高考大題專項突破六高考大題專項突破六高考中的概率與統(tǒng)計高考中的概率與統(tǒng)計-2-一、考查范圍全面概率與統(tǒng)計解答題對知識點的考查較為全面,近五年的試題考點覆蓋了概率與統(tǒng)計必修與選修的各個章節(jié)內(nèi)容,考查了抽樣方法,統(tǒng)計圖表、數(shù)據(jù)的數(shù)字特征、用樣本估計總體、回歸分析、相關(guān)系數(shù)的計算、獨立性檢驗、古典概型、條件概率、相互獨立事件的概率、獨立重復(fù)試驗的概率、離散型隨機變量的分布列、數(shù)學(xué)期望與方差、超幾何分布、二項分布、正態(tài)分布等基礎(chǔ)知識和基本方法.-3-二、考查方向分散從近五年的高考試題來看,對概率與統(tǒng)計的考查主要有四個方面:一是統(tǒng)計與統(tǒng)計案例,其中回歸分析、相關(guān)系數(shù)的計算、獨立性檢驗、用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征是考查重點,常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、概率等知識交匯考查;二是統(tǒng)計與概率分布的綜合,常與抽樣方法、莖葉圖、頻率分布直方圖、頻率、概率以及函數(shù)知識、概率分布列等知識交匯考查;三是期望與方差的綜合應(yīng)用,常與離散型隨機變量、概率、相互獨立事件、二項分布等知識交匯考查;四是以生活中的實際問題為背景將正態(tài)分布與隨機變量的期望和方差相結(jié)合綜合考查.三、考查難度穩(wěn)定高考對概率與統(tǒng)計解答題的考查難度穩(wěn)定,多年來都控制在中等或中等偏上一點的程度,解答題一般位于試卷的第18題或第19題的位置.-4-題型一題型二題型三題型四題型一相關(guān)關(guān)系的判斷及回歸分析例1下圖是我國2008年至2014年生活垃圾無害化處理量(單位:億噸)的折線圖.注:年份代碼1-7分別對應(yīng)年份2008-2014.-5-題型一題型二題型三題型四(1)由折線圖看出,可用線性回歸模型擬合y與t的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;(2)建立y關(guān)于t的回歸方程(系數(shù)精確到0.01),預(yù)測2018年我國生活垃圾無害化處理量.附注:-6-題型一題型二題型三題型四-7-題型一題型二題型三題型四-8-題型一題型二題型三題型四解題心得解題心得在求兩變量相關(guān)系數(shù)和兩變量的回歸方程時,由于 的公式組成比較復(fù)雜,求它們的值計算量比較大,為了計算準(zhǔn)確,可將其分成幾個部分分別計算,這樣等同于分散難點,各個攻破,提高了計算的準(zhǔn)確度.-9-題型一題型二題型三題型四對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練1(2017河北石家莊二中模擬,理18)下表是某校高三一次月考5個班級的數(shù)學(xué)、物理的平均成績:(1)一般來說,學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績具有線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求兩個變量x,y的線性回歸方程(2)從以上5個班級中任選兩個參加某項活動,設(shè)選出的兩個班級中數(shù)學(xué)平均分在115分以上的個數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.-10-題型一題型二題型三題型四-11-題型一題型二題型三題型四-12-題型一題型二題型三題型四題型二獨立性檢驗的綜合問題例2(2017全國,理18)海水養(yǎng)殖場進行某水產(chǎn)品的新、舊網(wǎng)箱養(yǎng)殖方法的產(chǎn)量對比,收獲時各隨機抽取了100個網(wǎng)箱,測量各箱水產(chǎn)品的產(chǎn)量(單位:kg),其頻率分布直方圖如下:-13-題型一題型二題型三題型四-14-題型一題型二題型三題型四(1)設(shè)兩種養(yǎng)殖方法的箱產(chǎn)量相互獨立,記A表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg,新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”,估計A的概率;(2)填寫下面列聯(lián)表,并根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān);(3)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖,求新養(yǎng)殖法箱產(chǎn)量的中位數(shù)的估計值(精確到0.01).-15-題型一題型二題型三題型四解: (1)記B表示事件“舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg”,C表示事件“新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg”.由題意知P(A)=P(BC)=P(B)P(C).舊養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量低于50 kg的頻率為(0.012+0.014+0.024+0.034+0.040)5=0.62,故P(B)的估計值為0.62.新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量不低于50 kg的頻率為(0.068+0.046+0.010+0.008)5=0.66.故P(C)的估計值為0.66.因此,事件A的概率估計值為0.620.66=0.409 2.-16-題型一題型二題型三題型四(2)根據(jù)箱產(chǎn)量的頻率分布直方圖得列聯(lián)表由于15.7056.635,故有99%的把握認為箱產(chǎn)量與養(yǎng)殖方法有關(guān).(3)因為新養(yǎng)殖法的箱產(chǎn)量頻率分布直方圖中,箱產(chǎn)量低于50 kg的直方圖面積為(0.004+0.020+0.044)5=0.340.5,-17-題型一題型二題型三題型四解題心得解題心得有關(guān)獨立性檢驗的問題的解題步驟:(1)作出22列聯(lián)表;(2)計算隨機變量K2的值;(3)查臨界值,檢驗作答.