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1、 動(dòng)量定理及其應(yīng)用 編稿：張金虎 審稿：吳楠楠 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．理解動(dòng)量的概念，知道動(dòng)量的定義，知道動(dòng)量是矢量； 2．理解沖量的概念，知道沖量的定義，知道沖量是矢量； 3．知道動(dòng)量變化量也是矢量，理解動(dòng)量定理的確切含義和表達(dá)式，知道動(dòng)量定理適用于變力的計(jì)算； 4．會(huì)用動(dòng)量定理解釋現(xiàn)象和處理有關(guān)問(wèn)題． 【要點(diǎn)梳理】 要點(diǎn)一、動(dòng)量、動(dòng)量定理 1．動(dòng)量及動(dòng)量變化 （1）動(dòng)量的定義：物體的質(zhì)量和運(yùn)動(dòng)速度的乘積叫做物體的動(dòng)量，記作．動(dòng)量是動(dòng)力學(xué)中反映物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，是狀態(tài)量．在談及動(dòng)量時(shí)，必須明確是物體在哪個(gè)時(shí)刻或哪個(gè)狀態(tài)所具

2、有的動(dòng)量．在中學(xué)階段，動(dòng)量表達(dá)式中的速度一般是以地球?yàn)閰⒄瘴锏模? （2）動(dòng)量的矢量性：動(dòng)量是矢量，它的方向與物體的速度方向相同，服從矢量運(yùn)算法則． （3）動(dòng)量的單位：動(dòng)量的單位由質(zhì)量和速度的單位決定．在國(guó)際單位制中，動(dòng)量的單位是千克·米／秒，符號(hào)為． （4）動(dòng)量的變化： 動(dòng)量是矢量，它的大小，方向與速度的方向相同．因此，速度發(fā)生變化時(shí)，物體的動(dòng)量也發(fā)生變化． 速度的大小或方向發(fā)生變化時(shí)，速度就發(fā)生變化，物體具有的動(dòng)量的大小或方向也相應(yīng)發(fā)生了變化，我們就說(shuō)物體的動(dòng)量發(fā)生了變化． 設(shè)物體的初動(dòng)量，末動(dòng)量，則物體動(dòng)量的變化

3、 ． 由于動(dòng)量是矢量，因此，上式一般意義上是矢量式． 2．沖量 （1）沖量的定義：力和力的作用時(shí)間的乘積叫做力的沖量，記作．沖量是描述力對(duì)物體作用的時(shí)間累積效果的物理量． （2）沖量的矢量性：因?yàn)榱κ鞘噶?，所以沖量也是矢量，但沖量的方向不一定就是力的方向． （3）沖量的單位：由力的單位和時(shí)間的單位共同決定．在國(guó)際單位制中，沖量的單位是?！っ?，符號(hào)為． （4）在理解力的沖量這一概念時(shí)，要注意以下幾點(diǎn)： ①?zèng)_量是過(guò)程量，它反映的是力在一段時(shí)間內(nèi)的積累效果，所以它取決于力和時(shí)間兩個(gè)因素．較大的力在較短時(shí)間內(nèi)的積累效果，可以和較小的力在較長(zhǎng)時(shí)問(wèn)內(nèi)的

4、積累效果相同．求沖量時(shí)一定要明確是哪一個(gè)力在哪一段時(shí)間內(nèi)的沖量． ②根據(jù)沖量的定義式，只能直接求恒力的沖量，無(wú)論是力的大小還是方向發(fā)生變化時(shí)，都不能直接用求力的沖量． ③當(dāng)力的方向不變時(shí)，沖量的方向跟力的方向相同，當(dāng)力的方向變化時(shí)，沖量的方向一般根據(jù)動(dòng)量定理來(lái)判斷．（即沖量的方向是物體動(dòng)量變化的方向） 3．動(dòng)量變化與沖量的關(guān)系——?jiǎng)恿慷ɡ? （1）動(dòng)量定理的內(nèi)容： 物體所受合外力的沖量等于物體動(dòng)量的變化．?dāng)?shù)學(xué)表達(dá)式為 ． 式中是物體初始狀態(tài)的動(dòng)量，是力的作用結(jié)束時(shí)的末態(tài)動(dòng)量． 動(dòng)量定理反映了物體在受到力的沖量作用時(shí)，其狀態(tài)發(fā)生變化的規(guī)律，是力在時(shí)間

5、上的累積效果． （2）動(dòng)量定理的理解與應(yīng)用要點(diǎn)： ①動(dòng)量定理的表達(dá)式是一個(gè)矢量式，應(yīng)用動(dòng)量定理時(shí)需要規(guī)定正方向． ②動(dòng)量定理公式中是研究對(duì)象所受的包括重力在內(nèi)的所有外力的合力，它可以是恒力，也可以是變力．當(dāng)合外力為變力時(shí)，應(yīng)該是合外力在作用時(shí)間內(nèi)的平均值． ③動(dòng)量定理的研究對(duì)象是單個(gè)物體或系統(tǒng)． ④動(dòng)量定理中的沖量是合外力的沖量，而不是某一個(gè)力的沖量．在所研究的物理過(guò)程中，如果作用在物體上的各個(gè)外力的作用時(shí)間相同，求合外力的沖量時(shí)，可以先求所有外力的合力，然后再乘以力的作用時(shí)間，也可以先求每個(gè)外力在作用時(shí)間內(nèi)的沖量，然后再求所有外力沖量的矢量和

