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第二章應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算 1 計(jì)算值的幾種方法 1 數(shù)學(xué)分析法 復(fù)變函數(shù)法 積分變換 2 近似計(jì)算法 邊界配置法 有限元法 3 實(shí)驗(yàn)標(biāo)定法 柔度標(biāo)定法 4 實(shí)驗(yàn)應(yīng)力分析法 光彈性法 2 2 1三種基本裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算 一 無(wú)限大板 型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算 計(jì)算的基本公式 1 在 無(wú)限大 平板中具有長(zhǎng)度為的穿透板厚的裂紋表面上 距離處各作用一對(duì)集中力P 選取復(fù)變解析函數(shù) 3 邊界條件 除去處裂紋為自由表面上 如切出坐標(biāo)系內(nèi)的第一象限的薄平板 在軸所在截面上內(nèi)力總和為P 以新坐標(biāo)表示 4 2 在無(wú)限大平板中 具有長(zhǎng)度為的穿透板厚的裂紋表面上 在距離的范圍內(nèi)受均布載荷q作用 利用疊加原理 集中力 令 5 當(dāng)整個(gè)表面受均布載荷時(shí) 3 受二向均布拉力作用的無(wú)限大平板 在軸上有一系列長(zhǎng)度為 間距為的裂紋 單個(gè)裂紋時(shí) 6 邊界條件是周期的 7 采用新坐標(biāo) 當(dāng)時(shí) 8 取 修正系數(shù) 大于1 表示其他裂紋存在對(duì)的影響 若裂紋間距離比裂紋本身尺寸大很多 可不考慮相互作用 按單個(gè)裂紋計(jì)算 9 二 無(wú)限大平板 型裂紋問(wèn)題應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算 1 型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的普遍表達(dá)形式 無(wú)限大板 2 無(wú)限大平板中的周期性的裂紋 且在無(wú)限遠(yuǎn)的邊界上處于平板面內(nèi)的純剪切力作用 10 3 型裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的普遍表達(dá)形式 無(wú)限大板 4 型周期性裂紋 11 3 2深埋裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算 1950年 格林和斯內(nèi)登分析了彈性物體的深埋的橢圓形裂紋鄰域內(nèi)的應(yīng)力和應(yīng)變得到橢圓表面上任意點(diǎn) 沿方向的張開(kāi)位移為 其中 第二類(lèi)橢圓積分 12 1962年 Irwin利用上述結(jié)果計(jì)算在這種情況下的應(yīng)力強(qiáng)度因子 原裂紋面 13 假設(shè) 橢圓形裂紋擴(kuò)展時(shí) 邊緣上任一點(diǎn)有 均在的平面內(nèi) 14 新的裂紋面仍為橢圓 長(zhǎng)軸 短軸 原有裂紋面 擴(kuò)展后裂紋面 以 代入 原有裂紋面的邊緣向位移 15 16 設(shè)各邊緣的法向平面為平面應(yīng)變 有 當(dāng)時(shí) 17 在橢圓的短軸方向上 即 有 橢圓片狀深埋裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子 當(dāng)時(shí) 圓片狀深埋裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子 18 3 3半橢圓表面裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子計(jì)算 一 表面線裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子 