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第一章 三角函數 章末檢測　 時間：120分鐘　滿分：150分 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的) 1．下列各角中與330角終邊相同的角是(　　) A．510　　　　　　　 B．150 C．－150 D．－390 解析：所有與330角終邊相同的角可表示為α＝330＋k360，當k＝－2時，得α＝－390. 答案：D 2．如圖所示為一簡諧運動的圖象，則下列判斷正確的是(　　) A．該質點的振動周期為0.7 s B．該質點的振幅為－5 cm C．該質點在0.1 s和0.5 s時的振動速度最大 D．該質點在0.3 s和0.7 s時的加速度為零 解析：該質點的振動周期為T＝2(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A是錯誤的；該質點的振幅為5 cm，故B是錯誤的；該質點在0.1 s和0.5 s時的振動速度是零，故C是錯誤的．故選D. 答案：D 3．化簡sin 600的值是(　　) A．0.5　　　　　　　　 B．－ C. D．－0.5 解析：sin(600)＝sin(360＋240)＝sin 240＝sin(180＋60)＝－sin 60＝－. 答案：B 4．已知函數f(x)＝sin x在區(qū)間[a，b]上是增函數，且f(a)＝－1，f(b)＝1，則cos 的值為(　　) A．0 B. C．1 D．－1 解析：由題知[a，b]＝(k∈Z)，所以cos ＝cos 2kπ＝1. 答案：C 5．函數y＝＋＋的值域是(　　) A．{1} B．{1,3} C．{－1} D．{－1,3} 解析：當x為第一象限角時，sin x>0，cos x>0，tan x>0，所以 y＝＋＋＝3； 當x為第二象限角時，sin x>0，cos x<0，tan x<0，所以 y＝＋＋＝－1； 當x為第三象限角時，sin x<0，cos x<0，tan x>0，所以 y＝＋＋＝－1； 當x為第四象限角時，sin x<0，cos x>0，tan x<0，所以 y＝＋＋＝－1； 綜上可知，值域為{－1,3}． 答案：D 6．函數y＝－sin x，x∈的簡圖是(　　) 解析：用特殊點來驗證．x＝0時，y＝－sin 0＝0，排除選項A，C；又x＝－時，y＝－sin ＝1，排除選項B. 答案：D 7．若動直線x＝a與函數f(x)＝sin x和g(x)＝cos x的圖象分別交于M、N兩點，則|MN|的最大值為(　　) A．1 B. C. D．2 解析：M、N兩點的坐標為M(a，sin a)，N(a，cos a)，則|MN|＝|sin a－cos a|＝|sin |，∴|MN|max＝. 答案：B 8．要得到函數f(x)＝cos 的圖象，只需將函數g(x)＝sin 的圖象(　　) A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 解析：因為函數f(x)＝cos ＝sin[(2x＋)＋]＝sin[2(x＋)]，所以將函數g(x)＝sin 的圖象向左平移個單位長度， 即可得到函數y＝sin[2(x＋)＋]＝sin(2x＋)的圖象．故應選C. 答案：C 9．若兩個函數的圖象僅經過有限次平移能夠重合，則稱這兩個函數為“同形”函數，給出下列三個函數： f1(x)＝2cos 2x，f2(x)＝sin x＋cos x， f3(x)＝2cos(x－)－1，則(　　) A．f1(x)，f2(x)，f3(x)兩兩為“同形”函數 B．f1(x)，f2(x)，f3(x)兩兩不為“同形”函數 C. f1(x)，f2(x)為“同形”函數，且它們與f3(x)不為“同形”函數 D．f2(x)，f3(x)為“同形” 函數，且它們與f1(x)不為“同形”函數 解析：f2(x)＝sin x＋cos x＝2cos(x－)，則f2(x)與f3(x)中，A，ω相同，所以可通過兩次平移使其圖象重合，即f2(x)與f3(x)為“同形”函數，而f1(x)中ω＝2與f2(x)，f3(x)中的ω＝1不同，需要伸縮變換得到，即它們與f1(x)不為“同形”函數． 答案：D 10．已知奇函數f(x)在[－1,0]上為單調遞減函數，又α、β為銳角三角形兩內角，則下列結論正確的是(　　) A．f(cos α)>f(cos β) B．f(sin α)>f(sin β) C．f(sin α)>f(cos β) D．f(sin α)且0<α，β<，則>α>－β>0，所以sin α>sin(－β)，即sin α>cos β，又0f(π)，則f(x)的單調遞增區(qū)間是(　　) A.(k∈Z) B.(k∈Z) C.(k∈Z) D.(k∈Z) 解析：因為f(x)≤|f()|，知f()是函數f(x)的最大值或最小值．函數f(x) 的周期T＝π，所以f(π)＝f(0)．又因為函數的對稱軸為x＝，所以f(0)＝f()，知f()>f()，所以f()是函數f(x)的最小值，所以2＋φ＝－，解得φ＝－π.由－＋2kπ≤2x－π≤＋2kπ(k∈Z)，得kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)． 答案：C 二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分，把答案填在題中的橫線上) 13．已知f(x)＝2sin －m在x∈[0，]上有兩個不同的零點，則m的取值范圍是________． 