 1 時 1 x 3 設c 1 證明當x 0 1 時 1 c 1 x cx 反思歸納當不等式左 右兩邊都含有自變量時 可以移項后構(gòu)造函數(shù) 證明所構(gòu)造函數(shù)的最值與0的大小關系 常見方法是 若證明f x g x 在區(qū)間D上恒成立 則構(gòu)造函數(shù)h x f x g x 再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性或最值 證明h x 0 考查角度2 最值轉(zhuǎn)化法證明不等式 例2 2017 忻州質(zhì)檢 已知a為實數(shù) 函數(shù)f x ex 2x 2a x R 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間與極值 1 解 由f x ex 2x 2a x R 知f x ex 2 x R 令f x 0 得x ln2 于是當x變化時 f x f x 的變化情況如表 故f x 的單調(diào)遞減區(qū)間是 ln2 單調(diào)遞增區(qū)間是 ln2 f x 在x ln2處取得極小值 極小值為f ln2 eln2 2ln2 2a 2 2ln2 2a 2 求證 當a ln2 1且x 0時 ex x2 2ax 1 2 證明 設g x ex x2 2ax 1 x R 于是g x ex 2x 2a x R 由 1 知當a ln2 1時 g x 取最小值為g ln2 2 1 ln2 a 0 于是對任意x R 都有g x 0 所以g x 在R內(nèi)單調(diào)遞增 于是當a ln2 1時 對任意x 0 都有g x g 0 而g 0 0 從而ex x2 2ax 1 0 故當a ln2 1且x 0時 ex x2 2ax 1 考查角度3 變形轉(zhuǎn)化后證明不等式 例3 2017 沈陽質(zhì)檢 已知函數(shù)f x ex 1 x ax2 1 當a 0時 求證 f x 0 1 證明 當a 0時 f x ex 1 x f x ex 1 當x 0 時 f x 0 故f x 在 0 上單調(diào)遞減 在 0 上單調(diào)遞增 f x min f 0 0 所以f x 0 2 當x 0時 若不等式f x 0恒成立 求實數(shù)a的取值范圍 2 解 f x ex 1 2ax 令h x ex 1 2ax 則h x ex 2a 當2a 1時 在 0 上 h x 0 h x 單調(diào)遞增 h x h 0 即f x f 0 0 所以f x 在 0 上為增函數(shù) 所以f x f 0 0 所以當a 時滿足條件 當2a 1時 令h x 0 解得x ln2a 在 0 ln2a 上 h x 0 h x 單調(diào)遞減 所以當x 0 ln2a 時 有h x h 0 0 即f x f 0 0 所以f x 在區(qū)間 0 ln2a 上為減函數(shù) 所以f x f 0 0 不合題意 綜上 實數(shù)a的取值范圍為 3 若x 0 證明 ex 1 ln x 1 x2 考點二 構(gòu)造函數(shù)證明與函數(shù)零點 方程根 有關的不等式 例4 導學號18702122已知函數(shù)f x lnx 1 求f x 的最小值 2 若方程f x a有兩個根x1 x2 x12a 反思歸納若函數(shù)y f x 的極值點是x0 且x1 x2是函數(shù)y f x 的零點 則關于x1 x2 x0的不等式常用證明方法如下 1 構(gòu)造一元函數(shù)F x f x0 x f x0 x 2 求F x 確定函數(shù)F x 的單調(diào)性 3 結(jié)合F 0 0判斷F x 的符號 確定f x0 x 與f x0 x 的大小關系 4 結(jié)合y f x 的單調(diào)性確定x1 x2與x0的大小關系 跟蹤訓練1 已知函數(shù)f x xe x x R 1 求函數(shù)f x 的單調(diào)區(qū)間和極值 1 解 f x 1 x e x 令f x 0 解得x 1 當x變化時 f x f x 的變化情況如下表 2 已知函數(shù)y g x 的圖象與函數(shù)y f x 的圖象關于直線x 1對稱 證明當x 1時 f x g x 2 證明 由題意可知g x f 2 x 得g x 2 x ex 2 令F x f x g x xe x x 2 ex 2 于是F x x 1 e2x 2 1 e x 當x 1時 2x 2 0 從而e2x 2 1 0 又e x 0 所以F x 0 從而函數(shù)F x 在 1 上是增函數(shù) 又F 1 e 1 e 1 0 所以x 1時 有F x F 1 0 即f x g x 3 如果x1 x2 且f x1 f x2 證明x1 x2 2 3 證明 因為f x1 f x2 且x1 x2 設x10 知x11 由 2 可知 f x2 g x2 g x2 f 2 x2 所以f x2 f 2 x2 從而f x1 f 2 x2 因為x2 1 所以2 x22 x2 即x1 x2 2 考點三 證明與數(shù)列有關的不等式 例5 導學號18702123若函數(shù)f x ex ax 1 a 0 在x 0處取極值 1 求a的值 并判斷該極值是函數(shù)最大值還是最小值 1 解 因為x 0是函數(shù)極值點 所以f 0 0 所以a 1 f x ex x 1 易知f x ex 1 當x 0 時 f x 0 當x 0 時 f x 0 故極值f 0 是函數(shù)最小值 反思歸納 1 證明此類問題時常根據(jù)已知的函數(shù)不等式 用關于正整數(shù)n的不等式替代函數(shù)不等式中的自變量 通過多次求和達到證明的目的 此類問題一般至少2個問號 已知的不等式常由第一個問號根據(jù)待證式的特征而得到 2 已知函數(shù)式為指數(shù)不等式 或?qū)?shù)不等式 而待證不等式為與對數(shù)有關的不等式 或與指數(shù)有關的不等式 還要注意指 對數(shù)式的互化 如ex x 1可化為ln x 1 x等 備選例題 例題 2017 湖南婁底質(zhì)檢 已知函數(shù)f x ex 1 求f x 的單調(diào)區(qū)間 2 證明 當f x1 f x2 x1 x2 時 x1 x2 0