第2講空間中的平行與垂直專(zhuān)題四立體幾何與空間向量板塊三專(zhuān)題突破核心考點(diǎn)考情考向分析1.以選擇題、填空題的形式考查，主要利用平面的基本性質(zhì)及線線、線面和面面平行和垂直的判定定理與性質(zhì)定理對(duì)命題的真假進(jìn)行判斷，屬于基礎(chǔ)題.2.以解答題的形式考查，主要是對(duì)線線、線面與面面平行和垂直關(guān)系的交匯綜合命題，且多以棱柱、棱錐、棱臺(tái)或其簡(jiǎn)單組合體為載體進(jìn)行考查，難度中檔.熱點(diǎn)分類(lèi)突破真題押題精練內(nèi)容索引熱點(diǎn)分類(lèi)突破空間線面位置關(guān)系判斷的常用方法(1)根據(jù)空間線面平行、垂直關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷來(lái)解決問(wèn)題.(2)必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長(zhǎng)方體、四面體等模型中觀察線面位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理來(lái)進(jìn)行判斷.熱點(diǎn)一空間線面位置關(guān)系的判定例例1(1)已知直線l，m與平面，l，m，則下列命題中正確的是A.若lm，則必有B.若lm，則必有C.若l，則必有D.若，則必有m解析答案解析解析對(duì)于選項(xiàng)A，平面和平面還有可能相交，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，平面和平面還有可能相交且不垂直或平行，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，因?yàn)閘，l，所以，所以選項(xiàng)C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，直線m可能和平面平行或相交，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.解答(2)如圖，平面平面，l，A，C是內(nèi)不同的兩點(diǎn)，B，D是內(nèi)不同的兩點(diǎn)，且A，B，C，D 直線l，M，N分別是線段AB，CD的中點(diǎn).下列判斷正確的是A.當(dāng)CD2AB時(shí)，M，N兩點(diǎn)不可能重合B.M，N兩點(diǎn)可能重合，但此時(shí)直線AC與 l不可能相交C.當(dāng)AB與CD相交，直線AC平行于l時(shí)，直線BD可以與l相交D.當(dāng)AB，CD是異面直線時(shí)，直線MN可能與l平行解析答案解析解析由于直線CD的兩個(gè)端點(diǎn)都可以動(dòng)，所以M，N兩點(diǎn)可能重合，此時(shí)兩條直線AB，CD共面，由于兩條線段互相平分，所以四邊形ACBD是平行四邊形，因此ACBD，而B(niǎo)D，AC B，所以由線面平行的判定定理可得AC，又因?yàn)锳C，l，所以由線面平行的性質(zhì)定理可得ACl，故選B.解決空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的組合判斷題，主要是根據(jù)平面的基本性質(zhì)、空間位置關(guān)系的各種情況，以及空間線面垂直、平行關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷，必要時(shí)可以利用正方體、長(zhǎng)方體、棱錐等幾何模型輔助判斷，同時(shí)要注意平面幾何中的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中.思維升華思維升華跟蹤演練跟蹤演練1(1)(2018揭陽(yáng)模擬)已知直線a，b，平面，下列命題正確的是A.若，a，則aB.若a，b，c，則abcC.若a，ba，則bD.若，a，b，則ba解析答案解析解析A中，若，a，則a，該說(shuō)法正確；B中，若a，b，c，在三棱錐PABC中，令平面，分別為平面PAB，PAC，PBC，交線a，b，c為PA，PB，PC，不滿(mǎn)足abc，該說(shuō)法錯(cuò)誤；C中，若a，ba，有可能b，不滿(mǎn)足b，該說(shuō)法錯(cuò)誤；D中，若，a，b，正方體ABCDA1B1C1D1中，取平面，為平面ABCD，ADD1A1，直線b為A1C1，滿(mǎn)足b，不滿(mǎn)足ba，該說(shuō)法錯(cuò)誤.