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閱讀理解與新概念題 05 閱讀理解與新概念題 1.[xx日照] 定義一種對正整數(shù)n的“F”運算:①當n是奇數(shù)時,F(n)=3n+1;②當n為偶數(shù)時,F(n)=n2k其中k是使n2k為奇數(shù)的正整數(shù),…,兩種運算交替重復進行.例如,取n=24,則運算過程如圖ZT5-1. 圖ZT5-1 若n=13,則第xx次“F”運算的結果是 (　　) A.1 B.4 C.xx D.4xx 2.[xx永州] 對于任意大于0的實數(shù)x,y,滿足:log2(xy)=log2x+log2y,若log22=1,則log216=　　　　. 3.[xx遂寧] 請閱讀以下材料:已知向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)滿足下列條件: ①a=x12+y12;b=x22+y22;②a?b=abcosα(角α的取值范圍是0<α<90),③a?b=x1x2+y1y2.利用上述所給條件,解答下列問題: 已知a=(1,3),b=(-3,3),求角α的大小. 解:∵a=x12+y12=12+(3)2=2, b=x22+y22=(-3)2+32=12=23, ∴a?b=abcosα=223cosα=43cosα. 又∵a?b=x1x2+y1y2=1(-3)+33=23, ∴43cosα=23. ∴cosα=12. ∴α=60. ∴角α的值為60. 請仿照以上解答過程,完成下列問題: 已知a=(1,0),b=(1,-1),求角α的大小. 4.[xx北京] 在平面直角坐標系xOy中,函數(shù)y=kx(x>0)的圖象G經(jīng)過點A(4,1),直線l:y=14x+b與圖象G交于點B,與y軸交于點C. (1)求k的值. (2)橫、縱坐標都是整數(shù)的點叫做整點.記圖象G在點A,B之間的部分與線段OA,OC,BC圍成的區(qū)域(不含邊界)為W. ①當b=-1時,直接寫出區(qū)域W內的整點個數(shù); ②若區(qū)域W內恰有4個整點,結合圖象,求b的取值范圍. 5.[xx荊州] 探究函數(shù)y=x+1x(x>0)與y=x+ax(x>0,a>0)的相關性質. (1)小聰同學對函數(shù)y=x+1x(x>0)進行了如下列表、描點(圖ZT5-2),請你幫他完成連線的步驟;觀察圖象可得它的最小值為　　　　,它的另一條性質為　　　　. x … 14 13 12 1 32 2 52 3 … y … 174 103 52 2 136 52 2910 103 … 圖ZT5-2 (2)請用配方法求函數(shù)y=x+1x(x>0)的最小值. (3)猜想函數(shù)y=x+ax(x>0,a>0)的最小值為　　　　. 6.[xx江西] 小賢與小杰在探究某類二次函數(shù)問題時,經(jīng)歷了如下過程: 求解體驗 (1)已知拋物線y=-x2+bx-3經(jīng)過點(-1,0),則b=　　　　,頂點坐標為　　　　,該拋物線關于點(0,1)成中心對稱的拋物線的表達式是　　　　. 抽象感悟 我們定義:對于拋物線y=ax2+bx+c(a≠0),以y軸上的點M(0,m)為中心,作該拋物線關于點M對稱的拋物線y,則我們又稱拋物線y為拋物線y的“衍生拋物線”,點M為“衍生中心”. (2)已知拋物線y=-x2-2x+5關于點(0,m)的衍生拋物線為y,若這兩條拋物線有交點,求m的取值范圍. 問題解決 (3)已知拋物線y=ax2+2ax-b(a≠0). ①若拋物線y的衍生拋物線為y=bx2-2bx+a2(b≠0),兩條拋物線有兩個交點,且恰好是它們的頂點,求a,b的值及衍生中心的坐標; ②若拋物線y關于點(0,k+12)的衍生拋物線為y1,其頂點為A1;關于點(0,k+22)的衍生拋物線為y2,其頂點為A2;…;關于點(0,k+n2)的衍生拋物線為yn,其頂點為An;…(n為正整數(shù)).