數(shù)學(xué) 第三章 基本初等函數(shù)（Ⅰ）3.2 對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù) 3.2.1 對(duì)數(shù)及其運(yùn)算 新人教B版必修1
3 3.2 2.1 1對(duì)數(shù)及其運(yùn)算對(duì)數(shù)及其運(yùn)算一二三四一、對(duì)數(shù)的概念【問(wèn)題思考】 1.你會(huì)求下列方程嗎?(1)2x=8;(2)2x=1;(3)3x=2.提示:(1)(2)易求,滿足2x=8的x=3;滿足2x=1的x=0;但滿足3x=2的x沒(méi)法立即寫(xiě)出的,但根據(jù)前面所學(xué)零點(diǎn)及指數(shù)函數(shù)知識(shí),可以確定方程3x=2存在唯一實(shí)根,但鑒于所學(xué)知識(shí),現(xiàn)無(wú)法表示出來(lái),因此需要引入本節(jié)課將要學(xué)習(xí)的“對(duì)數(shù)”.一二三四2.填空.(1)一般地,對(duì)于指數(shù)式ab=N,我們把“以a為底N的對(duì)數(shù)b”記作logaN,即b=logaN(a0,且a1).其中,數(shù)a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù),讀作“b等于以a為底N的對(duì)數(shù)”;(2)以10為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)為常用對(duì)數(shù),即log10N,記作lg N;(3)以無(wú)理數(shù)e(e=2.718 28)為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)為自然對(duì)數(shù),即logeN,記作ln N;一二三四3.為什么規(guī)定在對(duì)數(shù)logaN中,a0,且a1呢? (2)當(dāng)a=0,N0時(shí),不存在實(shí)數(shù)x使ax=N成立,無(wú)法定義logaN.當(dāng)a=0,N=0時(shí),任意非零正實(shí)數(shù)x,有ax=N成立,logaN不確定.(3)當(dāng)a=1,N1時(shí),不存在實(shí)數(shù)x,使ax=N,logaN無(wú)意義.當(dāng)a=1,N=1時(shí),ax=N恒成立,logaN不能確定.一二三四一二三四二、對(duì)數(shù)的性質(zhì)【問(wèn)題思考】 1.為什么零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)?提示:因?yàn)閤=logaN(a0,且a1)ax=N(a0,且a1),而當(dāng)a0,且a1時(shí),ax恒大于0,即N0.故0和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù).2.填寫(xiě)下表:3.做一做:使對(duì)數(shù)式log5(3-x)有意義的x的取值范圍是()A.x3B.x0D.x0)()答案:D 一二三四四、對(duì)數(shù)的換底公式【問(wèn)題思考】 一二三四答案:D 思考辨析判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)里打“”,錯(cuò)誤的打“”.(1)因?yàn)?-2)2=4,所以log-24=2. ()(2)log34與log43表示的含義相同. ()(3)0的對(duì)數(shù)是0. ()(4)lg N是自然對(duì)數(shù). ()(5)logaxlogay=loga(x+y). ()(6)loga(-3)2 018=2 018loga(-3). ()(7)logablogbclogca=1(a,b,c0且均不等于1). ()答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6) (7)探究一探究二探究三探究四思維辨析對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化【例1】 完成下表指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)換.解析:(1)103=1 000log101 000=3,即lg 1 000=3;(2)log39=232=9;(3)log210=x2x=10;(4)e3=xlogex=3,即ln x=3.答案:(1)lg 1 000=3(2)32=9(3)2x=10(4)ln x=3探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟由對(duì)數(shù)的定義知,對(duì)數(shù)式與指數(shù)式是同一種數(shù)量關(guān)系的兩種不同表達(dá)形式,其關(guān)系如下表:探究一探究二探究三探究四思維辨析探究一探究二探究三探究四思維辨析對(duì)數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用對(duì)數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用 探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟1.對(duì)數(shù)恒等式 的應(yīng)用(1)能直接應(yīng)用對(duì)數(shù)恒等式的求值.(2)對(duì)于不能直接應(yīng)用對(duì)數(shù)恒等式的情況按以下步驟求解. 2.利用對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)求值時(shí)經(jīng)常用到兩個(gè)關(guān)鍵的轉(zhuǎn)化(1)logax=1x=a(a0,且a1).