6、．如果作用在物體上各外力的作用時(shí)間不同，就只能先求每一個(gè)外力在其作用時(shí)間內(nèi)的沖量，然后再求所有外力沖量的矢量和． ⑤動(dòng)量定理中，是合外力的沖量，是使研究對(duì)象的動(dòng)量發(fā)生變化的原因，并非產(chǎn)生動(dòng)量的原因，不能認(rèn)為合外力的沖量就是動(dòng)量的變化．合外力的沖量是引起研究對(duì)象狀態(tài)變化的外在因素，而動(dòng)量的變化是合外力沖量作用后導(dǎo)致的必然結(jié)果． ⑥動(dòng)量定理不僅適用于宏觀物體的低速運(yùn)動(dòng)，對(duì)微觀物體和高速運(yùn)動(dòng)仍然適用． ⑦合外力的沖量是物體動(dòng)量變化的量度． 要點(diǎn)二、有關(guān)計(jì)算 1．動(dòng)量變化量的計(jì)算 動(dòng)量是矢量，當(dāng)動(dòng)量發(fā)生變化時(shí)，動(dòng)量的變化，應(yīng)運(yùn)用平行四邊形定則進(jìn)行

7、運(yùn)算．如圖所示，當(dāng)初態(tài)動(dòng)量和末態(tài)動(dòng)量不在一條直線上時(shí)，動(dòng)量變化由平行四邊形定則進(jìn)行運(yùn)算．動(dòng)量變化的方向一般與初態(tài)動(dòng)量和末態(tài)動(dòng)量的方向不相同．當(dāng)初、末動(dòng)量在同一直線上時(shí)可通過(guò)正方向的選定，動(dòng)量變化可簡(jiǎn)化為帶有正、負(fù)號(hào)的代數(shù)運(yùn)算． 2．沖量的計(jì)算方法 （1）若物體受到恒力的作用，力的沖量的數(shù)值等于力與作用時(shí)間的乘積，沖量的方向與恒力方向一致；若力為同一方向均勻變化的力，該力的沖量可以用平均力計(jì)算；若力為一般變力則不能直接計(jì)算沖量． （2）沖量的絕對(duì)性．由于力和時(shí)間均與參考系無(wú)關(guān)，所以力的沖量也與參考系的選擇無(wú)關(guān)． （3）沖量的計(jì)算

8、公式既適用于計(jì)算某個(gè)恒力的沖量，又可以計(jì)算合力的沖量．根據(jù)計(jì)算沖量時(shí)，只考慮該力和其作用時(shí)間這兩個(gè)因素，與該沖量作用的效果無(wú)關(guān)． （4）沖量的運(yùn)算服從平行四邊形定則．如果物體所受的每一個(gè)外力的沖量都在同一條直線上，那么選定正方向后，每個(gè)力沖量的方向可以用正負(fù)號(hào)表示，此時(shí)沖量的運(yùn)算就可簡(jiǎn)化為代數(shù)運(yùn)算． （5）沖量是一過(guò)程量，求沖量必須明確研究對(duì)象和作用過(guò)程，即必須明確是哪個(gè)力在哪段時(shí)間內(nèi)對(duì)哪個(gè)物體的沖量． （6）計(jì)算沖量時(shí)，一定要明確是計(jì)算分力的沖量還是合力的沖量．如果是計(jì)算分力的沖量還必須明確是哪個(gè)分力的沖量． （7）在圖象下的面積就是力的沖量．如圖()

9、所示，若求變力的沖量，仍可用“面積法”表示，如圖()所示． 3．動(dòng)量定理的應(yīng)用 （1）一個(gè)物體的動(dòng)量變化與合外力的沖量具有等效代換關(guān)系，二者大小相等，方向相同，可以相互代換，據(jù)此有： ①應(yīng)用求變力的沖量：如果物體受到大小或方向改變的力的作用，則不能直接用求變力的沖量，這時(shí)可以求出該力作用下物體動(dòng)量的變化，等效代換變力的沖量． ②應(yīng)用求恒力作用下的曲線運(yùn)動(dòng)中物體動(dòng)量的變化：曲線運(yùn)動(dòng)的物體速度方向時(shí)刻在變化，求動(dòng)量變化需要應(yīng)用矢量運(yùn)算方法，比較麻煩．如果作用力是恒力，可以求恒力的沖量，等效代換動(dòng)量的變化． （2）用動(dòng)量定理解釋相