歐文假設(shè) 半橢圓片狀表面線裂紋與深埋橢圓裂紋的之比等于邊裂紋平板與中心裂紋平板的值之比 又有 裂紋長(zhǎng)度 板寬度 19 當(dāng)時(shí) 橢圓片狀表面裂紋A處的值 20 二 表面深裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子 深裂紋 引入前后二個(gè)自由表面 使裂紋尖端的彈性約束減少 裂紋容易擴(kuò)展 增大 彈性修正系數(shù) 由實(shí)驗(yàn)確定 一般情況下 前自由表面的修正系數(shù) 后自由表面的修正系數(shù) 21 巴里斯和薛 時(shí) 接近于單邊切口試樣 時(shí) 接近于半圓形的表面裂紋 利用線性?xún)?nèi)插法 利用中心穿透裂紋彈性體的厚度校正系數(shù) 板厚 裂紋深度 淺裂紋不考后自由表面的影響 22 柯巴亞希 沙 莫斯 表面深裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子 應(yīng)為最深點(diǎn)處 23 2 4其他問(wèn)題應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算 一 型復(fù)合問(wèn)題應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算 復(fù)變數(shù) 取復(fù)變解析函數(shù) 取應(yīng)力函數(shù) 或 滿(mǎn)足雙調(diào)和方程 24 分析第一應(yīng)力不變量 對(duì)于 型復(fù)合裂紋 型 型 25 型復(fù)合裂紋在裂紋前端處的不變量 取復(fù)數(shù)形式的應(yīng)力強(qiáng)度因子 又 26 若采用 選擇滿(mǎn)足具體問(wèn)題的應(yīng)力邊界條件 復(fù)變解析函數(shù)表達(dá)的雙調(diào)和函數(shù)的普遍形式或復(fù)變應(yīng)力函數(shù)為普遍形式 利用這個(gè)方法可以求解很多 無(wú)限大 平板中的穿透裂紋問(wèn)題 27 二 無(wú)限寬板穿透裂紋應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算 實(shí)際情況應(yīng)看成有限寬計(jì)算 必須考慮的自由邊界對(duì)裂紋尖端應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)的影響 在理論上得不到完全解 通過(guò)近似的簡(jiǎn)化或數(shù)值計(jì)算方法 方法 邊界配置法 有限單元法等 邊界配置法 將應(yīng)力函數(shù)用無(wú)窮級(jí)數(shù)表達(dá) 使其滿(mǎn)足雙調(diào)和方程和邊界條件 擔(dān)不是滿(mǎn)足所有的邊界條件 而是在有限寬板的邊界上 選足夠多的點(diǎn) 用以確定應(yīng)力函數(shù) 然后再由這樣符合邊界條件的應(yīng)力函數(shù)確定值 邊界配置法 只限于討論直邊界問(wèn)題 28 1 威廉氏 Williams 應(yīng)力函數(shù)和應(yīng)力公式 Williams應(yīng)力函數(shù) 滿(mǎn)足雙調(diào)和方程 邊界條件 裂紋上 下表面 均為零 在邊界上的邊界條件的滿(mǎn)足如下確定 在有限寬板的邊界上選取足夠的點(diǎn) 使這一點(diǎn)的邊界條件滿(mǎn)足 29 為了計(jì)算方便引入無(wú)量綱量 試件厚度 試件寬度 30 2 的計(jì)算 針對(duì) 型裂紋 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 當(dāng) 1時(shí) 在乘后與無(wú)關(guān) 而當(dāng) 2 3 時(shí) 在乘之后與有關(guān) 當(dāng)都為零 31 3 借用無(wú)裂紋體內(nèi)的邊界條件求系數(shù) 取含裂紋三點(diǎn)彎曲試樣的左半段的受力狀態(tài)和不含裂紋的懸臂梁受力是一樣的 取個(gè)點(diǎn)分析 