解析答案(2)(2018上海市長(zhǎng)寧、嘉定區(qū)調(diào)研)若直線l1和l2是異面直線，l1在平面內(nèi)，l2在平面內(nèi)，l是平面與平面的交線，則下列命題正確的是A.l與l1，l2都相交B.l與l1，l2都不相交C.l至少與l1，l2中的一條相交D.l至多與l1，l2中的一條相交解析解析方法一方法一如圖1，l1與l2是異面直線，l1與l平行，l2與l相交，故A，B不正確；如圖2，l1與l2是異面直線，l1，l2都與l相交，故D不正確，故選C.方法二方法二因?yàn)閘分別與l1，l2共面，故l與l1，l2要么都不相交，要么至少與l1，l2中的一條相交.若l與l1，l2都不相交，則ll1，ll2，從而l1l2，與l1，l2是異面直線矛盾，故l至少與l1，l2中的一條相交，故選C.熱點(diǎn)二空間平行、垂直關(guān)系的證明空間平行、垂直關(guān)系證明的主要思想是轉(zhuǎn)化，即通過(guò)判定定理、性質(zhì)定理將線線、線面、面面之間的平行、垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化.例例2(1)(2018資陽(yáng)模擬)如圖，三棱柱ABCA1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，AA1平面ABC，E，F(xiàn)分別為棱A1B1，BC的中點(diǎn).求證：直線BE平面A1FC1；證明證明證明取A1C1的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，點(diǎn)E為A1B1的中點(diǎn)，EGB1C1F為BC中點(diǎn)，所以BFEG且BFEG.所以四邊形BFGE是平行四邊形，所以BEFG，又BE 平面A1FC1，F(xiàn)G平面A1FC1，所以直線BE平面A1FC1.平面A1FC1與直線AB交于點(diǎn)M，指出點(diǎn)M的位置，說(shuō)明理由，并求三棱錐BEFM的體積.解答解解M為棱AB的中點(diǎn).理由如下：因?yàn)锳CA1C1，AC 平面A1FC1，A1C1平面A1FC1，所以直線AC平面A1FC1，又平面A1FC1平面ABCFM，所以ACFM.又F為棱BC的中點(diǎn)，所以M為棱AB的中點(diǎn).(2)(2018衡水調(diào)研)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的菱形，PD平面ABCD，BAD60，PD2a，O為AC與BD的交點(diǎn)，E為棱PB上一點(diǎn).證明證明：平面EAC平面PBD；證明證明因?yàn)镻D平面ABCD，AC平面ABCD，所以PDAC.又四邊形ABCD為菱形，所以ACBD，又PDBDD，PD，BD平面PBD，所以AC平面PBD.又AC平面EAC，所以平面EAC平面PBD.若PD平面EAC，三棱錐PEAD的體積為18 ，求a的值.解答解解連接OE.因?yàn)镻D平面EAC，平面EAC平面PBDOE，所以PDOE.又ACBDO，所以O(shè)是BD的中點(diǎn)，所以E是PB的中點(diǎn).因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，且BAD60，所以取AD的中點(diǎn)H，連接BH，可知BHAD，又因?yàn)镻D平面ABCD，BH平面ABCD，所以PDBH.又PDADD，PD，AD平面PAD，所以BH平面PAD.解得a6.垂直、平行關(guān)系的基礎(chǔ)是線線垂直和線線平行，常用方法如下：(1)證明線線平行常用的方法：一是利用平行公理，即證兩直線同時(shí)和第三條直線平行；二是利用平行四邊形進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換；三是利用三角形的中位線定理證明線線平行；四是利用線面平行、面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行平行轉(zhuǎn)換.(2)證明線線垂直常用的方法：利用等腰三角形底邊中線即高線的性質(zhì)；勾股定理；線面垂直的性質(zhì)，即要證線線垂直，只需證明一條直線垂直于另一條直線所在的平面即可，l，ala.思維升華思維升華跟蹤演練跟蹤演練2如圖，在四棱錐PABCD中，ADB90，CBCD，點(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn).(1)若PBPD，求證：PCBD；證明證明證明取BD的中點(diǎn)O，連接CO，PO，因?yàn)镃DCB，所以CBD為等腰三角形，所以BDCO.因?yàn)镻BPD，所以PBD為等腰三角形，所以BDPO.又POCOO，PO，CO平面PCO，所以BD平面PCO.因?yàn)镻C平面PCO，所以PCBD.(2)求證：CE平面PAD.證明證明證明由E為PB的中點(diǎn)，連接EO，則EOPD，又EO 平面PAD，PD平面PAD，所以EO平面PAD.由ADB90及BDCO，可得COAD，又CO 平面PAD，AD平面PAD，所以CO平面PAD.又COEOO，CO，EO平面COE，所以平面CEO平面PAD，而CE平面CEO，所以CE平面PAD.平面圖形經(jīng)過(guò)翻折成為空間圖形后，原有的性質(zhì)有的發(fā)生變化，有的沒(méi)有發(fā)生變化，這些發(fā)生變化和沒(méi)有發(fā)生變化的性質(zhì)是解決問(wèn)題的關(guān)鍵.一般地，在翻折后還在一個(gè)平面上的性質(zhì)不發(fā)生變化，不在同一個(gè)平面上的性質(zhì)發(fā)生變化，解決這類(lèi)問(wèn)題就是要根據(jù)這些變與不變，去研究翻折以后的空間圖形中的線面關(guān)系和各類(lèi)幾何量的度量值，這是解決翻折問(wèn)題的主要方法.熱點(diǎn)三平面圖形的翻折問(wèn)題例例3(2018北京海淀區(qū)期末)如圖1，已知菱形AECD的對(duì)角線AC，DE交于點(diǎn)F，點(diǎn)E為AB中點(diǎn).將ADE沿線證明證明折疊前，因?yàn)樗倪呅蜛ECD為菱形，所以ACDE，所以折疊后，DEPF，DECF，又PFCFF，PF，CF平面PCF，所以DE平面PCF.證明段DE折起到PDE的位置，如圖2所示.(1)求證：DE平面PCF；證明(2)求證：平面PBC平面PCF；證明證明因?yàn)樗倪呅蜛ECD為菱形，所以DCAE，DCAE.又點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，所以DCEB，DCEB，所以四邊形DEBC為平行四邊形，所以CBDE.又由(1)得，DE平面PCF，所以CB平面PCF.因?yàn)镃B平面PBC，所以平面PBC平面PCF.解答(3)在線段PD，BC上是否分別存在點(diǎn)M，N，使得平面CFM平面PEN？若存在，請(qǐng)指出點(diǎn)M，N的位置，并證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解解存在滿(mǎn)足條件的點(diǎn)M，N，且M，N分別是PD和BC的中點(diǎn).如圖，分別取PD和BC的中點(diǎn)M，N.連接EN，PN，MF，CM.因?yàn)樗倪呅蜠EBC為平行四邊形，所以四邊形ENCF為平行四邊形，所以FCEN.在PDE中，M，F(xiàn)分別為PD，DE的中點(diǎn)，所以MFPE.又EN，PE平面PEN，PEENE，MF，CF平面CFM，MFCFF，所以平面CFM平面PEN.(1)折疊問(wèn)題中不變的數(shù)量和位置關(guān)系是解題的突破口.(2)存在探索性問(wèn)題可先假設(shè)存在，然后在此前提下進(jìn)行邏輯推理，得出矛盾則否定假設(shè)，否則給出肯定結(jié)論.思維升華思維升華跟蹤演練跟蹤演練3(2018北京朝陽(yáng)區(qū)模擬)如圖，在PBE中，ABPE，D是AE的中點(diǎn)，C是線段BE上的一點(diǎn)，且AC ，AB APAE2，將PBA沿AB折起使得二面角PABE是直二面角.證明(1)求證：CD平面PAB；又AB2，ABPE，所以AC是RtABE的斜邊BE上的中線，所以C是BE的中點(diǎn)，又因?yàn)镈是AE的中點(diǎn)，所以CD是RtABE的中位線，所以CDAB，又因?yàn)镃D 平面PAB，AB平面PAB，所以CD平面PAB.解答(2)求三棱錐EPAC的體積.解解由(1)知，直線CD是RtABE的中位線，因?yàn)槎娼荘ABE是直二面角，平面PAB平面EABAB，PA平面PAB，PAAB，所以PA平面ABE，又因?yàn)锳P2，真題押題精練真題體驗(yàn)解析1.(2017全國(guó)改編)如圖，在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是_.