求AnAn+1的長(用含n的式子表示). 圖ZT5-3 7.[xx北京] 對于平面直角坐標系xOy中的圖形M,N,給出如下定義:P為圖形M上任意一點,Q為圖形N上任意一點,如果P,Q兩點間的距離有最小值,那么稱這個最小值為圖形M,N間的“閉距離”,記為d(M,N). 已知點A(-2,6),B(-2,-2),C(6,-2). (1)求d(點O,△ABC). (2)記函數(shù)y=kx(-1≤x≤1,k≠0)的圖象為圖形G.若d(G,△ABC)=1,直接寫出k的取值范圍. (3)☉T的圓心為T(t,0),半徑為1.若d(☉T,△ABC)=1,直接寫出t的取值范圍. 8.[xx義烏] 定義:有一組鄰邊相等,并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形. (1)如圖ZT5-4①,在等腰直角四邊形ABCD中,AB=BC,∠ABC=90. ①若AB=CD=1,AB∥CD,求對角線BD的長; ②若AC⊥BD,求證:AD=CD. (2)如圖②,在矩形ABCD中,AB=5,BC=9,點P是對角線BD上一點,且BP=2PD,過點P作直線分別交邊AD,BC于點E,F,使四邊形ABFE是等腰直角四邊形.求AE的長. 圖ZT5-4 參考答案 1.A　[解析] 根據(jù)題意,第1次:當n=13時,F①=313+1=40;第2次:當n=40時,F②=4023=5;第3次:當n=5時,F①=35+1=16;第4次:當n=16時,F②=1624=1;第5次:當n=1時,F①=31+1=4;第6次:當n=4時,F②=422=1,…,從第4次開始,每2次運算循環(huán)一次,因為(xx-3)2=1007……1,第xx次“F運算”的結果是1.故選A. 2.4　[解析] 根據(jù)條件中的新定義,可將log216化為log2(2222)=log22+log22+log22+log22=1+1+1+1=4. 3.解:∵a=(1,0),b=(1,-1),∴a=x12+y12=12+02=1,b=x22+y22=12+(-1)2=2,∴a?b=abcosα=12cosα=2cosα, 又∵a?b=x1x2+y1y2=11+0(-1)=1, ∴2cosα=1.∴cosα=22. ∴α=45,即角α的值為45. 4.解:(1)∵函數(shù)y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過點A(4,1), ∴1=k4.解得k=4. (2)①如圖所示,由圖可知區(qū)域W內的整點有3個,分別為(1,0),(2,0),(3,0). ②由①可知,當直線BC過點(4,0)時,b=-1;當直線BC過點(5,0)時,54+b=0,b=-54.此時,區(qū)域W內的整點有4個,分別為(1,0),(2,0),(3,0),(4,0).結合函數(shù)圖象知-54≤b<-1. 當直線BC過點(1,2)時,14+b=2,b=74. 當直線BC過點(1,3)時,14+b=3,b=114.此時,區(qū)域W內的整點有4個,分別為(1,1),(2,1),(3,1),(1,2).結合函數(shù)圖象知741時,y隨x的增大而增大. (2)y=x+1x=(x)2+1x2=x-1x2+2, 令x=1x,解得x=1. ∴當x=1時,y取得最小值,最小值為2. (3)類比上問可得 y=x+ax=(x)2+ax2=x-ax2+2a,令x=ax,解得x=a. ∴當x=a時,y取得最小值2a. 6.解:(1)-4　(-2,1)　y=(x-2)2+1 【提示】把(-1,0)代入y=-x2+bx-3,得0=-1-b-3.