第八章 專題拓展8.1觀察歸納型中考數(shù)學(xué)中考數(shù)學(xué) (湖南專用)1.(2017湖北武漢,8,3分)按照一定規(guī)律排列的n個(gè)數(shù):-2,4,-8,16,-32,64,.若最后三個(gè)數(shù)的和為768,則n為()A.9B.10C.11D.12好題精練答案答案B根據(jù)規(guī)律可知,第n個(gè)數(shù)為(-1)n2n,則最后三個(gè)數(shù)為(-1)n-22n-2,(-1)n-12n-1,(-1)n2n,當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),(-1)n-22n-2+(-1)n-12n-1+(-1)n2n=768,即-2n-2+2n-1-2n=768,-2n-2(1-2+4)=768,-2n-2=256,此方程無解;當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),(-1)n-22n-2+(-1)n-12n-1+(-1)n2n=768,即2n-2-2n-1+2n=768,2n-2(1-2+4)=768,2n-2=28,n-2=8,n=10.思路分析思路分析先由規(guī)律得出第n個(gè)數(shù)為(-1)n2n,然后寫出最后三個(gè)數(shù),根據(jù)最后三個(gè)數(shù)的和為768列方程求解,注意n要分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論.2.(2016湖南邵陽,10,3分)如圖所示,下列各三角形中的三個(gè)數(shù)之間均具有相同的規(guī)律,根據(jù)此規(guī)律,最后一個(gè)三角形中y與n之間的關(guān)系是()A.y=2n+1B.y=2n+nC.y=2n+1+nD.y=2n+n+1答案答案B根據(jù)3=1+21,6=2+22,11=3+23,總結(jié)規(guī)律為y=n+2n,故選B.3.(2016湖南婁底,9,3分)“數(shù)學(xué)是將科學(xué)現(xiàn)象升華到科學(xué)本質(zhì)認(rèn)識(shí)的重要工具”.比如在化學(xué)中,甲烷的化學(xué)式是CH4,乙烷的化學(xué)式是C2H6,丙烷的化學(xué)式是C3H8,設(shè)碳原子的數(shù)目為n(n為正整數(shù)),則它們的化學(xué)式都可用下列哪個(gè)式子來表示()A.CnH2n+2B.CnH2nC.CnH2n-2D.CnHn+3答案答案A設(shè)碳原子的數(shù)目為n(n為正整數(shù))時(shí),氫原子的數(shù)目為an,觀察發(fā)現(xiàn)規(guī)律:a1=4=21+2,a2=6=22+2,a3=8=23+2,an=2n+2.碳原子的數(shù)目為n(n為正整數(shù))時(shí),它們的化學(xué)式為CnH2n+2.故選A.4.(2016湖南永州,12,4分)我們根據(jù)指數(shù)運(yùn)算,得出了一種新的運(yùn)算,下表是兩種運(yùn)算對(duì)應(yīng)關(guān)系的一組實(shí)例:根據(jù)上表規(guī)律,某同學(xué)寫出了三個(gè)式子:log216=4,log525=5,log2=-1.其中正確的是()A.B.C.D.指數(shù)運(yùn)算21=222=423=831=332=933=27新運(yùn)算log22=1log24=2log28=3log33=1log39=2log327=312答案答案B經(jīng)過分析,可以得到新運(yùn)算中的規(guī)律,如果ab=N,那么logaN=b.因?yàn)?4=16,5525,2-1=,所以log216=4,log2=-1,即正確.1212思路分析思路分析根據(jù)指數(shù)運(yùn)算和新的運(yùn)算法則得出規(guī)律,根據(jù)規(guī)律運(yùn)算可得結(jié)論.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵根據(jù)指數(shù)運(yùn)算與新運(yùn)算歸納總結(jié)出運(yùn)算中數(shù)字變化特點(diǎn)的規(guī)律:指數(shù)運(yùn)算ax=y,新運(yùn)算logay=x.5.(2015湖南張家界,8,3分)任意大于1的正整數(shù)m的三次冪均可“分裂”成m個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和,如:23=3+5,33=7+9+11,43=13+15+17+19,按此規(guī)律,若m3分裂后其中有一個(gè)奇數(shù)是2015,則m的值是()A.46B.45C.44D.43答案答案B底數(shù)是2的分裂成2個(gè)奇數(shù),底數(shù)為3的分裂成3個(gè)奇數(shù),底數(shù)為4的分裂成4個(gè)奇數(shù),m3有m個(gè)奇數(shù),所以,到m3的奇數(shù)的個(gè)數(shù)為2+3+4+m=,2n+1=2015,n=1007,奇數(shù)2015是從3開始的第1007個(gè)奇數(shù),=989,=1034,第1007個(gè)奇數(shù)是底數(shù)為45的數(shù)的立方分裂的奇數(shù)的其中一個(gè),即m=45.故選B.(2)(1)2mm(442) (44 1)2(452) (45 1)26.(2015重慶,11,4分)下列圖形都是由同樣大小的小圓圈按一定規(guī)律所組成的,其中第個(gè)圖形中一共有6個(gè)小圓圈,第個(gè)圖形中一共有9個(gè)小圓圈,第個(gè)圖形中一共有12個(gè)小圓圈,按此規(guī)律排列,則第個(gè)圖形中小圓圈的個(gè)數(shù)為()A.21B.24C.27D.30答案答案B第個(gè)圖形中有23=6個(gè)小圓圈;第個(gè)圖形中有33=9個(gè)小圓圈;第個(gè)圖形中有34=12個(gè)小圓圈;第個(gè)圖形中有38=24個(gè)小圓圈,故選B.7.