第三節(jié)直線、平面平行的判定與性質總綱目錄教材研讀1.直線與平面平行的判定定理和性質定理考點突破2.平面與平面平行的判定定理和性質定理考點二平面與平面平行的判定與性質考點二平面與平面平行的判定與性質考點一直線與平面平行的判定與性質直線與平面平行的判定與性質考點三考點三平行關系的綜合問題平行關系的綜合問題教材研讀教材研讀1.直線與平面平行的判定定理和性質定理直線與平面平行的判定定理和性質定理2.平面與平面平行的判定定理和性質定理平面與平面平行的判定定理和性質定理1.如果直線a平面,那么直線a與平面內的( )A.一條直線不相交B.兩條直線不相交C.無數(shù)條直線不相交D.任意一條直線都不相交D答案答案 D因為直線a平面,所以直線a與平面無公共點,因此直線a和平面內的任意一條直線都不相交,故選D.2.下列命題中,正確的是( )A.若ab,b,則aB.若a,b,則abC.若a,b,則abD.若ab,b,a ,則aD答案答案 D A中還有可能a,B中還有可能a與b異面,C中還有可能a與b相交或異面,只有選項D正確.3.(2015北京,4,5分)設,是兩個不同的平面,m是直線且m.“m”是“”的( )A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件B答案答案 B由兩平面平行的判定定理可知,當其中一個平面內的兩條相交直線均平行于另一平面時,兩平面才平行,所以“m”不能推出“”;若兩平面平行,則其中一個平面內的任意一條直線平行于另一個平面,所以“”可以推出“m”.因此“m”是“”的必要而不充分條件.故選B.4.已知平面,直線a,有下列命題:a與內的所有直線平行;a與內無數(shù)條直線平行;a與內的任意一條直線都不垂直.其中真命題的序號是 .答案答案解析解析設過a且與相交的平面與的交線為b,由面面平行的性質定理知,ba,故內的直線b及與b平行的直線才與a平行,故錯誤,正確.平面內的直線與直線a平行或異面,其中包括異面垂直,故錯誤.5.三棱柱ABC-A1B1C1中,過棱A1C1,B1C1,BC,AC的中點E,F,G,H的平面與平面 A1B1BA 平行.答案答案 A1B1BA解析解析如圖所示,連接各中點后,易知平面EFGH與平面A1B1BA平行. 6.如圖所示,棱長為a的正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,N分別是棱A1B1,B1C1的中點,P是棱AD上的一點,AP=,過P、M、N的平面交上底面于PQ,點Q在CD上,則PQ= a . 3a2 23答案答案 a2 23解析解析連接AC,由平面ABCD平面A1B1C1D1,得MN平面ABCD,所以MNPQ,又因為MNAC,所以PQAC,所以=,所以PQ=AC=a.PDADDQCDPQAC23232 23考點一直線與平面平行的判定與性質考點一直線與平面平行的判定與性質考點突破考點突破典例典例1如圖所示,斜三棱柱ABC-A1B1C1中,點D,D1分別為AC,A1C1的中點.(1)證明:AD1平面BDC1;(2)證明:BD平面AB1D1.證明證明(1)D1,D分別為A1C1,AC的中點,四邊形ACC1A1為平行四邊形,C1D1DA,四邊形ADC1D1為平行四邊形,AD1C1D,又AD1 平面BDC1,C1D平面BDC1,AD1平面BDC1.(2)連接D1D,BB1平面ACC1A1,BB1平面BB1D1D,平面ACC1A1平面BB1D1D=D1D,BB1D1D,又D1,D分別為A1C1,AC的中點,BB1=DD1,故四邊形BDD1B1為平行四邊形,BDB1D1,又BD 平面AB1D1,B1D1平面AB1D1,BD平面AB1D1.方法技巧方法技巧證明線面平行的常用方法:(1)利用線面平行的定義(無公共點);(2)利用線面平行的判定定理(a ,b,aba);(3)利用“面面平行線面平行”(,aa);(4)利用平行的傳遞性(,a ,aa;ab,b,a a).1-1如圖,四棱錐P-ABCD中,ADBC,AB=BC=AD,E,F,H分別為AD,PC,CD的中點,AC與BE交于O點,G是OF上一點.