以有限級(jí)數(shù)代替無(wú)限級(jí)數(shù)精度足夠 32 對(duì)于不同的點(diǎn)有 其中標(biāo)準(zhǔn)試件 33 3 5確定應(yīng)力強(qiáng)度因子的有限元法 不同裂紋體在不同的開(kāi)裂方式下的應(yīng)力強(qiáng)度因子是不同的 一些實(shí)驗(yàn)方法解析方法都有各自的局限性 而有限元等數(shù)值解法十分有效地求解彈塑性體的應(yīng)力和位移場(chǎng) 而應(yīng)力和位移場(chǎng)與密切相關(guān) 所以 可以通過(guò)有限元方法進(jìn)行應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算 一 位移法求應(yīng)力強(qiáng)度因子 型 34 有限元法 裂紋尖端位移 外推法 二 應(yīng)力法求應(yīng)力強(qiáng)度因子 型 有限元法 利用剛度法求應(yīng)力時(shí) 應(yīng)力場(chǎng)比位移場(chǎng)的精度低 因應(yīng)力是位移對(duì)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù) 35 三 間接法求應(yīng)力強(qiáng)度因子 應(yīng)變能釋放率法 四 積分法 圍繞裂紋尖端的閉合曲線 積分邊界上的力 邊界上的位移 應(yīng)變能密度 線彈性問(wèn)題 36 2 6疊加原理及其應(yīng)用 一 的疊加原理及其應(yīng)用 線彈性疊加原理 當(dāng)n個(gè)載荷同時(shí)作用于某一彈性體上時(shí) 載荷組在某一點(diǎn)上引起的應(yīng)力和位移等于單個(gè)載荷在該點(diǎn)引起的應(yīng)力和位移分量之總和 疊加原理適用于 證明 由疊加原理有 37 實(shí)例 鉚釘孔邊雙耳裂紋 疊加原理 其中 圓孔直徑 板有寬度 板寬的修正 38 有效裂紋長(zhǎng)度 確定 無(wú)限板寬中心貫穿裂紋受集中力作用 有限板寬 39 二 應(yīng)力場(chǎng)疊加原理及其應(yīng)用 無(wú)裂紋時(shí)外邊界約束在裂紋所處位置產(chǎn)生的內(nèi)應(yīng)力場(chǎng) 應(yīng)力場(chǎng)疊加原理 在復(fù)雜的外界約束作用下 裂紋前端的應(yīng)力強(qiáng)度因子等于沒(méi)有外界約束 但在裂紋表面上反向作用著無(wú)裂紋時(shí)外界約束在裂紋出產(chǎn)生的內(nèi)應(yīng)力所致的應(yīng)力強(qiáng)度因子 40 實(shí)例 旋轉(zhuǎn)葉輪 或軸 內(nèi)孔端裂紋 41 1 求解無(wú)裂紋時(shí) 旋轉(zhuǎn)體在無(wú)裂紋部位的內(nèi)應(yīng)力 由彈性力學(xué)有 為葉輪密度 為角速度 為葉輪內(nèi)徑 為葉輪外徑 為計(jì)算點(diǎn)的位置 平面應(yīng)力 平面應(yīng)變 一般情況下 42 2 根據(jù)類(lèi)比原則 比較兩種情況 內(nèi)孔半徑一致 裂紋大小及組態(tài)一樣 裂紋面上下受力一致 外邊界無(wú)約束 唯一不同的是一個(gè)是有限體 一個(gè)是無(wú)限體 由于邊界是自由的 43 帶中心孔的無(wú)限大板 受雙向拉應(yīng)力時(shí) 孔邊附近的應(yīng)力 注意無(wú)裂紋時(shí) 由彈性力學(xué)知 3 根據(jù)疊加原理 44 2 7實(shí)際裂紋的近似處理 利用斷裂力學(xué)進(jìn)行安全評(píng)價(jià)時(shí) 首先確定缺陷的大小 部位和形狀 偏于安全考慮 夾雜 空洞 氣孔 夾雜性裂紋 裂紋應(yīng)針對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行分析 一 缺陷群的相互作用 1 垂直外應(yīng)力的并列裂紋 并列裂紋的作用使下降 工程上偏安全考慮 并列裂紋作為單個(gè)裂紋考慮 對(duì)于密集的缺陷群 假定它們?cè)诳臻g規(guī)則排列 