∴b=-4. ∴拋物線的解析式為y=-x2-4x-3,利用頂點坐標公式求出頂點坐標為(-2,1). 點(-2,1)關于(0,1)成中心對稱的點的坐標為(2,1), ∵中心對稱是繞旋轉中心旋轉180,∴新拋物線的解析式為y=(x-2)2+1. (2)y=-x2-2x+5=-(x+1)2+6, ∴頂點坐標為(-1,6). ∵點(-1,6)關于(0,m)的對稱點為(1,2m-6), ∴衍生拋物線為y=(x-1)2+2m-6. 則-(x+1)2+6=(x-1)2+2m-6, 化簡,得x2=-m+5. ∵這兩條拋物線有交點, ∴-m+5≥0,m≤5. (3)①y=ax2+2ax-b=a(x+1)2-a-b, 頂點坐標為(-1,-a-b), y=bx2-2bx+a2=b(x-1)2-b+a2, 頂點坐標為(1,-b+a2), ∵兩交點恰好是頂點, ∴-b+a2=a(1+1)2-a-b,-a-b=b(-1-1)2-b+a2, 解得a=3,b=-3. ∴頂點坐標分別為(-1,0)和(1,12). ∵(-1,0),(1,12)關于衍生中心對稱, ∴衍生中心為(0,6). ②頂點(-1,-a-b)關于點(0,k+1)的對稱點A1(1,2k+2+a+b); 頂點(-1,-a-b)關于點(0,k+4)的對稱點A2(1,2k+8+a+b); 頂點(-1,-a-b)關于點(0,k+n2)的對稱點An(1,2k+2n2+a+b); 頂點(-1,-a-b)關于點(0,k+(n+1)2)的對稱點An+1(1,2k+2(n+1)2+a+b); ∴AnAn+1=2(n+1)2-2n2=4n+2. 7.解:(1)如圖①,可知點O到△ABC的最小距離為2,即原點(0,0),(-2,0)(或(0,-2))兩點間的距離,故d(點O,△ABC)=2. (2)如圖①,直線y=kx(k≠0)經(jīng)過原點,在-1≤x≤1范圍內,函數(shù)圖象為線段. 當y=kx(-1≤x≤1,k≠0)經(jīng)過(1,-1)時,k=-1,此時,d(G,△ABC)=1; 當y=kx(-1≤x≤1,k≠0)經(jīng)過(-1,-1)時,k=1,此時,d(G,△ABC)=1. ∴-1≤k≤1. 又∵k≠0, ∴-1≤k≤1且k≠0. (3)如圖②,☉T與△ABC的位置分三種情況討論如下: ①若☉T位于△ABC的左側,易知當t=-4時,d(☉T,△ABC)=1. ②若☉T位于△ABC的內部,點T與點O重合時,有d(☉T,△ABC)=1;點T與點T3重合時,過點T3作T3M⊥AC于M,當T3M=2時,有d(☉T,△ABC)=1,此時T3O=4-22. 故0≤t≤4-22. ③若☉T位于△ABC的右側,由②可知,當d(☉T,△ABC)=1時,t=4+22. 綜上,符合條件的t的取值范圍是t=-4或0≤t≤4-22或t=4+22. 8.解:(1)①∵AB=CD=1,AB∥CD, ∴四邊形ABCD是平行四邊形. 又∵AB=BC, ∴平行四邊形ABCD是菱形. 又∵∠ABC=90, ∴菱形ABCD是正方形. ∴BD=12+12=2. ②證明:如圖①,連接AC,BD. ∵AB=BC,AC⊥BD,∴∠ABD=∠CBD. 又∵BD=BD,∴△ABD≌△CBD. ∴AD=CD. (2)若EF與BC垂直,則AE≠EF,BF≠EF, ∴四邊形ABFE不是等腰直角四邊形,故不符合條件. 若EF與BC不垂直, ①當AE=AB時,如圖②,此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形,∴AE=AB=5. ②當BF=AB時,如圖③,此時四邊形ABFE是等腰直角四邊形,∴BF=AB=5. ∵DE∥BF,BP=2PD, ∴BF∶DE=2∶1. ∴DE=2.5,∴AE=9-2.5=6.5. 綜上所述,滿足條件的AE的長為5或6.5.