(2)logax=0 x=1(a0,且a1).我們常用其來(lái)實(shí)現(xiàn)一些較復(fù)雜的指數(shù)式的轉(zhuǎn)化.探究一探究二探究三探究四思維辨析變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2求下列各式的值: 探究一探究二探究三探究四思維辨析對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用【例3】化簡(jiǎn)下列各式:分析:利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,將所給式子轉(zhuǎn)化為積、商、冪的對(duì)數(shù).探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟?qū)?shù)運(yùn)算法則的使用技巧及注意事項(xiàng)1.“收”:同底的對(duì)數(shù)式中的對(duì)數(shù)的和、差、積、商運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則將它們化為真數(shù)的積、商、冪等,然后化簡(jiǎn)求值,如log24+log25=log220.2.“拆”:將式中真數(shù)的積、商、冪等運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則把它們化為對(duì)數(shù)的和、差、積、商,然后化簡(jiǎn)求值,如 .3.各字母的取值范圍即字母的取值必須保證底數(shù)大于0且不等于1,真數(shù)大于0.4.注意“同底”這個(gè)化簡(jiǎn)的方向,因?yàn)橥椎膶?duì)數(shù)才可能利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則.5.要保證所得結(jié)果中的對(duì)數(shù)與化簡(jiǎn)過(guò)程中的對(duì)數(shù)都有意義.6.不僅要會(huì)正向運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,還要學(xué)會(huì)其“逆用”和“變形用”.探究一探究二探究三探究四思維辨析探究一探究二探究三探究四思維辨析對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用 探究一探究二探究三探究四思維辨析探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟1.應(yīng)用換底公式表示已知對(duì)數(shù)的兩個(gè)策略探究一探究二探究三探究四思維辨析2.利用換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的技巧及常見(jiàn)處理方式(1)技巧:“化異為同”,即將不同底的對(duì)數(shù)盡量化為同底的對(duì)數(shù)來(lái)計(jì)算.(2)常見(jiàn)的三種處理方式:借助運(yùn)算性質(zhì):先利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)進(jìn)行部分運(yùn)算,最后再換成同底求解.借助換底公式:一次性地統(tǒng)一換為常用對(duì)數(shù)(或自然對(duì)數(shù)),再化簡(jiǎn)、通分、求值.利用對(duì)數(shù)恒等式或常見(jiàn)結(jié)論:有時(shí)可熟記一些常見(jiàn)結(jié)論,這樣能夠提高解題效率.探究一探究二探究三探究四思維辨析探究一探究二探究三探究四思維辨析防范措施由對(duì)數(shù)的定義可知,對(duì)數(shù)logaN中a0,且a1,N0.因此我們?cè)谔幚碛嘘P(guān)含有對(duì)數(shù)的方程或不等式等相關(guān)問(wèn)題時(shí),一定要充分考慮這些限定條件,否則會(huì)出現(xiàn)增解或使原表達(dá)式無(wú)意義等錯(cuò)誤.探究一探究二探究三探究四思維辨析123451.已知3m=7,則有()A.3=log7mB.7=log3mC.m=log73D.m=log37解析:由于ax=Nx=logaN,則3m=7m=log37.答案:D61234562.有下列說(shuō)法:任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式;以a(a0,且a1)為底1的對(duì)數(shù)等于0;以3為底9的對(duì)數(shù)等于2;其中正確的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.4解析:正確,錯(cuò)誤,如(-2)2=4,(-1)2=1等不能化成對(duì)數(shù)式;因?yàn)閘og39=log332=2,所以錯(cuò)誤;因?yàn)閘og3(-5)無(wú)意義,所以錯(cuò)誤.答案:A1234561234564.方程log3(x2-10)=1+log3x的解是.解析:原方程可化為log3(x2-10)=log3(3x),所以x2-10=3x,解得x=-2或x=5.經(jīng)檢驗(yàn)知x=5.答案:x=51234561234566.計(jì)算下列各式的值:(1)(lg 2)2+lg 5lg 2+lg 5;(2)(1-log63)2+log62log618log64.解:(1)(lg 2)2+lg 5lg 2+lg 5=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2lg 10+lg 5=lg 2+lg 5=lg 10=1.(2)(1-log63)2+log62log618log64=(log62)2+(log62)2+log622log632log62=log62+log63=1.