10、關(guān)物理現(xiàn)象的要點(diǎn)． 由可以看出，當(dāng)為恒量時(shí)，作用力的大小與相互作用的時(shí)間成反比．例如，玻璃杯自一定高度自由下落，掉在水泥地面上，玻璃杯可能破碎，而掉在墊子上就可能不破碎，其原因就是玻璃杯的動(dòng)量變化雖然相同，但作用時(shí)間不同：當(dāng)為恒量時(shí)，物體動(dòng)量的變化與作用時(shí)間成正比． 例如，疊放在水平桌面上的兩物體，如圖所示，若施力快速將水平抽出，物體幾乎仍靜止，當(dāng)物體抽出后，物體豎直下落． （3）應(yīng)用動(dòng)量定理解題的步驟： ①選取研究對(duì)象； ②確定所研究的物理過(guò)程及其始、終狀態(tài)； ③分析研究對(duì)象在所研究的物理過(guò)程中的受力情況； ④規(guī)定正方

11、向，根據(jù)動(dòng)量定理列式； ⑤解方程，統(tǒng)一單位，求得結(jié)果． 要點(diǎn)三、與其它相關(guān)知識(shí)的關(guān)聯(lián)和區(qū)別 1．幾個(gè)物理量的區(qū)別 （1）動(dòng)量與速度的區(qū)別 動(dòng)量和速度都是描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量．它們都是矢量，動(dòng)量的方向與速度的方向相同．速度是運(yùn)動(dòng)學(xué)中描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，在運(yùn)動(dòng)學(xué)中只需知道物體運(yùn)動(dòng)的快慢，而無(wú)需知道物體的質(zhì)量．例如兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員跑百米，是比速度的大小，而無(wú)需考慮運(yùn)動(dòng)員的質(zhì)量；動(dòng)量是動(dòng)力學(xué)中描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，可以直接反映物體受到外力的沖量后，其機(jī)械運(yùn)動(dòng)的變化情況，動(dòng)量是與沖量及物體運(yùn)動(dòng)變化的原因相聯(lián)系的．如以相同速度向你滾過(guò)來(lái)的鉛球和足球，你

12、敢用腳踢哪一個(gè)？當(dāng)然是足球，因?yàn)樽闱虻馁|(zhì)量小，讓它停下來(lái)所需的沖量?。? （2）動(dòng)量與動(dòng)能的區(qū)別及其聯(lián)系． ①動(dòng)量是矢量，動(dòng)能是標(biāo)量． ②動(dòng)量的改變由合外力的沖量決定，而動(dòng)能的改變由合外力所做的功決定． ③動(dòng)量和動(dòng)能與速度一樣，它們都是描述物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的物理量，只是動(dòng)能是從能量的角度描述物體的狀態(tài)． 物體具有一定的速度，就具有一定的動(dòng)量，同時(shí)還具有一定的動(dòng)能． 例如：質(zhì)量的小球，在水平地面上運(yùn)動(dòng)的速度是．則它具有的動(dòng)量 ， 它具有的動(dòng)能 ． 即 或． 又如：兩物體的質(zhì)量分別為，且，當(dāng)它們具有相同的動(dòng)能時(shí)，由知物體的動(dòng)量大于物

13、體的動(dòng)量；反之當(dāng)它們具有相同的動(dòng)量時(shí)，由可知，物體的動(dòng)能小于物體的動(dòng)能． （3）沖量與功的區(qū)別． ①?zèng)_量是矢量，功是標(biāo)量． ②由可知，有力作用，這個(gè)力一定會(huì)有沖量，因?yàn)闀r(shí)間不可能為零．但是由功的定義式可知，有力作用，這個(gè)力卻不一定做功． 例如：在斜面上下滑的物體，斜面對(duì)物體的支持力有沖量的作用，但支持力對(duì)物體不做功；做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，向心力對(duì)物體有沖量的作用，但向心力對(duì)物體不做功；處于水平面上靜止的物體，重力不做功，但在一段時(shí)間內(nèi)重力的沖量不為零． ③沖量是力在時(shí)間上的積累，而功是力在空間上的積累．這兩種積累作用可以在“”圖象和“”圖象上用

14、面積表示． 如圖所示，（）圖中的曲線是作用在某一物體上的力隨時(shí)間變化的曲線，圖中陰影部分的面積就表示力在時(shí)間內(nèi)的沖量．（）圖中陰影部分的面積表示力做的功． 2．用動(dòng)量概念表示牛頓第二定律 （1）牛頓第二定律的動(dòng)量表達(dá)式 ． 此式說(shuō)明作用力等于物體動(dòng)量的變化率． 即是牛頓第二定律的另一種表示形式． （2）動(dòng)量定理與牛頓第二定律的區(qū)別與聯(lián)系． ①?gòu)呐ｎD第二定律出發(fā)可以導(dǎo)出動(dòng)量定理，因此牛頓第二定律和動(dòng)量定理都反映了外力作用與物體運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的因果關(guān)系． ②牛頓第二定律反應(yīng)力

