2018高中數學 第3章 數系的擴充與復數的引入章末復習提升練習 蘇教版選修1 -2.doc
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第3章 數系的擴充與復數的引入 1．復數的概念 (1)虛數單位i；(2)復數的代數形式z＝a＋bi(a，b∈R)；(3)復數的實部、虛部、虛數與純虛數． 2．復數集 3．復數的四則運算 若兩個復數z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i(a1，b1，a2，b2∈R) (1)加法：z1＋z2＝(a1＋a2)＋(b1＋b2)i； (2)減法：z1－z2＝(a1－a2)＋(b1－b2)i； (3)乘法：z1z2＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i； (4)除法：＝ ＝＋i(z2≠0)； (5)實數四則運算的交換律、結合律、分配律都適合于復數的情況； (6)特殊復數的運算：in(n為正整數)的周期性運算； (1i)2＝2i； 若ω＝－i，則ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0. 4．共軛復數與復數的模 (1)若z＝a＋bi，則＝a－bi，z＋為實數，z－為純虛數(b≠0)． (2)復數z＝a＋bi的模|z|＝， 且z＝|z|2＝a2＋b2. 5．復數的幾何形式 (1)用點Z(a，b)表示復數z＝a＋bi(a，b∈R)，用向量O表示復數z＝a＋bi(a，b∈R)，Z稱為z在復平面上的對應點，復數與復平面上的點一一對應(坐標原點對應實數0)． (2) 任何一個復數z＝a＋bi一一對應著復平面內一個點Z(a，b)，也一一對應著一個從原點出發(fā)的向量. 6．復數加、減法的幾何意義 (1)復數加法的幾何意義 若復數z1、z2對應的向量、不共線，則復數z1＋z2是以、為兩鄰邊的平行四邊形的對角線所對應的復數． (2)復數減法的幾何意義 復數z1－z2是連接向量、的終點，并指向Z1的向量所對應的復數. 題型一 分類討論思想的應用 當復數的實部與虛部含有字母時，利用復數的有關概念進行分類討論．分別確定什么情況下是實數、虛數、純虛數．當x＋yi沒有說明x，y∈R時，也要分情況討論． 例1 已知復數z＝＋(a2－5a－6)i(a∈R)，試求實數a分別取什么值時，z分別為(1)實數；(2)虛數；(3)純虛數． 解 (1)當z為實數時，則有 ∴∴當a＝6時，z為實數． (2)當z為虛數時，則有 ∴∴a≠1且a≠6， 即當a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)時，z為虛數． (3)當z為純虛數時，則有 ∴ ∴不存在實數a，使z為純虛數． 跟蹤演練1 當實數a為何值時，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i. (1)為實數； (2)為純虛數； (3)對應的點在第一象限內； (4)復數z對應的點在直線x－y＝0上． 解 (1)z∈R?a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2. (2)z為純虛數，則 即故a＝0. (3)z對應的點在第一象限，則 ∴ ∴a＜0，或a＞2. ∴a的取值范圍是(－∞，0)∪(2，＋∞)． (4)依題設(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0， ∴a＝2. 題型二 數形結合思想的應用 數形結合既是一種重要的數學思想，又是一種常用的數學方法．本章中，復數本身的幾何意義、復數的模以及復數加減法的幾何意義都是數形結合思想的體現．它們得以相互轉化．涉及的主要問題有復數在復平面內對應點的位置、復數運算及模的最值問題等． 例2 已知等腰梯形OABC的頂點A、B在復平面上對應的復數分別為1＋2i，－2＋6i，OA∥BC.求頂點C所對應的復數z. 解 設z＝x＋yi，x，y∈R，如圖． ∵OA∥BC，OC＝BA， ∴kOA＝kBC，|zC|＝|zB－zA|， 即 解得或 ∵OA≠BC， ∴x2＝－3，y2＝4(舍去)， 故z＝－5. 跟蹤演練2 已知復數z1＝i(1－i)3. (1)求|z1|； (2)若|z|＝1，求|z－z1|的最大值． 解 (1)|z1|＝|i(1－i)3|＝|i||1－i|3＝2. (2)如圖所示，由|z|＝1可知，z在復平面內對應的點的軌跡是半徑為1，圓心為O(0,0)的圓，而z1對應著坐標系中的點Z1(2，－2)． 所以|z－z1|的最大值可以看成是點Z1(2，－2)到圓上的點的距離的最大值． 由圖知|z－z1|max＝|z1|＋r(r為圓半徑)＝2＋1. 題型三 轉化與化歸思想的應用 在求復數時，常設復數z＝x＋yi(x，y∈R)，把復數z滿足的條件轉化為實數x，y滿足的條件，即復數問題實數化的基本思想在本章中非常重要． 例3 已知z是復數，z＋2i，均為實數，且(z＋ai)2的對應點在第一象限，求實數a的取值范圍． 解 設z＝x＋yi(x，y∈R)， 則z＋2i＝x＋(y＋2)i為實數，∴y＝－2. 又＝＝(x－2i)(2＋i) ＝(2x＋2)＋(x－4)i為實數， ∴x＝4.∴z＝4－2i， 又∵(z＋ai)2＝(4－2i＋ai)2＝(12＋4a－a2)＋8(a－2)i在第一象限． ∴解得2
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