解析：f(x)在[0，]上有兩個不同零點，即方程f(x)＝m在[0，]上有兩個不同實數解，∴y＝2 sin ，x∈[0，]與y＝m有兩個不同交點． 令u＝2x－，由x∈[0，]得u∈[－，]， 在同一直角坐標系中做出函數y＝2sin u與y＝m 的圖象(如圖)，可知1≤m<2. 答案：[1,2) 14．函數y＝2sin(2x＋)(x∈[－π，0])的單調遞減區(qū)間是________． 解析：令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z， 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 令k＝－1，得－≤x≤－，得函數的單調遞減區(qū)間為. 答案： 15．設a＝sin ，b＝cos，c＝tan ，則a，b，c的大小關系為________(按由小至大順序排列) 解析：a＝sin ＝sin(π－)＝sin ，b＝cos ＝sin(－)＝sin ， 因為0<<<，y＝sin x在(0，)上為增函數，所以btan ＝1，所以btan . 18．(12分)為得到函數y＝sin ＋的圖象，只要把函數y＝sin x的圖象作怎樣的變換？ 解析：①把函數y＝sin x的圖象向左平移個單位長度，得到函數y＝sin 的圖象； ②把得到的圖象上各點橫坐標縮短到原來的倍(縱坐標不變)，得到函數y＝sin 的圖象； ③把得到的圖象上各點縱坐標縮短到原來的(橫坐標不變)，得到函數y＝sin 的圖象； ④把得到的圖象向上平移個單位長度，得到函數y＝sin ＋的圖象． 綜上得到函數y＝sin ＋的圖象． 19．(12分)設函數f(x)＝sin(2x＋φ)(－π<φ<0)，y＝f(x)圖象的一條對稱軸是直線x＝. (1)求φ； (2)畫出函數y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖象． 解析：(1)∵x＝是函數y＝f(x)的圖象的對稱軸，∴sin ＝1. ∴＋φ＝kπ＋，k∈Z.∵－π<φ<0.∴φ＝－. (2)由(1)知y＝sin ，列表如下： x 0 π y － －1 0 1 0 － 描點連線，可得函數y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖象如圖． 20．(12分)某實驗室一天的溫度(單位：℃)隨時間t(單位：h)的變化近似滿足函數關系： f(t)＝10－cos t－sin t，t∈[0,24)． (1)求實驗室這一天的最大溫差； (2)若要求實驗室溫度不高于11 ℃，則在哪段時間實驗室需要降溫？ 解析：(1)因為f(t)＝10－2 ＝10－2sin ， 又0≤t<24，所以≤t＋<，－1≤sin ≤1. 當t＝2時，sin ＝1； 當t＝14時，sin ＝－1. 于是f(t)在[0,24)上取得最大值為12，最小值為8. 故實驗室這一天最高溫度為12 ℃，最低溫度為8 ℃，最大溫差為4 ℃. (2)依題意，當f(t)>11時實驗室需要降溫． 由(1)得f(t)＝10－2sin ， 故有10－2sin >11， 即sin <－. 又0≤t<24，因此0，ω>0，|φ|<π)的一段圖象如圖所示． (1)求此函數的解析式； (2)求此函數在(－2π，2π)上的遞增區(qū)間． 解析：(1)由圖可知，其振幅為A＝2，由＝6－(－2)＝8，∴周期為T＝16，∴ω＝＝＝，此時解析式為y＝2sin . ∵點(2，－2)在函數y＝2sin 的圖象上，∴2＋φ＝2kπ－，(k∈Z)， ∴φ＝2kπ－，(k∈Z)．又|φ|<π，∴φ＝－. 故所求函數的解析式為y＝2sin . (2)由2kπ－≤x－≤2kπ＋(k∈Z)， 得16k＋2≤x≤16k＋10(k∈Z)， ∴函數y＝2sin 的遞增區(qū)間是[16k＋2,16k＋10](k∈Z)． 當k＝－1時，有遞增區(qū)間[－14，－6]，當k＝0時，有遞增區(qū)間[2,10]，與定義區(qū)間求交集得此函數在(－2π，2π)上的遞增區(qū)間為(－2π，－6]，[2,2π)． 22．(13分)已知A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))是函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)(ω>0，－<φ<0)圖象上的任意兩點，且角φ的終邊經過點P(1，－)，若|f(x1)－f(x2)|＝4時，|x1－x2|的最小值為. (1)求函數f(x)的解析式； (2)求函數f(x)的單調遞增區(qū)間； (3)當x∈[0，]時，不等式mf(x)＋2m≥f(x)恒成立，求實數m的取值范圍． 解析：(1)因為角φ的終邊經過點P(1，－)，所以tan φ＝－，且－<φ<0，得φ＝－.函數f(x)的最大值為2，又|f(x1)－f(x2)|＝4時，|x1－x2|的最小值為，得周期T＝，即＝，所以ω＝3.所以f(x)＝2sin(3x－)． (2)令－＋2 kπ≤3x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋≤x≤＋，k∈Z. 所以函數f(x)的遞增區(qū)間為[－＋，＋]，k∈Z. (3)當x∈[0，]時，－≤3x－≤， 得－≤f (x)≤1，所以2＋f(x)>0， 則mf(x)＋2m≥f(x)恒成立等價于m≥＝1－恒成立． 因為2－≤2＋f(x)≤3，所以1－最大值為， 所以實數m的取值范圍是[，＋∞).