15、與加速度之間的瞬時(shí)對(duì)應(yīng)關(guān)系；而動(dòng)量定理則反應(yīng)力作用一段時(shí)間的過(guò)程中，合外力的沖量與物體初、末狀態(tài)的動(dòng)量變化間的關(guān)系． 動(dòng)量定理與牛頓第二定律相比較，有其獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn)．因在公式中，只涉及兩個(gè)狀態(tài)量和及一個(gè)過(guò)程量．至于這兩個(gè)狀態(tài)中間是怎樣的過(guò)程，軌跡是怎樣的，加速度怎樣，位移怎樣全不考慮．在力作用的過(guò)程中不管物體是做直線運(yùn)動(dòng)還是做曲線運(yùn)動(dòng)，動(dòng)量定理總是適用的． 動(dòng)量定理除用來(lái)解決在恒力持續(xù)作用下的問(wèn)題外，尤其適合用來(lái)解決作用時(shí)間短，而力的變化又十分復(fù)雜的問(wèn)題，如沖擊、碰撞、反沖運(yùn)動(dòng)等．應(yīng)用時(shí)只需知道運(yùn)動(dòng)物體的始末狀態(tài)，無(wú)需深究其中間過(guò)程的細(xì)節(jié)．只要?jiǎng)恿康淖兓哂写_定的值，就可以用

16、動(dòng)量定理求沖力或平均沖力，而這是用牛頓第二定律很難解決的．因此，從某種意義上說(shuō)，應(yīng)用動(dòng)量定理解題比牛頓第二定律更為直接，更加簡(jiǎn)單． ③牛頓第二定律只適用于宏觀物體的低速運(yùn)動(dòng)情況，對(duì)高速運(yùn)動(dòng)的物體及微觀粒子不再適用，而動(dòng)量定理卻是普遍適用的． ④牛頓第二定律和動(dòng)量定理都必須在慣性系中使用． 3．動(dòng)量定理與動(dòng)能定理的比較 動(dòng)量定理 動(dòng)能定理 公式 標(biāo)矢性 矢量式 標(biāo)量式 因果關(guān)系 因 合外力的沖量 合外力的功（總功） 果 動(dòng)量的變化 動(dòng)能的變化 應(yīng)用側(cè)重點(diǎn) 涉及力與時(shí)間 涉及力與位移 要點(diǎn)四、應(yīng)用動(dòng)量定理解題的步驟 　 1、選取研

17、究對(duì)象； 　 2、確定所研究的物理過(guò)程及其始末狀態(tài)； 　 3、分析研究對(duì)象在所研究的物理過(guò)程中的受力情況； 　4、規(guī)定正方向，根據(jù)動(dòng)量定理列式； 　5、解方程，統(tǒng)一單位，求得結(jié)果。 【典型例題】 類型一、對(duì)基本概念的理解 例1、（2015 廣州校級(jí)模擬）質(zhì)量為m，帶電量為q的粒子，以速度v垂直射入磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，在時(shí)間內(nèi)得到的沖量大小為mv，所用時(shí)間為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由題意知粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，粒子速度大小不變，只改變速度方向，根據(jù)動(dòng)量定理可得：，即粒子在時(shí)間內(nèi)得到

18、的沖量大小為mv，可得粒子動(dòng)量變化大小也為mv，即速度變化的小，根據(jù)矢量合成有： 根據(jù)幾何關(guān)系有，粒子轉(zhuǎn)過(guò)的角度為，所以粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，故選D 【總結(jié)升華】知道粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，能根據(jù)動(dòng)量定理求得速度矢量的變化大小，由矢量合成與分解求解速度轉(zhuǎn)過(guò)的角度從而由圓周運(yùn)動(dòng)求出運(yùn)動(dòng)的時(shí)間。 舉一反三： 【高清課堂：動(dòng)量 動(dòng)量定理 例3】 【變式1】如圖所示在傾角的斜面上，有一質(zhì)量的物體沿斜面以勻速下滑，求物體下滑的時(shí)間內(nèi)：（1）斜面對(duì)物體的支持力的沖量和功；（2）斜面對(duì)物體的沖量和功； 【答案】 （1），垂直斜面向上；

19、 （2）斜面對(duì)物體的沖量： ，豎直向上 斜面對(duì)物體的功： ． 【解析】(1)“斜面對(duì)物體的沖量和功”指的是斜面對(duì)物體的支持力和摩擦力對(duì)物體的沖量的和、功的和！——也可以理解為：支持力和摩擦力的合力對(duì)物體的沖量的和、功的和！ (2)因?yàn)槲矬w勻速下滑，所以彈力和摩擦力的合力與重力等大反向。合沖量：合外力的沖量。 【變式2】質(zhì)量為的鋼球自高處落下，以速率碰地，豎直向上彈回，碰撞時(shí)間為，離地的速率為．在碰撞過(guò)程中，地面對(duì)鋼球的沖量方向和大小為（ ）． A．向下， B．向下，

