14、 二○○一年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)合競賽
加試參考答案及評分標(biāo)準(zhǔn)
說明：
1．評閱試卷時(shí)，請嚴(yán)格按照本評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評分檔次給分．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步驟正確，在評卷時(shí)請參照本評分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分檔次評分，可以10分為一個(gè)檔次，不要再增加其它中間檔次．
一．如圖，△ABC中，O為外心，三條高AD、BE、CF交于點(diǎn)H，直線ED和AB交于點(diǎn)M， FD和AC交于點(diǎn)N．
求證：（1）OB⊥DF，OC⊥DE．
（2）OH⊥MN．
【證明】（1）∵A，C，D，F(xiàn)四點(diǎn)共圓，
∴∠BDF=∠BAC．
又∵∠OBC=(180°-∠BOC)=90°-∠BAC，
∴OB
15、⊥DF．
同理OC⊥DE．………………………10分
（2） ∵CF⊥MA，
∴MC 2-MH 2=AC 2-AH 2．……①
∵BE⊥NA，
∴NB 2-NH 2=AB 2-AH 2．……②
∵DA⊥BC，
∴BD 2-CD 2=BA 2-AC 2．……③
∵OB⊥DF，
∴BN 2-BD 2=ON 2-OD 2．……④
∵OC⊥DE，
∴CM 2-CD 2=OM 2-OD 2．……⑤………………………………………………30分
①-②+③+④-⑤，得
NH 2-MH 2=ON 2-OM 2．
MO 2-MH 2=NO 2-NH 2．
所以O(shè)H⊥MN．…………………
16、………………………………………………………50分
二．設(shè)（i=1，2，…，n），且，求的最大值與最小值．
【解】先求最小值，因?yàn)椤?，
等號成立當(dāng)且僅當(dāng)存在i使得 xi =1，xj =0，j≠i．
∴的最小值為1．………………………………………………………………10分
再求最大值，令，
∴．…………①
設(shè)M ==．
令
則①．………………………………………………………30分
令an+1=0，則M=
=．
由柯西不等式得
M．
等號成立
．（k=1，2，…，n）
由于，從而
，即．
所求最大值為．……………………………………………50分
三．將邊長
17、為正整數(shù)m，n的矩形劃分成若干邊長均為正整數(shù)的正方形．每個(gè)正方形的邊均平行于矩形的相應(yīng)邊．試求這些正方形邊長之和的最小值．
【解】記所求最小值為f（m，n），可以證明f（m，n）=m+n-(m，n)． (*)
其中(m，n)表示m和n的最大公約數(shù)．………………………………………………10分
事實(shí)上，不妨設(shè)m≥n．
(1)關(guān)于m歸納，可以證明存在一種合乎題意的分法，使所得正方形邊長之和恰為m+n-(m，n)．
當(dāng)m=1時(shí),命題顯然成立．
假設(shè)當(dāng)m≤k時(shí)，結(jié)論成立（k≥1）．當(dāng)m=k+1時(shí)，若n= k+1，則命題顯然成立．若n< k+1，從矩形ABCD中切去正方形
18、AA1D1D（如圖），由歸納假設(shè)矩形A1BCD1有一種分法使得所得正方形邊長之和恰為m-n+n-(m-n，n)= m-(m，n).
于是原矩形ABCD有一種分法使得所得正方形邊長之和為m+n- (m，n)．…………20分
(2)關(guān)于m歸納可以證明(*)成立．
當(dāng)m=1時(shí),由于n=1，顯然f (m，n)=1= m+n- (m，n)．
假設(shè)當(dāng)m≤k時(shí)，對任意1≤n≤m有f (m，n)= m+n- (m，n)．
若m=k+1，當(dāng)n= k+1時(shí)顯然f（m，n）= k+1= m+n- (m，n)．
當(dāng)1≤n≤k時(shí)，設(shè)矩形ABCD按要求分成了p個(gè)正方形，其邊長分別為a1，a
19、2，…，ap，不妨設(shè)a1≥a2≥…≥ap．
顯然a1=n或a1 m+n- (m，n)．
若a1=n，則一個(gè)邊長分別為m-n和n的矩形可按題目要求分成邊長分別為a2，…，ap的正方形，由歸納假設(shè)
a2+…+ap≥m-n+n-(m-n，n)= m- (m，n)．
從而a1+a2+…+ap≥m+n-(m，n)．
于是當(dāng)m=k+1時(shí)，f（m，n）≥m+n- (m，n)．
再由(1)可知f (m，n)=m+n- (m，n)．…………………………………………………50分
全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題及解析 蘇教版21