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3 3.2 2.1 1對(duì)數(shù)及其運(yùn)算對(duì)數(shù)及其運(yùn)算一二三四一、對(duì)數(shù)的概念【問(wèn)題思考】 1.你會(huì)求下列方程嗎?(1)2x=8;(2)2x=1;(3)3x=2.提示:(1)(2)易求,滿足2x=8的x=3;滿足2x=1的x=0;但滿足3x=2的x沒(méi)法立即寫(xiě)出的,但根據(jù)前面所學(xué)零點(diǎn)及指數(shù)函數(shù)知識(shí),可以確定方程3x=2存在唯一實(shí)根,但鑒于所學(xué)知識(shí),現(xiàn)無(wú)法表示出來(lái),因此需要引入本節(jié)課將要學(xué)習(xí)的“對(duì)數(shù)”.一二三四2.填空.(1)一般地,對(duì)于指數(shù)式ab=N,我們把“以a為底N的對(duì)數(shù)b”記作logaN,即b=logaN(a0,且a1).其中,數(shù)a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù),N叫做真數(shù),讀作“b等于以a為底N的對(duì)數(shù)”;(2)以10為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)為常用對(duì)數(shù),即log10N,記作lg N;(3)以無(wú)理數(shù)e(e=2.718 28)為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)為自然對(duì)數(shù),即logeN,記作ln N;一二三四3.為什么規(guī)定在對(duì)數(shù)logaN中,a0,且a1呢? (2)當(dāng)a=0,N0時(shí),不存在實(shí)數(shù)x使ax=N成立,無(wú)法定義logaN.當(dāng)a=0,N=0時(shí),任意非零正實(shí)數(shù)x,有ax=N成立,logaN不確定.(3)當(dāng)a=1,N1時(shí),不存在實(shí)數(shù)x,使ax=N,logaN無(wú)意義.當(dāng)a=1,N=1時(shí),ax=N恒成立,logaN不能確定.一二三四一二三四二、對(duì)數(shù)的性質(zhì)【問(wèn)題思考】 1.為什么零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)?提示:因?yàn)閤=logaN(a0,且a1)ax=N(a0,且a1),而當(dāng)a0,且a1時(shí),ax恒大于0,即N0.故0和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù).2.填寫(xiě)下表:3.做一做:使對(duì)數(shù)式log5(3-x)有意義的x的取值范圍是()A.x3B.x0D.x0)()答案:D 一二三四四、對(duì)數(shù)的換底公式【問(wèn)題思考】 一二三四答案:D 思考辨析判斷下列說(shuō)法是否正確,正確的在后面的括號(hào)里打“”,錯(cuò)誤的打“”.(1)因?yàn)?-2)2=4,所以log-24=2. ()(2)log34與log43表示的含義相同. ()(3)0的對(duì)數(shù)是0. ()(4)lg N是自然對(duì)數(shù). ()(5)logaxlogay=loga(x+y). ()(6)loga(-3)2 018=2 018loga(-3). ()(7)logablogbclogca=1(a,b,c0且均不等于1). ()答案:(1)(2)(3)(4)(5)(6) (7)探究一探究二探究三探究四思維辨析對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化【例1】 完成下表指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)換.解析:(1)103=1 000log101 000=3,即lg 1 000=3;(2)log39=232=9;(3)log210=x2x=10;(4)e3=xlogex=3,即ln x=3.答案:(1)lg 1 000=3(2)32=9(3)2x=10(4)ln x=3探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟由對(duì)數(shù)的定義知,對(duì)數(shù)式與指數(shù)式是同一種數(shù)量關(guān)系的兩種不同表達(dá)形式,其關(guān)系如下表:探究一探究二探究三探究四思維辨析探究一探究二探究三探究四思維辨析對(duì)數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用對(duì)數(shù)基本性質(zhì)的應(yīng)用 探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟1.對(duì)數(shù)恒等式 的應(yīng)用(1)能直接應(yīng)用對(duì)數(shù)恒等式的求值.(2)對(duì)于不能直接應(yīng)用對(duì)數(shù)恒等式的情況按以下步驟求解. 2.利用對(duì)數(shù)的基本性質(zhì)求值時(shí)經(jīng)常用到兩個(gè)關(guān)鍵的轉(zhuǎn)化(1)logax=1x=a(a0,且a1).(2)logax=0 x=1(a0,且a1).我們常用其來(lái)實(shí)現(xiàn)一些較復(fù)雜的指數(shù)式的轉(zhuǎn)化.