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二 綜合法與分析法 1．綜合法 (1)定義：一般地，從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、性質(zhì)等，經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立，這種證明方法叫做綜合法，綜合法又叫順推證法或由因?qū)Чǎ? (2)特點(diǎn)：由因?qū)Ч磸摹耙阎笨础翱芍?，逐步推向“未知”? (3)證明的框圖表示： 用P表示已知條件或已有的不等式，用Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為 →→→……→ 2．分析法 (1)定義：證明命題時(shí)，常常從要證的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的充分條件，直至所需條件為已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等)，從而得出要證的命題成立，這種證明方法叫做分析法，這是一種“執(zhí)果索因”的思考和證明方法． (2)特點(diǎn)：執(zhí)果索因，即從“未知”看“需知”，逐步靠攏“已知”． (3)證明過程的框圖表示： 用Q表示要證明的不等式，則分析法可用框圖表示為→→→……→ 用綜合法證明不等式 [例1]　已知a，b，c∈R＋，且互不相等，又abc＝1. 求證：＋＋<＋＋. [思路點(diǎn)撥]　本題考查用綜合法證明不等式，解答本題可從左到右證明，也可從右到左證明．由左端到右端，應(yīng)注意左、右兩端的差異，這種差異正是我們思考的方向．左端含有根號(hào)，脫去根號(hào)可通過＝<實(shí)現(xiàn)；也可以由右到左證明，按上述思路逆向證明即可． [證明]　法一：∵a，b，c是不等正數(shù)，且abc＝1， ∴＋＋＝＋＋<＋＋＝＋＋. 法二：∵a，b，c是不等正數(shù)，且abc＝1， ∴＋＋＝bc＋ca＋ab ＝＋＋ >＋＋ ＝＋＋. 綜合法證明不等式，揭示出條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系，為此要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系．合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵． 1．已知a，b，c都是實(shí)數(shù)，求證： a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca. 證明：∵a，b，c∈R， ∴a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc. c2＋a2≥2ca， 將以上三個(gè)不等式相加得： 2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，① 即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.② 在不等式①的兩邊同時(shí)加上“a2＋b2＋c2”得： 3(a2＋b2＋c2)≥(a＋b＋c)2， 即a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2.③ 在不等式②的兩端同時(shí)加上2(ab＋bc＋ca)得： (a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)， 即(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.④ 由③④得a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca. 用分析法證明不等式 [例2]　a，b∈R＋，且2c>a＋b. 求證：c－0,2>0，∴要證 ＋<2. 只需證(＋)2<(2)2. 展開得10＋2<20. 即證2<10， 即證21<25(顯然成立)． ∴＋<2. 3．已知x>0，y>0，求證(x2＋y2)>(x3＋y3). 證明：要證明(x2＋y2)>(x3＋y3)， 只需證(x2＋y2)3>(x3＋y3)2. 即證x6＋3x4y2＋3x2y4＋y6>x6＋2x3y3＋y6. 即證3x4y2＋3x2y4>2x3y3. ∵x>0，y>0，∴x2y2>0. 即證3x2＋3y2>2xy. ∵3x2＋3y2>x2＋y2≥2xy. ∴3x2＋3y2>2xy成立． ∴(x2＋y2)>(x3＋y3). 綜合法與分析法的綜合應(yīng)用 [例3]　設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝1，求證：＋≤. [思路點(diǎn)撥]　所證不等式含有開方運(yùn)算且兩邊都為正數(shù)，可考慮兩邊平方，用分析法轉(zhuǎn)化為一個(gè)不含開方運(yùn)算的不等式，再用綜合法證明． [證明]　要證＋≤， 只需證(＋)2≤6， 即證(a＋b)＋2＋2≤6. 由a＋b＝1得只需證≤， 即證ab≤. 由a0，a＋b＝1， 得ab≤2＝，即ab≤成立． ∴原不等式成立． (1)通過等式或不等式的運(yùn)算，將待證的不等式化為明顯的、熟知的不等式，從而使原不等式易于證明． (2)有些不等式的證明，需要一邊分析一邊綜合，稱之為分析綜合法，或稱“兩頭擠”法，這種方法充分表明了分析法與綜合法之間互為前提，互相滲透，相互轉(zhuǎn)化的辯證統(tǒng)一關(guān)系． 4．已知a，b，c都是正數(shù)， 求證：2≤3. 證明：要證2≤3， 只需證a＋b－2≤a＋b＋c－3， 即－2≤c－3. 移項(xiàng)，得c＋2≥3. 由a，b，c為正數(shù)， 得c＋2＝c＋＋≥3成立． ∴原不等式成立． 1．設(shè)a＝，b＝－，c＝－，那么a，b，c的大小關(guān)系是(　　) A．a(chǎn)>b>c　　　　　　 B．a(chǎn)>c>b C．b>a>c D．ba 解析：選B　由已知，可得出a＝，b＝，c＝， ∵＋>＋>2. ∴bP D．P≤S<2P 解析：選D　∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca， ∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca， 即S≥P. 又三角形中|a－b|0，b>0，若P是a，b的等差中項(xiàng)，Q是a，b的正的等比中項(xiàng)，是，的等差中項(xiàng)，則P，Q，R按從大到小的排列順序?yàn)開_______． 解析：∵P＝，Q＝，＝＋， ∴R＝≤Q＝≤P＝， 當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取等號(hào)． 答案：P≥Q≥R 7．設(shè)a>b>c，且＋≥恒成立，則m的取值范圍是________． 解析：∵a>b>c，∴a－b>0，b－c>0，a－c>0. 又(a－c)＝[(a－b)＋(b－c)]≥22＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a－b＝b－c時(shí)取等號(hào)． ∴m∈(－∞，4]． 答案：(－∞，4] 8．已知a，b，c都是正數(shù)，求證：≥abc. 證明：因?yàn)閎2＋c2≥2bc，a2>0， 所以a2(b2＋c2)≥2a2bc.① 同理，b2(a2＋c2)≥2ab2c.② c2(a2＋b2)≥2abc2.③ ①②③相加得2(a2b2＋b2c2＋c2a2)≥2a2bc＋2ab2c＋2abc2，從而a2b2＋b2c2＋c2a2≥abc(a＋b＋c)． 由a，b，c都是正數(shù)，得a＋b＋c>0， 因此≥abc，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào)． 9．設(shè)a，b，c>0，且ab＋bc＋ca＝1.求證： (1)a＋b＋c≥ ； (2) ＋ ＋ ≥ (＋＋)． 證明：(1)要證a＋b＋c≥ ， 由于a，b，c＞0， 因此只需證明(a＋b＋c)2≥3. 即證a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3， 而ab＋bc＋ca＝1， 故只需證明：a2＋b2＋c2＋2(ab＋bc＋ca)≥3(ab＋bc＋ca)． 即證a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 而這可以由ab＋bc＋ca≤＋＋＝a2＋b2＋c2(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立)證得． 所以原不等式成立． (2) ＋ ＋ ＝. 在(1)中已證a＋b＋c≥ . 因此要證原不等式成立， 只需證明≥ ＋＋， 即證a＋b＋c≤1， 即證a＋b＋c≤ab＋bc＋ca. 而a＝≤， b≤，c≤. 所以a＋b＋c≤ab＋bc＋ca (當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c＝時(shí)等號(hào)成立)． 所以原不等式成立． 10．設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足y＋x2＝0,00，ay>0， 所以ax＋ay≥2 ＝2 . 因?yàn)閤－x2＝x(1－x)≤2＝， 又因?yàn)?a. 所以ax＋ay＞2a，又∵0

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