-18-題型一題型二題型三題型四對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練2(2017遼寧沈陽三模,理18改編)“共享單車”的出現(xiàn),為我們提供了一種新型的交通方式.某機構(gòu)為了調(diào)查人們對此種交通方式的滿意度,從交通擁堵不嚴重的A城市和交通擁堵嚴重的B城市分別隨機調(diào)查了20個用戶,得到了一個用戶滿意度評分的樣本,并繪制出莖葉圖如圖:-19-題型一題型二題型三題型四(1)根據(jù)莖葉圖,比較兩城市滿意度評分的平均值的大小及方差的大小(不要求計算出具體值,給出結(jié)論即可);(2)若得分不低于80分,則認為該用戶對此種交通方式“認可”,否則認為該用戶對此種交通方式“不認可”,請根據(jù)此樣本完成此22列聯(lián)表,并據(jù)此樣本分析是否有95%的把握認為城市擁堵與認可共享單車有關(guān);(3)若從此樣本中的A城市和B城市各抽取1人,則在此2人中恰有一人認可的條件下,此人來自B城市的概率是多少?-20-題型一題型二題型三題型四解: (1)A城市評分的平均值小于B城市評分的平均值;A城市評分的方差大于B城市評分的方差.(2)22列聯(lián)表如下:所以沒有95%的把握認為城市擁堵與認可共享單車有關(guān).-21-題型一題型二題型三題型四(3)設(shè)事件M:恰有一人認可,事件N:來自B城市的人認可,事件M包含的基本事件數(shù)為510+1510=200,事件MN包含的基本事件數(shù)為1510=150,-22-題型一題型二題型三題型四題型三離散型隨機變量的分布列(多維探究)類型一互斥事件、獨立事件的概率及分布列例3(2017天津,理16)從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口,設(shè)各路口信號燈工作相互獨立,且在各路口遇到紅燈的概率分別為(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù),求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地,求這2輛車共遇到1個紅燈的概率.-23-題型一題型二題型三題型四-24-題型一題型二題型三題型四解題心得解題心得使用簡潔、準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述解答過程是解答這類問題并得分的根本保證.引進字母表示事件可使得事件的描述簡單而準(zhǔn)確,使得問題描述有條理,不會有遺漏,也不會重復(fù).-25-題型一題型二題型三題型四對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練3在某娛樂節(jié)目的一期比賽中,有6名歌手(1至6號)登臺演出,由現(xiàn)場的百家大眾媒體投票選出最受歡迎的歌手,各家媒體獨立地在投票器上選出3名出彩候選人,其中媒體甲是1號歌手的歌迷,他必選1號,另在2號至6號中隨機選出2名;媒體乙不欣賞2號歌手,他必不選2號;媒體丙對6名歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至6號歌手中隨機地選出3名.(1)求媒體甲選中3號且媒體乙未選中3號歌手的概率;(2)X表示3號歌手得到媒體甲、乙、丙的票數(shù)之和,求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.-26-題型一題型二題型三題型四-27-題型一題型二題型三題型四-28-題型一題型二題型三題型四類型二古典概型及分布列的綜合例4(2017山東,理18)在心理學(xué)研究中,常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響,具體方法如下:將參加試驗的志愿者隨機分成兩組,一組接受甲種心理暗示,另一組接受乙種心理暗示.通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用,現(xiàn)有6名男志愿者A1,A2,A3,A4,A5,A6和4名女志愿者B1,B2,B3,B4,從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示,另5人接受乙種心理暗示.(1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率;(2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù),求X的分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).-29-題型一題型二題型三題型四-30-題型一題型二題型三題型四-31-題型一題型二題型三題型四對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練4(2017北京,理17)為了研究一種新藥的療效,選100名患者隨機分成兩組,每組各50名,一組服藥,另一組不服藥.一段時間后,記錄了兩組患者的生理指標(biāo)x和y的數(shù)據(jù),并制成下圖,其中“ ”表示服藥者,“+”表示未服藥者.-32-題型一題型二題型三題型四解: (1)由題圖知,在服藥的50名患者中,指標(biāo)y的值小于60的有15人,所以從服藥的50名患者中隨機選出一人,此人指標(biāo)y的值小于60的概率為(1)從服藥的50名患者中隨機選出一人,求此人指標(biāo)y的值小于60的概率;(2)從圖中A,B,C,D四人中隨機選出兩人,記為選出的兩人中指標(biāo)x的值大于1.7的人數(shù),求的分布列和數(shù)學(xué)期望E();(3)試判斷這100名患者中服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差與未服藥者指標(biāo)y數(shù)據(jù)的方差的大小.(只需寫出結(jié)論)-33-題型一題型二題型三題型四-34-題型一題型二題型三題型四類型三二項分布例5(2017遼寧鞍山一模,理19)上周某校高三年級學(xué)生參加了數(shù)學(xué)測試,年級部組織任課教師對這次考試進行成績分析.現(xiàn)從中抽取80名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(均為整數(shù))的頻率分布直方圖如圖所示.-35-題型一題型二題型三題型四(1)估計這次月考數(shù)學(xué)成績的平均分和眾數(shù);(2)假設(shè)抽出學(xué)生的數(shù)學(xué)成績在90,100段各不相同,且都超過94分.