(2015山東威海,12,3分)如圖,正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長為2,正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓與正六邊形A1B1C1D1E1F1的各邊相切,正六邊形A3B3C3D3E3F3的外接圓與正六邊形A2B2C2D2E2F2的各邊相切,按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去,正六邊形A10B10C10D10E10F10的邊長為()A.B.C.D.92432981 329812881 32答案答案D正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長為2=,正六邊形A2B2C2D2E2F2的外接圓的半徑為2=,則正六邊形A2B2C2D2E2F2的邊長為=,同理,正六邊形A3B3C3D3E3F3的邊長為=,正六邊形AnBnCnDnEnFn的邊長為,則當(dāng)n=10時(shí),正六邊形A10B10C10D10E10F10的邊長為=.故選D.1 11 2( 3)232332 12 2( 3)2323 13 2( 3)212( 3)2nn10 110 2( 3)288( 3)3248332881 328.(2014湖南株洲,8,3分)在平面直角坐標(biāo)系中,孔明做走棋的游戲,其走法:棋子從原點(diǎn)出發(fā),第1步向右走1個(gè)單位,第2步向右走2個(gè)單位,第3步向上走1個(gè)單位,第4步向右走1個(gè)單位,依此類推,第n步的走法:當(dāng)n能被3整除時(shí),則向上走1個(gè)單位;當(dāng)n被3除,余數(shù)為1時(shí),則向右走1個(gè)單位;當(dāng)n被3除,余數(shù)為2時(shí),則向右走2個(gè)單位,當(dāng)走完第100步時(shí),棋子所處置的坐標(biāo)是()A.(66,34)B.(67,33)C.(100,33)D.(99,34)答案答案C由題意得,每3步為一個(gè)循環(huán)組依次循環(huán),且一個(gè)循環(huán)組內(nèi)向右走3個(gè)單位,向上走1個(gè)單位,1003=33余1,走完第100步,為第34個(gè)循環(huán)組的第1步,所處位置的橫坐標(biāo)為333+1=100,縱坐標(biāo)為331=33,棋子所處位置的坐標(biāo)是(100,33).故選C.9.(2018湖南婁底,18,3分)設(shè)a1,a2,a3,是一列正整數(shù),其中a1表示第一個(gè)數(shù),a2表示第二個(gè)數(shù),依此類推,an表示第n個(gè)數(shù)(n是正整數(shù)).已知a1=1,4an=(an+1-1)2-(an-1)2,則a2018=.答案答案4035解析解析4an=(an+1-1)2-(an-1)2,(an+1-1)2=(an-1)2+4an=(an+1)2,a1,a2,a3,是一列正整數(shù),an+1-1=an+1,an+1=an+2,a1=1,a2=3,a3=5,a4=7,a5=9,an=2n-1,a2018=4035.思路分析思路分析由4an=(an+1-1)2-(an-1)2,可得(an+1-1)2=(an-1)2+4an=(an+1)2,根據(jù)a1,a2,a3,是一列正整數(shù),得出an+1=an+2,根據(jù)a1=1,分別求出a2=3,a3=5,a4=7,a5=9,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)規(guī)律an=2n-1,即可求出a2018=4035.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵通過計(jì)算、分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,并應(yīng)用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題.解決本題的難點(diǎn)在于得出式子an+1=an+2.10.(2018湖南衡陽,18,3分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,函數(shù)y=x和y=-x的圖象分別為直線l1,l2,過點(diǎn)A1作x軸的垂線交l1于點(diǎn)A2,過點(diǎn)A2作y軸的垂線交l2于點(diǎn)A3,過點(diǎn)A3作x軸的垂線交l1于點(diǎn)A4,過點(diǎn)A4作y軸的垂線交l2于點(diǎn)A5,依次進(jìn)行下去,則點(diǎn)A2018的橫坐標(biāo)為.1211,2答案答案21008解析解析A1,A2(1,1),A3(-2,1),A4(-2,-2),A5(4,-2),A6(4,4),20184=5042,A2018在射線OA2上,又A2的橫坐標(biāo)為20=1,A6的橫坐標(biāo)為=22=4.點(diǎn)A2018的橫坐標(biāo)為=21008.11,26122201812211.(2016湖南衡陽,18,3分)如圖所示,1條直線將平面分成2個(gè)部分,2條直線最多可將平面分成4個(gè)部分,3條直線最多可將平面分成7個(gè)部分,4條直線最多可將平面分成11個(gè)部分.現(xiàn)有n條直線最多可將平面分成56個(gè)部分,則n的值為.