20、 C．向上， D．向上， 【答案】D 【解析】取豎直向上為正方向，如圖所示， 由動(dòng)量定理是，，知 ， 即 ． 則 ， 方向向上． 【總結(jié)升華】物體動(dòng)量變化與物體所受合外力沖量有關(guān)，因此解決這一類問(wèn)題要注意研究對(duì)象和研究過(guò)程中物體的受力分析． 【高清課堂：動(dòng)量 動(dòng)量定理 例5】 例2.一質(zhì)量為的小球從高處自由下落到一厚軟墊上。若從小球接觸軟墊到小球陷至最低點(diǎn)經(jīng)歷了，則這段時(shí)間內(nèi)軟墊對(duì)小球的平均沖擊力為多少(取，不計(jì)空氣阻力)？ 【答案】 【解析】 解法一：自由下落，接觸軟墊前的速度為： 在內(nèi)，以上為正，由動(dòng)

21、量定理有： 　　　　 得： 解法二：自由下落時(shí)間為；全程由動(dòng)量定理，取向上為正： 得： 【總結(jié)升華】 (1)本題解法2再次表明動(dòng)量定理適用于變力作用過(guò)程． (2)合外力在一段時(shí)間內(nèi)的沖量等于這段時(shí)間內(nèi)各分段時(shí)間 內(nèi)沖量的矢量和，又等于這段時(shí)間內(nèi)各外力對(duì)物體沖量的矢量和． (3)此題求解時(shí)，顯然對(duì)整個(gè)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)量定理來(lái)處理，解起來(lái)更為簡(jiǎn)捷． 類型二、用動(dòng)量定理解釋兩類現(xiàn)象 例3. 如圖，把重物壓在紙帶上，用一水平力緩緩拉動(dòng)紙帶，重物跟著一起運(yùn)動(dòng)，若迅速拉動(dòng)紙帶，紙帶將會(huì)從重物下面抽出，解釋這些現(xiàn)象的正確說(shuō)法是（　　 ） 　　A.在緩慢拉動(dòng)紙

22、帶時(shí)，重物和紙帶間的摩擦力大 　　B.在迅速拉動(dòng)時(shí)，紙帶給重物的摩擦力小 　　C.在緩慢拉動(dòng)時(shí)，紙帶給重物的沖量大 　　D.在迅速拉動(dòng)時(shí)，紙帶給重物的沖量小 　　【思路點(diǎn)撥】分析問(wèn)題時(shí)，要搞清楚哪個(gè)量一定，哪個(gè)量變化。 【答案】CD 【解析】在緩慢拉動(dòng)時(shí)，兩物體之間的作用力是靜摩擦力，在迅速拉動(dòng)時(shí)，它們之間的作用力是滑動(dòng)摩擦力。由于通常認(rèn)為滑動(dòng)摩擦力等于最大靜摩擦力。所以一般情況是：緩拉摩擦力小；快拉摩擦力大，故AB都錯(cuò)；緩拉紙帶時(shí)，摩擦力雖小些，但作用時(shí)間很長(zhǎng)，故重物獲得的沖量可以很大，所以能把重物帶動(dòng)。快拉時(shí)摩擦力雖大些，但作用時(shí)間很短，故沖量小，所以動(dòng)量改變也小，因此，CD正

23、確。 　　【總結(jié)升華】用動(dòng)量定理解釋現(xiàn)象一般可分為兩類：一類是物體的動(dòng)量變化一定，力的作用時(shí)間越短，力就越大；時(shí)間越長(zhǎng)，力就越小。另一類是作用力一定，力的作用時(shí)間越長(zhǎng)，動(dòng)量變化越大；力的作用時(shí)間越短，動(dòng)量變化越小。分析問(wèn)題時(shí)，要搞清楚哪個(gè)量一定，哪個(gè)量變化。 舉一反三： 【變式】機(jī)動(dòng)車在高速公路上行駛，車速越大時(shí)，與同車道前車保持的距離也越大。請(qǐng)用動(dòng)量定理解釋這樣做的理由。 　 【答案】由動(dòng)量定理可知，作用力相同的情況下，動(dòng)量變化越大，需要的時(shí)間越長(zhǎng)。因此，車速越大時(shí)，與同車道前車保持的距離也要越大。 類型三、動(dòng)量定理的基本應(yīng)用 例4、（2015 和平區(qū)一模）如圖所示，