并可把空間裂紋簡(jiǎn)化成平面裂紋 45 2 與外應(yīng)力垂直的面內(nèi)共線裂紋 如裂紋中心間距大于缺陷尺寸五倍以上 可做為單個(gè)裂紋處理 否則必須考慮修正 二 裂紋形狀的影響 通過(guò)探傷手段 裂紋形狀的影響 1 探傷結(jié)果是面積 當(dāng)缺陷的面積相同時(shí) 的橢圓裂紋最大 以的橢圓裂紋分析是偏于安全的 46 2 探傷的結(jié)果是最大線尺寸 當(dāng)最大直徑相同時(shí) 圓裂紋的比橢圓裂紋大 以圓裂紋估算偏于安全 當(dāng)缺陷長(zhǎng)度一樣時(shí) 貫穿裂紋比其它裂紋的大 以貫穿裂紋估算偏于安全 47 2 8塑性區(qū)及其修正 小范圍屈服 屈服區(qū)較小時(shí) 遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于裂紋尺寸 線彈性斷裂力學(xué)仍可用 一 塑性區(qū)的形狀和大小 1 屈服條件的一般形式 屈服條件 材料超過(guò)彈性階段而進(jìn)入塑性階段的條件 單向拉壓 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn) 復(fù)雜情況 48 2 根據(jù)屈服條件確定塑性區(qū)形狀大小 a 利用米塞斯 von mises 屈服條件 當(dāng)復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下的形狀改變能密度等于單向拉伸屈服時(shí)的形狀改變能密度 材料屈服 即 對(duì)于 型裂紋的應(yīng)力公式 平面應(yīng)力 49 平面應(yīng)力下 型裂紋前端屈服區(qū)域的邊界方程 當(dāng)時(shí) 平面應(yīng)變 平面應(yīng)變下 型裂紋前端屈服區(qū)的邊界方程 當(dāng)時(shí) 50 b 利用Tresca 屈雷斯加 屈服條件 在復(fù)雜受力下 當(dāng)最大切應(yīng)力等于材料彈性拉伸時(shí)的屈服切應(yīng)力 材料即屈服 比較發(fā)現(xiàn) 平面應(yīng)變塑性區(qū)尺寸小 平面應(yīng)變處于三向拉伸狀態(tài)不易屈服 平面應(yīng)變的有效屈服應(yīng)力比高 塑性區(qū)中的最大應(yīng)力 平面應(yīng)變 平面應(yīng)力 51 3 應(yīng)力松弛的影響 由于塑性變形引起應(yīng)力松弛 應(yīng)力松弛 依據(jù) 單位厚含裂紋平板 在外力作用下發(fā)生局部屈服后 其凈截面的內(nèi)力應(yīng)當(dāng)與外界平衡 塑性區(qū)尺寸增大 圖中虛線所示 此曲線下的面積為 外力 52 應(yīng)力松弛后 外力 屈服區(qū)內(nèi)的最大應(yīng)力稱(chēng)為有效屈服應(yīng)力 又BD與CE下的面積應(yīng)相等 平面應(yīng)力 在平面應(yīng)力條件下 考慮應(yīng)力松弛 軸的屈服區(qū)擴(kuò)大1倍 53 平面應(yīng)變條件下 注意 上述分析沒(méi)有考慮材料強(qiáng)化 材料強(qiáng)化 裂紋尖端塑性區(qū)的尺寸變小 對(duì)于設(shè)計(jì)是偏于安全的 54 二 有效裂紋尺寸 基本原理 設(shè)想裂紋的計(jì)算邊界由向右移到 以便使彈性區(qū)域內(nèi)按線彈性理論所獲得的應(yīng)力和實(shí)際應(yīng)力曲線基本符合 有效裂紋尺寸 根據(jù)上述基本原理有 55 平面應(yīng)力 平面應(yīng)變 裂紋的計(jì)算邊界正好在塑性區(qū)的中心 56 三 應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算 1 表達(dá)式簡(jiǎn)單的可用解析式 a 無(wú)限寬板中心穿透裂紋 線彈性 小范圍屈服 平面應(yīng)力 平面應(yīng)變 增大因子塑性區(qū)修正因子 57 b 深埋裂紋 橢圓片狀 平面應(yīng)變 線彈性 小范圍屈服 58 c 表面線裂紋 形狀因子 59 d 表面深裂紋 很小 令 0 212 60