《初中數學競賽輔導講義及習題解答 第6講 轉化—可化為一元二次方程的方程》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《初中數學競賽輔導講義及習題解答 第6講 轉化—可化為一元二次方程的方程（7頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第六講 轉化—可化為一元二次方程的方程 數學(家)特有的思維方式是什么?若從量的方面考慮，通常運用符號進行形式化抽象，在一個概念和公理體系內實施推理計算，若從“轉化”這個側面又該如何回答?匈牙利女數學家路莎·彼得在《無窮的玩藝》一書中寫道：“作為數學家的思維來說是很典型的，他們往往不對問題進行正面攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉化為已經能夠解決的問題．” 轉化與化歸是解分式方程和高次方程(次數高于二次的整式方程)的基本思想．解分式方程，通過去分母和換元；解高次方程，利用因式分解和換元，轉化為一元二次方程或一元一次方程去求解． 【例題求解】 【例1】 若，則的值為

2、 ． 思路點撥 視為整體，令，用換元法求出即可． 【例2】 若方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是( ) A． B． C． D． 思路點撥 通過平方有理化，將無理方程根的個數討論轉化為一元二次方程實根個數的討論，但需注意注的隱含制約． 注：轉化與化歸是一種重要的數學思想，在數學學習與解數學題中，我們常常用到下列不同途徑

3、的轉化：實際問題轉化大為數學問題，數與形的轉化，常量與變量的轉化，一般與特殊的轉化等． 解下列方程： （1）； (2)； （3）． 按照常規(guī)思路求解繁難，應恰當轉化，對于(1)，利用倒數關系換元；對于(2)，從受到啟示；對于(3)，設，

4、則可導出、的結果． 注：換元是建立在觀察基礎上的，換元不拘泥于一元代換，可根據問題的特點，進行多元代換． 【例4】 若關于的方程只有一個解(相等的解也算作一個)，試求的值與方程的解． 思路點撥 先將分式方程轉化為整式方程，把分式方程解的討論轉化為整式方程的解的討論，“只有一個解”內涵豐富，在全面分析的基礎上求出的值． 注：分式方程轉化為整式方程不一定是等價轉化，有可能產生增根，分式方程只有一個解，可能足轉化后所得的整式方程只有一個解，也可能是轉化后的整式

5、方程有兩個解，而其中一個是原方程的增根，故分式方程的解的討論，要運用判別式、增根等知識全面分析． 【例5】 已知關于的方程有兩個根相等，求的值． 思路點撥 通過換元可得到兩個關于的含參數的一元二次方程，利用判別式求出的值． 注：運用根的判別式延伸到分式方程、高次方程根的情況的探討，是近年中考、競賽中一類新題型，盡管這種探討仍以一元二次方程的根為基礎，但對轉換能力、思維周密提出了較高要求． 學歷訓練 1．若關于的方程有增根，則的值為 ；若關于的方程 曾＝一1的解為正數，則的取值范圍是 ． 2．解方程得 ．

6、 3．已知方程有一個根是2，則= ． 4．方程的全體實數根的積為( ) A．60 B．一60 C．10 D．一10 5．解關于的方程不會產生增根，則是的值是( ) A．2 B．1 C．不為2或一2 D．無法確定 6．已知實數滿足，那么的值為( ) A．1或一2 B．一1或2 C．1 D．一2

7、 7．(1)如表，方程1、方程2、方程3、……，是按照一定規(guī)律排列的一列方程，解方程1，并將它的解填在表中的空格處； (2)若方程()的解是=6，=10，求、的值．該方程是不是(1)中所給的一列方程中的一個方程?如果是，它是第幾個方程? (3)請寫出這列方程中的第個方程和它的解，并驗證所寫出的解適合第個方程． 序號 方 程 方程的解 1 = = 2 =4 =6 3 =5 =8 … … … … 8．解下列方程： （1） ； （2）； (3)； (4)． 9

8、．已知關于的方程，其中為實數，當m為何值時，方程恰有三個互不相等的實數根?求出這三個實數根． 10．方程的解是 ． 11．解方程得 ． 12．方程的解是 ． 13．

9、若關于的方程恰有兩個不同的實數解，則實數的取值范圍是 ． 14．解下列方程： (1)； (2)； （3）； （4）． 15．當取何值時，方程有負數解? 16．已知，求的值． 17．已知：如圖，四邊形ABCD為菱形，AF⊥上AD交BD于E點，交BC于點F． (1)求證：AD2= DE×DB； (2)過點E作EG⊥AE交AB于點G，若線段BE、DE(BE0)的兩個根，且菱形ABCD的面積為，求EG的長． 參考答案 7