24、一單擺擺長(zhǎng)為L(zhǎng)，擺球質(zhì)量為m，懸掛于O點(diǎn)．現(xiàn)將小球拉至P點(diǎn)，然后釋放，使小球做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)，小球偏離豎直方向的最大角度為．已知重力加速度為g．在小球由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)P′的過(guò)程中，求： （1）小球所受合力的沖量； （2）小球所受重力的沖量． 【思路點(diǎn)撥】（1）由動(dòng)能定理求出到達(dá)P′的速度，由動(dòng)量定理，合外力的沖量等于物體動(dòng)量的改變量． （2）根據(jù)周期公式求出小球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，根據(jù)求解重力的沖量． 【解析】（1）在小球由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)P′的過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理，有：，解得： 根據(jù)動(dòng)量定理，合力的沖量為：，方向水平向左； 小球由P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)P′的時(shí)間為： 故重力的沖量為：，方向

25、豎直向下 【總結(jié)升華】本題主要考查了動(dòng)量定理、簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的周期公式及動(dòng)能定理的直接應(yīng)用，要求能準(zhǔn)確掌握沖量的意義及動(dòng)量定理的正確應(yīng)用。 舉一反三： 【變式1】在水平力的作用力下，質(zhì)量的物體由靜止開始沿水平面運(yùn)動(dòng)．已知物體與水平面間的動(dòng)摩擦因數(shù)，若作用后撤去，撤去后物體還能向前運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間才停止？（?。? 【解析】解法一：用牛頓定律解． 在有水平力作用時(shí)，物體做初速度為零的勻加速運(yùn)動(dòng)；撤去后，物體做勻減速運(yùn)動(dòng)．由于撤去前后物體運(yùn)動(dòng)的加速度不同，所以用牛頓定律解答時(shí)必須分段研究．在受作用時(shí)，物體受到重力、地面支持力、水平力和摩擦力作用如圖甲， 設(shè)物體的加速度

26、為，選的方向?yàn)檎较?，根?jù)牛頓第二定律有： ， ， 根據(jù)滑動(dòng)摩擦力公式有： ． 以上三式聯(lián)立解得物體做勻加速運(yùn)動(dòng)的加速度為 ． 在撤去時(shí)物體的即時(shí)速度為： ． 在撤去后，物體受重力、支持力和摩擦力作用（如圖乙所示），設(shè)物體運(yùn)動(dòng)的加速度為，根據(jù)牛頓第二定律有 ． 解得物體做勻減速運(yùn)動(dòng)的加速度為 ． 設(shè)撤去后物體運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式有 ． 解法二：用動(dòng)量定理解，分段處理． 選物體為研究對(duì)象，對(duì)于撤去前

27、物體做勻加速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，受力情況如圖甲所示，始態(tài)速度為零，終態(tài)速度為．取水平力的方向?yàn)檎较颍鶕?jù)動(dòng)量定理有 ， 對(duì)于撤去后，物體做勻減速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程，受力情況如圖乙所示，始態(tài)速度為，終態(tài)速度為零．根據(jù)動(dòng)量定理有 ． 以上兩式聯(lián)立解得 ． 解法三：用動(dòng)量定理解，研究全過(guò)程． 選物體作為研究對(duì)象，研究整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程，這個(gè)過(guò)程的始、終狀態(tài)的物體速度都等于零． 取水平力的方向?yàn)檎较?，根?jù)動(dòng)量定理得 解得 ． 【總結(jié)升華】比較上述三種解法可以看出： （1

28、）既能用牛頓第二定律（結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式）解答，也能用動(dòng)量定理解答的問(wèn)題，一般來(lái)說(shuō)用動(dòng)量定理解比較簡(jiǎn)便． （2）當(dāng)物體的運(yùn)動(dòng)由兩個(gè)以上的物理過(guò)程組成時(shí)，靈活選取所研究的物理過(guò)程，能提高解題效率，該題解法三的整體法（全過(guò)程法）比解法二的隔離法（分段法）要簡(jiǎn)便一些． 【變式2】如圖，兩小物塊被平行于斜面的輕細(xì)線相連，均靜止于斜面上．以平行于斜面向上的恒力拉，使同時(shí)由靜止起以加速度沿斜面向上運(yùn)動(dòng)．經(jīng)時(shí)間，細(xì)線突然被拉斷．再經(jīng)時(shí)間，上滑到最高點(diǎn)．已知的質(zhì)量分別為，細(xì)線斷后拉的恒力不變，求到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的速度． 【解析】本題中，由于恒力大小、斜面的傾角

29、及與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)均未知，故分別對(duì)運(yùn)動(dòng)的每一個(gè)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)量定理建立方程時(shí)有一定的困難．但若以系統(tǒng)為研究對(duì)象，系統(tǒng)合外力為 ． 且注意到，細(xì)繩拉斷前后，系統(tǒng)所受各個(gè)外力均未變化，全過(guò)程中，的動(dòng)量增量為零，對(duì)系統(tǒng)動(dòng)量的全過(guò)程，有 ， 解出 ． 故到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)的速度為 ． 【總結(jié)升華】（1）動(dòng)量定理的研究對(duì)象可以是一個(gè)物體，也可以是一個(gè)系統(tǒng)．系統(tǒng)所受合外力的沖量等于系統(tǒng)內(nèi)各物體的動(dòng)量增量之和．（2）在系統(tǒng)所受外力中有較多未知因數(shù)時(shí)，應(yīng)用牛頓第二定律，系統(tǒng)的合外力應(yīng)等于系統(tǒng)內(nèi)各物體的質(zhì)量與加速度的乘積之和．本題中，因加速度相同，故有． 類型四、求平