探究一探究二探究三探究四思維辨析變式訓(xùn)練變式訓(xùn)練2求下列各式的值: 探究一探究二探究三探究四思維辨析對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用對(duì)數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用【例3】化簡(jiǎn)下列各式:分析:利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,將所給式子轉(zhuǎn)化為積、商、冪的對(duì)數(shù).探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟?qū)?shù)運(yùn)算法則的使用技巧及注意事項(xiàng)1.“收”:同底的對(duì)數(shù)式中的對(duì)數(shù)的和、差、積、商運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則將它們化為真數(shù)的積、商、冪等,然后化簡(jiǎn)求值,如log24+log25=log220.2.“拆”:將式中真數(shù)的積、商、冪等運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則把它們化為對(duì)數(shù)的和、差、積、商,然后化簡(jiǎn)求值,如 .3.各字母的取值范圍即字母的取值必須保證底數(shù)大于0且不等于1,真數(shù)大于0.4.注意“同底”這個(gè)化簡(jiǎn)的方向,因?yàn)橥椎膶?duì)數(shù)才可能利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則.5.要保證所得結(jié)果中的對(duì)數(shù)與化簡(jiǎn)過(guò)程中的對(duì)數(shù)都有意義.6.不僅要會(huì)正向運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則,還要學(xué)會(huì)其“逆用”和“變形用”.探究一探究二探究三探究四思維辨析探究一探究二探究三探究四思維辨析對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用 探究一探究二探究三探究四思維辨析探究一探究二探究三探究四思維辨析反思感悟1.應(yīng)用換底公式表示已知對(duì)數(shù)的兩個(gè)策略探究一探究二探究三探究四思維辨析2.利用換底公式進(jìn)行化簡(jiǎn)求值的技巧及常見(jiàn)處理方式(1)技巧:“化異為同”,即將不同底的對(duì)數(shù)盡量化為同底的對(duì)數(shù)來(lái)計(jì)算.(2)常見(jiàn)的三種處理方式:借助運(yùn)算性質(zhì):先利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則及性質(zhì)進(jìn)行部分運(yùn)算,最后再換成同底求解.借助換底公式:一次性地統(tǒng)一換為常用對(duì)數(shù)(或自然對(duì)數(shù)),再化簡(jiǎn)、通分、求值.利用對(duì)數(shù)恒等式或常見(jiàn)結(jié)論:有時(shí)可熟記一些常見(jiàn)結(jié)論,這樣能夠提高解題效率.探究一探究二探究三探究四思維辨析探究一探究二探究三探究四思維辨析防范措施由對(duì)數(shù)的定義可知,對(duì)數(shù)logaN中a0,且a1,N0.因此我們?cè)谔幚碛嘘P(guān)含有對(duì)數(shù)的方程或不等式等相關(guān)問(wèn)題時(shí),一定要充分考慮這些限定條件,否則會(huì)出現(xiàn)增解或使原表達(dá)式無(wú)意義等錯(cuò)誤.探究一探究二探究三探究四思維辨析123451.已知3m=7,則有()A.3=log7mB.7=log3mC.m=log73D.m=log37解析:由于ax=Nx=logaN,則3m=7m=log37.答案:D61234562.有下列說(shuō)法:任何一個(gè)指數(shù)式都可以化成對(duì)數(shù)式;以a(a0,且a1)為底1的對(duì)數(shù)等于0;以3為底9的對(duì)數(shù)等于2;其中正確的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.4解析:正確,錯(cuò)誤,如(-2)2=4,(-1)2=1等不能化成對(duì)數(shù)式;因?yàn)閘og39=log332=2,所以錯(cuò)誤;因?yàn)閘og3(-5)無(wú)意義,所以錯(cuò)誤.答案:A1234561234564.方程log3(x2-10)=1+log3x的解是.解析:原方程可化為log3(x2-10)=log3(3x),所以x2-10=3x,解得x=-2或x=5.經(jīng)檢驗(yàn)知x=5.答案:x=51234561234566.計(jì)算下列各式的值:(1)(lg 2)2+lg 5lg 2+lg 5;(2)(1-log63)2+log62log618log64.解:(1)(lg 2)2+lg 5lg 2+lg 5=lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5=lg 2lg 10+lg 5=lg 2+lg 5=lg 10=1.(2)(1-log63)2+log62log618log64=(log62)2+(log62)2+log622log632log62=log62+log63=1.
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