答案答案10解析解析1條直線可將平面分成2個(gè)部分,2=1+1;2條直線最多可將平面分成4個(gè)部分,4=1+1+2;3條直線最多可將平面分成7個(gè)部分,7=1+1+2+3;4條直線最多可將平面分成11個(gè)部分,11=1+1+2+3+4;n條直線最多可將平面分成1+1+2+3+4+n=1+=個(gè)部分.根據(jù)題意,得=56,解得n1=10,n2=-11.其中n2=-11不合題意,舍去.故n的值為10.(1)2n n222nn222nn12.(2016湖南岳陽,16,4分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,每個(gè)最小方格的邊長均為1個(gè)單位長,P1,P2,P3,均在格點(diǎn)上,其順序按圖中“”方向排列,如:P1(0,0),P2(0,1),P3(1,1),P4(1,-1),P5(-1,-1),P6(-1,2),根據(jù)這個(gè)規(guī)律,點(diǎn)P2016的坐標(biāo)為.答案答案(504,-504)解析解析根據(jù)各個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系,可得出下標(biāo)為4的倍數(shù)的點(diǎn)在第四象限的角平分線上,被4除余1的點(diǎn)在第三象限的角平分線上,被4除余2的點(diǎn)在第二象限的角平分線上,被4除余3的點(diǎn)在第一象限的角平分線上,20164=504,點(diǎn)P2016在第四象限的角平分線上.點(diǎn)P4(1,-1),點(diǎn)P8(2,-2),點(diǎn)P12(3,-3),點(diǎn)P2016的橫坐標(biāo)為20164=504,縱坐標(biāo)為-504.點(diǎn)P2016的坐標(biāo)為(504,-504).思路分析思路分析根據(jù)各個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系,可得出下標(biāo)為4的倍數(shù)的點(diǎn)在第四象限的角平分線上,被4除余1的點(diǎn)在第三象限的角平分線上,被4除余2的點(diǎn)在第二象限的角平分線上,被4除余3的點(diǎn)在第一象限的角平分線上,點(diǎn)P2016在第四象限的角平分線上,且橫、縱坐標(biāo)的絕對(duì)值=20164=504,再根據(jù)第四象限內(nèi)點(diǎn)的符號(hào)得出答案即可.解題關(guān)鍵解題關(guān)鍵找出數(shù)字隨點(diǎn)的位置變化規(guī)律,先觀察點(diǎn)所在的象限的變化規(guī)律確定點(diǎn)所在象限,再觀察數(shù)字變化特點(diǎn)歸納數(shù)字變化規(guī)律確定點(diǎn)的坐標(biāo).13.(2016湖南郴州,16,3分)觀察下列等式:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,試猜想32016的是.個(gè)位數(shù)字答案答案1解析解析31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,個(gè)位數(shù)字分別為3、9、7、1,依次循環(huán),20164=504,32016的個(gè)位數(shù)字與34的個(gè)位數(shù)字相同,是1.審題技巧審題技巧本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律,這類題型在中考中經(jīng)常出現(xiàn).對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化,是按照什么規(guī)律變化的.對(duì)于本題的關(guān)鍵在于找個(gè)位數(shù)字的變化規(guī)律,在變化中后一項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字由前一項(xiàng)的個(gè)位數(shù)字乘以3得到的數(shù)的個(gè)位數(shù)字確定.14.(2016湖南益陽,14,5分)小李用圍棋子排成下列一組有規(guī)律的圖案,其中第1個(gè)圖案有1枚棋子,第2個(gè)圖案有3枚棋子,第3個(gè)圖案有4枚棋子,第4個(gè)圖案有6枚棋子,那么第9個(gè)圖案的棋子數(shù)是枚.答案答案13解析解析設(shè)第m(m為正整數(shù))個(gè)圖案有am枚棋子.觀察發(fā)現(xiàn):a1=1,a2=1+2=3,a3=3+1=4,a4=4+2=6,a5=6+1=7,.總結(jié)規(guī)律得a2n+1=3n+1,a2n+2=3(n+1)(n為自然數(shù)).當(dāng)n=4時(shí),a9=34+1=13.15.(2014湖南衡陽,20,3分)如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)M0的坐標(biāo)為(1,0),將線段OM0繞原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45,再將其延長至點(diǎn)M1,使得M1M0OM0,得到線段OM1;又將線段OM1繞原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45,再將其延長至點(diǎn)M2,使得M2M1OM1,得到線段OM2;如此下去,得到線段OM3、OM4、OM5、.根據(jù)以上規(guī)律,請(qǐng)直接寫出線段OM2014的長度為.答案答案()20142解析解析點(diǎn)M0的坐標(biāo)為(1,0),OM0=1,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì),可知OM1=,同理,OM2=()2,OM3=()3,OM4=()4,故OM2014=()2014.22222