30、均作用力 例5.質(zhì)量為的建筑工人，不慎從高空跌下，由于彈性安全帶的保障，使他懸掛起來(lái)，已知彈性安全帶緩沖時(shí)間為，安全帶長(zhǎng)為，則安全帶所受的平均作用力。（?。? 　　 【答案】。 【解析】對(duì)人在全過(guò)程中（從開始跌下到安全停止），由動(dòng)量定理得： 　　　　 　　　　 　 　　 　　∴ 根據(jù)牛頓第三定律可知，安全帶所受的平均作用力為。 【總結(jié)升華】此題也可用上面的方法分兩個(gè)階段分別研究，無(wú)論是分過(guò)程的解法還是全過(guò)程的解法，一定要注意力與時(shí)間的對(duì)應(yīng)以及始末狀態(tài)的確定。 類型五、用動(dòng)量定理求變力的沖量 例6.如圖所示，將一輕彈簧懸于點(diǎn)，下端和物體相連，物體下面用細(xì)線連接

31、物體，、質(zhì)量分別為、，若將細(xì)線剪斷，待的速度為時(shí)，的速度為，方向向下，求該過(guò)程中彈簧彈力的沖量。 【思路點(diǎn)撥】求變力的沖量，可借助動(dòng)量定理，由動(dòng)量的變化量間接求出。 【答案】 【解析】剪斷細(xì)線后，向下做自由落體運(yùn)動(dòng)，向上運(yùn)動(dòng)。 　　對(duì)：取向上方向?yàn)檎?，由?dòng)量定理得 　　　　 對(duì)：由自由落體運(yùn)動(dòng)知識(shí) 　　　　………………………② 由①、②解得： 　　 =． 【總結(jié)升華】求變力的沖量，不能用直接求解，可借助動(dòng)量定理，由動(dòng)量的變化量間接求出。 類型六、用動(dòng)量定理解決變質(zhì)量問(wèn)題 例7.如圖所示，水力采煤時(shí)，用水槍在高壓下噴出強(qiáng)

32、力水柱沖擊煤層。設(shè)水柱直徑為，水速為。假設(shè)水柱射在煤層的表面上，沖擊煤層后水的速度變?yōu)榱?，求水柱?duì)煤層的平均沖擊力。（水的密度） 【思路點(diǎn)撥】應(yīng)用動(dòng)量定理分析連續(xù)體相互作用問(wèn)題的方法：確定一小段時(shí)間內(nèi)的連續(xù)體為研究對(duì)象；寫出內(nèi)的連續(xù)體的質(zhì)量與的關(guān)系式；分析連續(xù)體的受力情況和動(dòng)量變化；應(yīng)用動(dòng)量定理列式；求解。 【答案】 【解析】設(shè)在一小段時(shí)間內(nèi)，從水槍射出的時(shí)的質(zhì)量為，則 。 以為研究對(duì)象，如圖所示，它在時(shí)間內(nèi)的動(dòng)量變化 。 設(shè)為水對(duì)煤層的平均作用力，即沖力；為煤層對(duì)水的反沖力，以的方向?yàn)檎较?，根?jù)動(dòng)量定理（忽略水的重力），有

33、即 根據(jù)牛頓第三定律知 式中，代入數(shù)值得 。 【總結(jié)升華】應(yīng)用動(dòng)量定理分析連續(xù)體相互作用問(wèn)題的方法： （1） 確定一小段時(shí)間內(nèi)的連續(xù)體為研究對(duì)象。 （2） 寫出內(nèi)的連續(xù)體的質(zhì)量與的關(guān)系式。 （3） 分析連續(xù)體的受力情況和動(dòng)量變化。 （4） 應(yīng)用動(dòng)量定理列式。 （5） 求解。 類型七、動(dòng)量定理與動(dòng)量、能量的綜合應(yīng)用 例8.一傾角為°的斜面固定于地面，斜面頂端離地面的高度，斜面底端有一垂直于斜面的固定擋板。在斜面頂端自由釋放一質(zhì)量的小物塊（視為質(zhì)點(diǎn)）。小物塊與斜面之間的動(dòng)摩擦因數(shù)。當(dāng)小物塊與擋板碰撞后，將以原速返回。重力加速度。在小物塊與擋板的前次碰撞過(guò)程中，擋