(1)求證:AP平面BEF;(2)求證:GH平面PAD. 12證明證明(1)連接EC,ADBC,AE=AD,BC=AD,BC AE.四邊形ABCE是平行四邊形,O為AC的中點.又F是PC的中點,FOAP,1212又FO平面BEF,AP 平面BEF,AP平面BEF.(2)連接FH,OH,F,H分別是PC,CD的中點,FHPD,又PD平面PAD,FH 平面PAD,FH平面PAD.又O是AC的中點,H是CD的中點,OHAD,又AD平面PAD,OH 平面PAD,OH平面PAD.又FHOH=H,平面OHF平面PAD.又GH平面OHF,GH平面PAD.考點二平面與平面平行的判定與性質考點二平面與平面平行的判定與性質典例典例2如圖,ABCD與ADEF均為平行四邊形,M,N,G分別是AB,AD,EF的中點.(1)求證:BE平面DMF;(2)求證:平面BDE平面MNG. 證明證明(1)如圖,連接AE,則AE必過DF與GN的交點O,連接MO,則MO為ABE的中位線,所以BEMO,又BE 平面DMF,MO平面DMF,所以BE平面DMF.(2)因為N,G分別為平行四邊形ADEF的邊AD,EF的中點,所以DEGN,又DE 平面MNG,GN平面MNG,所以DE平面MNG.又因為M為AB的中點,所以MN為ABD的中位線,所以BDMN,又BD 平面MNG,MN平面MNG,所以BD平面MNG,又DE與BD為平面BDE內的兩條相交直線,所以平面BDE平面MNG.方法技巧方法技巧證明面面平行的常用方法:(1)利用面面平行的定義;(2)利用面面平行的判定定理:如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面,那么這兩個平面平行;(3)利用“垂直于同一條直線的兩個平面平行”;(4)利用“如果兩個平面同時平行于第三個平面,那么這兩個平面平行”;(5)利用“線線平行”“線面平行”“面面平行”的相互轉化.2-1如圖,PAB所在的平面與、分別交于CD、AB.若PC=2,CA=3,CD=1,則AB= . 52答案答案 52解析解析,PAB所在的平面與、分別交于CD、AB,CDAB,=.AB=.PCPACDABPA CDPC5 1252典例典例3如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E、F、G、H分別是BC、CC1、C1D1、A1A的中點.求證:(1)BFHD1;(2)EG平面BB1D1D;(3)平面BDF平面B1D1H. 考點三平行關系的綜合問題考點三平行關系的綜合問題證明證明(1)如圖所示,取BB1的中點M,連接HM、MC1,易證四邊形HMC1D1是平行四邊形,HD1MC1.又易知MC1BF,BFHD1.(2)取BD的中點O,連接EO,D1O,則OEDC且OE=DC,又D1GDC且D1G=DC,OE D1G,1212四邊形OEGD1是平行四邊形,GED1O.又D1O平面BB1D1D,GE 平面BB1D1D,EG平面BB1D1D.(3)由(1)知,D1HBF,又BDB1D1,B1D1、HD1平面HB1D1,BF、BD平面BDF,且B1D1HD1=D1,DBBF=B,平面BDF平面B1D1H.方法技巧方法技巧1.線線平行、線面平行和面面平行是空間中三種基本平行關系,它們之間可以相互轉化,其轉化關系如下: 2.在解決線面、面面平行的判定時,一般遵循從“低維”到“高維”的轉化,即從“線線平行”到“線面平行”,再到“面面平行”;而應用性質定理時,其順序正好相反,但也要注意,轉化的方向總是由題目的具體條件而定,決不可過于“模式化”.3-1如圖,E是正方體ABCD-A1B1C1D1的棱DD1的中點,過A、C、E三點作平面與正方體的面相交.(1)畫出平面與正方體ABCD-A1B1C1D1各面的交線;(2)求證:BD1平面. 解析解析(1)如圖,交線即為EC、AC、AE,平面即為平面AEC.(2)證明:連接BD與AC交于O,連接EO,四邊形ABCD為正方形,O是BD的中點,又E為DD1的中點,OEBD1,又OE平面,BD1 平面,BD1平面.