第第4242課時(shí)課時(shí)解答題解答題(代數(shù)與幾何綜合題代數(shù)與幾何綜合題)-2-3-考點(diǎn)考點(diǎn)1函數(shù)與幾何函數(shù)與幾何【例1】(2016梅州)如圖,在RtABC中,ACB=90,AC=5 cm,BAC=60,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā),在BA邊上以每秒2 cm的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)C出發(fā),在CB邊上以每秒 cm的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(0 t5),連接MN.(1)若BM=BN,求t的值;(2)若MBN與ABC相似,求t的值;(3)當(dāng)t為何值時(shí),四邊形ACNM的面積最小?并求出最小值.-4-【名師點(diǎn)撥】 本題主要考查了二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)、待定系數(shù)法;等腰直角三角形、矩形的的性質(zhì). (1)根據(jù)題意利用待定系數(shù)法及拋物線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)可得出答案;(2)分以點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)和點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)兩種情況分別進(jìn)行計(jì)算;兩種情況都根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得出點(diǎn)的坐標(biāo);(3)根據(jù)垂線段最短,可得當(dāng)ODAC時(shí),OD最短,即EF最短,根據(jù)OC=OA=3,ODAC得出 D是AC的中點(diǎn),從而得出點(diǎn)P的縱坐標(biāo),然后根據(jù)題意得出方程,從而求出點(diǎn)P的坐標(biāo).-5-【我的解法】 解:(1)在RtABC中,ACB=90,AC=5,BAC=60,-6-(3)過(guò)M作MDBC于點(diǎn)D,可得:MD=t設(shè)四邊形ACNM的面積為y,【題型感悟】 熟記二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)、待定系數(shù)法;等腰直角三角形、矩形的的性質(zhì). 熟練應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)綜合解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.-7-【考點(diǎn)變式】(2015佛山)如圖,一小球從斜坡O點(diǎn)處拋出,球的拋出路線可以用二次函數(shù)y=-x2+4x刻畫(huà),斜坡可以用一次函數(shù)y= x刻畫(huà).(1)請(qǐng)用配方法求二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)小球的落點(diǎn)是A,求點(diǎn)A的坐標(biāo);(3)連接拋物線的最高點(diǎn)P與點(diǎn)O、A得POA,求POA的面積;(4)在OA上方的拋物線上存在一點(diǎn)M(M與P不重合),MOA的面積等于POA的面積.請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)M的坐標(biāo).-8-解:(1)由題意得,y=-x2+4x=-(x-2)2+4,故二次函數(shù)圖象的最高點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2,4);(3)如圖,作PQx軸于點(diǎn)Q,ABx軸于點(diǎn)B.SPOA=SPOQ+S梯形PQBA-SBOA-9-(4)如圖,過(guò)P作OA的平行線,交拋物線于點(diǎn)M,連結(jié)OM、AM,則MOA的面積等于POA的面積.-10-考點(diǎn)考點(diǎn)2動(dòng)點(diǎn)與函數(shù)綜合動(dòng)點(diǎn)與函數(shù)綜合【例2】(2015廣東)如圖,在同一平面上,兩塊斜邊相等的直角三角板RtABC與RtADC拼在一起,使斜邊AC完全重合,且頂點(diǎn)B,D分別在AC的兩旁,ABC=ADC=90,CAD=30,AB=BC=4 cm.(1)填空:AD=(cm),DC=(cm);(2)點(diǎn)M,N分別從A點(diǎn),C點(diǎn)同時(shí)以每秒1 cm的速度等速出發(fā),且分別在AD,CB上沿AD,CB的方向運(yùn)動(dòng),當(dāng)N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí),M,N兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng),連接MN,求當(dāng)M,N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了x秒時(shí),點(diǎn)N到AD的距離(用含x的式子表示);-11-(3)在(2)的條件下,取DC中點(diǎn)P,連接MP,NP,設(shè)PMN的面積為y(cm2),在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,PMN的面積y存在最大值,請(qǐng)求出這個(gè)【名師點(diǎn)撥】 (1)利用直角三角形性質(zhì),求出AC后可求得DC、AD的長(zhǎng);(2)在RtCFN中,利用三角函數(shù)求出FC,從而可求DF即得NE的長(zhǎng);(3)分別求出FN、PD、PF、MD,由“PMN的面積=梯形MDFN的面積-PMD的面積-PNF的面積”得出函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合函數(shù)性質(zhì),利用二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)確定出最大值.-12-(2)如圖,過(guò)點(diǎn)N作NEAD于E,作NFDC延長(zhǎng)線于F,則NE=DF.ACD=60,ACB=45,NCF=75,FNC=15,-13-14-【題型感悟】 熟記直角三角形性質(zhì)、三角函數(shù)、梯形、三角形面積關(guān)系、二次函數(shù)的最值確定方法是解題關(guān)鍵.-15-【考點(diǎn)變式】(2016廣東)如圖,BD是正方形ABCD的對(duì)角線,BC=2,邊BC在其所在的直線上平移,將通過(guò)平移得到的線段記為PQ,連接PA、QD,并過(guò)點(diǎn)Q作QOBD,垂足為O,連接OA、OP.(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出線段BC在平移過(guò)程中,四邊形APQD是什么四邊形?(2)請(qǐng)判定OA、OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系,并加以證明;(3)在平移變換過(guò)程中,設(shè)y=SOPB,BP=x(0 x2),求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并求出y的最大值.-16-解:(1)四邊形APQD為平行四邊形;(2)OA=OP,OAOP,證明:四邊形ABCD是正方形,AB=BC=PQ,ABO=OBQ=45,OQBD,PQO=45,ABO=OBQ=PQO=45,OB=OQ,AOB OPQ,OA=OP,AOB=POQ,AOP=BOQ=90,OAOP;-17-如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在B點(diǎn)左側(cè)時(shí), (3)如圖,過(guò)O作OEBC于E.如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí),-18-解答題(2017廣東)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,O為原點(diǎn),四邊形ABCO是矩形,點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別是A(0,2)和C(2 ,0),點(diǎn)D是對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)(不與A,C重合),連結(jié)BD,作DEDB,交x軸于點(diǎn)E,以線段DE,DB為鄰邊作矩形BDEF.(1)填空:點(diǎn)B的坐標(biāo)為;(2)是否存在這樣的點(diǎn)D,使得DEC是等腰三角形?若存在,請(qǐng)求出AD的長(zhǎng)度;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由;-19-設(shè)AD=x,矩形BDEF的面積為y,求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式(可利用的結(jié)論),并求出y的最小值.-20-(2)存在.理由如下:連接BE,取BE的中點(diǎn)K,連接DK、KC.BDE=BCE=90,KD=KB=KE=KC,B、D、E、C四點(diǎn)-21-如圖(1)中,DEC是等腰三角形,觀察圖象可知,只有ED=EC,DBC=DCE=EDC=EBC=30,DBC=BCD=60,DBC是等邊三角形,DC=BC=2,在RtAOC中,ACO=30,OA=2,AC=2AO=4,AD=AC-CD=4-2=2,當(dāng)AD=2時(shí),DEC是等腰三角形.如圖(2)中,DCE是等腰三角形,易知CD=CE,DBC=DEC=CDE=15,-22-(3)由(2)可知,B、D、E、C四點(diǎn)共圓,DBC=DCE=30, 如圖(2)中,作DHAB于H.在RtADH中,AD=x,DAH=AOC=30,-23-