34、板給予小物塊的總沖量是多少？ 　　　　　　　　　　　　　　 　　【答案】 【解析】設(shè)小物塊從高為h處由靜止開始沿斜面向下運(yùn)動(dòng)，到達(dá)斜面底端時(shí)速度為v。 　　由功能關(guān)系得 　　　　 　　　 ① 　 以沿斜面向上為動(dòng)量的正方向。按動(dòng)量定理，碰撞過(guò)程中擋板給小物塊的沖量 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　 ② 　　設(shè)碰撞后小物塊所能達(dá)到的最大高度為hˊ，則 　　　　　　　　　　　　　　 ③ 　　同理，有 　　　　　　　?、? 　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 　 ⑤ 　　式中，為小物塊再次到達(dá)斜面底端時(shí)的速度，為再次碰撞過(guò)程中擋板給小物塊的沖

35、量。 　　由①②③④⑤式得 　 ⑥ 　　其中 　　　 ⑦ 　　由此可知，小物塊前4次與擋板碰撞所獲得的沖量成等比級(jí)數(shù)，首項(xiàng)為 　　　　　　　　　　 　　　?、? 　　總沖量為　　 　　 　　?、? 　　由　　　　 　　　　　　　 　　　 ⑩ 　　得　　　　　 　　　　 　　 　 ⑾ 　　代入數(shù)據(jù)得　 【總結(jié)升華】此題重難點(diǎn)在數(shù)學(xué)運(yùn)算。核心思路是按等比數(shù)列進(jìn)行運(yùn)算。屬要求較高題目。

36、 例9.如圖所示，在同一水平面內(nèi)有相互平行且足夠長(zhǎng)的兩條滑軌和相距，垂直于滑軌平面豎直向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度，垂直于滑軌放置的金屬棒和質(zhì)量為和，每根金屬棒的電阻均為，其它電阻不計(jì)，開始時(shí)兩棒都靜止，且和與滑軌間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別和，求： 　　(1)當(dāng)一外力作用棒的時(shí)間,恰好使棒以的速度做勻速運(yùn)動(dòng)，那么外力的沖量多大？ 　　(2)若在末令棒突然停止運(yùn)動(dòng)，繼續(xù)運(yùn)動(dòng)直到停止的過(guò)程中，通過(guò)其橫截面的電量為，則在此過(guò)程中兩根金屬棒消耗的電能是多少？（設(shè)兩棒不相碰，） 　　　　　　　　　　　　　　　 　　【思路點(diǎn)撥】此題以雙桿為載體將受力分析、動(dòng)量、能量、電磁感應(yīng)等相結(jié)合的綜合題目，注意隱含

37、條件。 【答案】(1)； (2) ． 【解析】 　　(1)棒是由于棒切割磁感線運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)并在閉合電路產(chǎn)生感受應(yīng)電流后，使其受到安培力作用而做加速運(yùn)動(dòng)。由分析知當(dāng)它勻速時(shí)受安培力和摩擦力平衡： 　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　┅① 　　　此時(shí)隱含也要?jiǎng)蛩龠\(yùn)動(dòng)（設(shè)其速度為，外力的沖量為）， 　　　對(duì)兩棒組成的系統(tǒng)，由動(dòng)理定理得： 　　　　　　　　　 ┅② 　　　但　 　　　　　　　　　　　　　　┅③ 　　　解①–③得 　　(2)當(dāng)突然停止，中流過(guò)的感應(yīng)電流方向立即反向，因而受安培力反向使做變減速運(yùn)動(dòng)直到停止，設(shè)滑動(dòng)的距離為，由法拉第電磁感應(yīng)定律得：

38、 　　　　　　　　 　　　　　　┅④ 　　　因流過(guò)的電量為 　　　　　　　 　┅⑤ 　　　設(shè)兩棒在該過(guò)程消耗的電能為，由能量守恒得： 　　　　　　 　　　　　┅⑥ 　　　解④–⑤得 【總結(jié)升華】此題以雙桿為載體將受力分析、動(dòng)量、能量、電磁感應(yīng)等綜合起來(lái)，其中棒勻速隱含棒也勻速是關(guān)鍵，也是易錯(cuò)點(diǎn)，此類題為高考的一大趨勢(shì)。 舉一反三： 【變式】如圖，在離水平地面高的地方上有一相距的光滑軌道，左端接有已充電的電容器，電容為，充電后兩端電壓為。軌道平面處于垂直向上的磁感應(yīng)強(qiáng)度為的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中。在軌道右端放一質(zhì)量為的金屬棒，當(dāng)閉合，棒離開軌道后電容器的兩極電壓變?yōu)椋蟀袈湓诘孛骐x平臺(tái)多遠(yuǎn)的位置。 　　　　　　　　　　　　 　　 【答案】 【解析】當(dāng)閉合時(shí)，電容器由于放電，形成放電電流，因而金屬棒受磁場(chǎng)力作用做變加速運(yùn)動(dòng)，并以一定速度離開導(dǎo)軌做平拋運(yùn)動(dòng)，所以棒在導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)時(shí)有 ， 　　即 　　棒做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)有： 　　 　 　　所以　 ．