(填序號(hào))(1)答案解析解析對(duì)于(1)，作如圖所示的輔助線，其中D為BC的中點(diǎn)，則QDAB.QD平面MNQQ，QD與平面MNQ相交，直線AB與平面MNQ相交；對(duì)于(2)，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDMQ，ABMQ，又AB 平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；對(duì)于(3)，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDMQ，ABMQ，又AB 平面MNQ，MQ平面MNQ，AB平面MNQ；對(duì)于(4)，作如圖所示的輔助線，則ABCD，CDNQ，ABNQ，又AB 平面MNQ，NQ平面MNQ，AB平面MNQ.2.(2017江蘇)如圖，在三棱錐ABCD中，ABAD，BCBD，平面ABD平面BCD，點(diǎn)E，F(xiàn)(E與A，D不重合)分別在棱AD，BD上，且EFAD.求證：(1)EF平面ABC；證明證明證明在平面ABD內(nèi)，因?yàn)锳BAD，EFAD，所以ABEF.又EF 平面ABC，AB平面ABC，所以EF平面ABC.(2)ADAC.證明證明證明因?yàn)槠矫鍭BD平面BCD，平面ABD平面BCDBD，BC平面BCD，BCBD，所以BC平面ABD.因?yàn)锳D平面ABD，所以BCAD.又ABAD，BCABB，AB平面ABC，BC平面ABC，所以AD平面ABC.又AC平面ABC，所以ADAC.押題預(yù)測(cè)解析押題依據(jù)押題依據(jù)押題依據(jù)空間兩條直線、兩個(gè)平面之間的平行與垂直的判定是立體幾何的重點(diǎn)內(nèi)容，也是高考命題的熱點(diǎn).此類(lèi)題常與命題的真假性、充分條件和必要條件等知識(shí)相交匯，意在考查考生的空間想象能力、邏輯推理能力.1.不重合的兩條直線m，n分別在不重合的兩個(gè)平面，內(nèi)，下列為真命題的是A.mnm B.mnC.m D.mn答案解析解析構(gòu)造長(zhǎng)方體，如圖所示.因?yàn)锳1C1AA1，A1C1平面AA1C1C，AA1平面AA1B1B，但A1C1與平面AA1B1B不垂直，平面AA1C1C與平面AA1B1B也不垂直，所以選項(xiàng)A，B都是假命題.CC1AA1，但平面AA1C1C與平面AA1B1B相交而不平行，所以選項(xiàng)D為假命題.“若兩平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線必平行于另一個(gè)平面”是真命題，故選C.押題依據(jù)押題依據(jù)以平面圖形的翻折為背景，探索空間直線與平面位置關(guān)系，可以考查考生的空間想象能力和邏輯推理能力，預(yù)計(jì)將成為今年高考的命題方向.證明押題依據(jù)2.如圖(1)，在正ABC中，E，F(xiàn)分別是AB，AC邊上的點(diǎn)，且BEAF2CF.點(diǎn)P為邊BC上的點(diǎn)，將AEF沿EF折起到A1EF的位置，使平面A1EF平面BEFC，連接A1B，A1P，EP，如圖(2)所示.(1)求證：A1EFP；證明證明在正ABC中，取BE的中點(diǎn)D，連接DF，如圖所示.因?yàn)锽EAF2CF，所以AFAD，AEDE，而A60，所以ADF為正三角形.又AEDE，所以EFAD.所以在題圖(2)中，A1EEF，又A1E平面A1EF，平面A1EF平面BEFC，且平面A1EF平面BEFCEF，所以A1E平面BEFC.因?yàn)镕P平面BEFC，所以A1EFP.解答(2)若BPBE，點(diǎn)K為棱A1F的中點(diǎn)，則在平面A1FP上是否存在過(guò)點(diǎn)K的直線與平面A1BE平行，若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解解在平面A1FP上存在過(guò)點(diǎn)K的直線與平面A1BE平行.理由如下：如題圖(1)，在正ABC中，因?yàn)锽PBE，BEAF，所以BPAF，所以FPAB，所以FPBE.如圖所示，取A1P的中點(diǎn)M，連接MK，因?yàn)辄c(diǎn)K為棱A1F的中點(diǎn)，所以MKFP.因?yàn)镕PBE，所以MKBE.因?yàn)镸K 平面A1BE，BE平面A1BE，所以MK平面A1BE.故在平面A1FP上存在過(guò)點(diǎn)K的直線MK與平面A1BE平行.