若將頻率視為概率,現(xiàn)用簡單隨機抽樣的方法,從95,96,97,98,99,100這6個數(shù)字中任意抽取2個數(shù),有放回地抽取3次,記這3次抽取中恰好有兩名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的次數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解: (1)平均分為0.0545+0.1555+0.265+0.375+0.2585+0.0595=72(分).眾數(shù)的估計值是75分.-36-題型一題型二題型三題型四-37-題型一題型二題型三題型四解題心得對于實際問題中的隨機變量X,如果能夠斷定它服從二項分布B(n,p),則其概率、均值與方差可直接利用公式 (k=0,1,2,n),E(X)=np,D(X)=np(1-p)求得,因此,熟記二項分布的相關(guān)公式,可以避免煩瑣的運算過程,提高運算速度和準(zhǔn)確度.-38-題型一題型二題型三題型四對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練5某班將要舉行籃球投籃比賽,比賽規(guī)則是:每位選手可以選擇在A區(qū)投籃2次或選擇在B區(qū)投籃3次,在A區(qū)每進一球得2分,不進球得0分;在B區(qū)每進一球得3分,不進球得0分,得分高的選手勝出.已知某參賽選手在A區(qū)和B區(qū)每次投籃進球的概率分別是(1)如果該選手以在A,B區(qū)投籃得分的期望高者為選擇投籃區(qū)的標(biāo)準(zhǔn),問該選手應(yīng)該選擇哪個區(qū)投籃?請說明理由;(2)求該選手在A區(qū)投籃得分高于在B區(qū)投籃得分的概率.-39-題型一題型二題型三題型四-40-題型一題型二題型三題型四-41-題型一題型二題型三題型四題型四樣本的均值、方差與正態(tài)分布的綜合例6(2017全國,理19改編)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認為這條生產(chǎn)線正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(,2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(-3,+3)之外的零件數(shù),求P(X1)及X的數(shù)學(xué)期望;(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(-3,+3)之外的零件,就認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查.-42-題型一題型二題型三題型四()試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;()下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸:-43-題型一題型二題型三題型四-44-題型一題型二題型三題型四解: (1)抽取的一個零件的尺寸在(-3,+3)之內(nèi)的概率為0.997 3,從而零件的尺寸在(-3,+3)之外的概率為0.002 7,故XB(16,0.002 7).因此P(X1)=1-P(X=0)=1-0.997 3160.042 3.X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=160.002 7=0.043 2.(2)()如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個零件尺寸在(-3,+3)之外的概率只有0.002 7,一天內(nèi)抽取的16個零件中,出現(xiàn)尺寸在(-3,+3)之外的零件的概率只有0.042 3,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.-45-題型一題型二題型三題型四-46-題型一題型二題型三題型四解題心得解題心得解決正態(tài)分布有關(guān)的問題,在理解,2意義的情況下,記清正態(tài)分布的密度曲線是一條關(guān)于x=對稱的鐘形曲線,很多問題都是利用圖象的對稱性解決的.-47-題型一題型二題型三題型四對點訓(xùn)練對點訓(xùn)練6從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件,測量這些產(chǎn)品的一項質(zhì)量指標(biāo)值,由測量結(jié)果得如下頻率分布直方圖:-48-題型一題型二題型三題型四(1)求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) 和樣本方差s2(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表);(2)由直方圖可以認為,這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值Z服從正態(tài)分布N(,2),其中近似為樣本平均數(shù) ,2近似為樣本方差s2.利用該正態(tài)分布,求P(187.8Z212.2);某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品,記X表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的產(chǎn)品件數(shù).利用的結(jié)果,求E(X).附: 12.2.若ZN(,2),則P(-Z+)=0.682 7,P(-2Z+2)=0.954 5.-49-題型一題型二題型三題型四解: (1)抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均數(shù) 和樣本方差s2分別為 =1700.02+1800.09+1900.22+2000.33+2100.24+2200.08+2300.02=200,s2=(-30)20.02+(-20)20.09+(-10)20.22+00.33+1020.24+2020.08+3020.02=150.(2)由(1)知,ZN(200,150),從而P(187.8Z212.2)=P(200-12.2Z200+12.2)=0.682 7.由知,一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間(187.8,212.2)的概率為0.682 7,依題意知XB(100,0.682 7),所以E(X)=1000.682 7=68.2768.