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專題08 函數與方程----零點問題面面觀 【熱點聚焦與擴展】 函數方程思想是一種重要的數學思想方法，函數問題可以利用方程求解，方程解的情況可借助于函數的圖象和性質求解.高考命題常常以基本初等函數為載體，主要考查以下三個方面：（1）零點所在區(qū)間——零點存在性定理；（2）二次方程根分布問題；（3）判斷根的個數問題；（4）根據方程解的情況確定求參數的值或范圍.上述情形除（1）簡單，其它往往與分段函數結合或與導數的應用結合，難度往往較大. 一、基礎知識： 1、零點的定義：一般地，對于函數，我們把方程的實數根稱為函數的零點 2、函數零點存在性定理：設函數在閉區(qū)間上連續(xù)，且，那么在開區(qū)間內至少有函數的一個零點，即至少有一點，使得. （1）在上連續(xù)是使用零點存在性定理判定零點的前提 （2）零點存在性定理中的幾個“不一定”（假設連續(xù)） ① 若，則的零點不一定只有一個，可以有多個 ② 若，那么在不一定有零點 ③ 若在有零點，則不一定必須異號 3、若在上是單調函數且連續(xù)，則在的零點唯一. 4、函數的零點，方程的根，兩圖象交點之間的聯系 （1）函數的零點：有“零點存在性定理”作為理論基礎，可通過區(qū)間端點值的符號和函數的單調性確定是否存在零點. （2）方程：方程的特點在于能夠進行靈活的變形，從而可將等號兩邊的表達式分別構造為兩個可分析的函數，為作圖做好鋪墊. （3）圖象的交點：通過作圖可直觀的觀察到交點的個數，并能初步判斷交點所在區(qū)間. 三者轉化：函數的零點方程的根方程的根函數與的交點. 二、零點存在與判斷方法、技巧： 1、零點存在性定理的應用：若一個方程有解但無法直接求出時，可考慮將方程一邊構造為一個函數，從而利用零點存在性定理將零點確定在一個較小的范圍內。例如：對于方程，無法直接求出根，構造函數，由即可判定其零點必在中 2、函數的零點，方程的根，兩函數的交點在零點問題中的作用 （1）函數的零點： 工具：零點存在性定理 作用：通過代入特殊值精確計算，將零點圈定在一個較小的范圍內。 缺點：方法單一，只能判定零點存在而無法判斷個數，且能否得到結論與代入的特殊值有關 （2）方程的根： 工具：方程的等價變形 作用：當所給函數不易于分析性質和圖象時，可將函數轉化為方程，從而利用等式的性質可對方程進行變形，構造出便于分析的函數 缺點：能夠直接求解的方程種類較少，很多轉化后的方程無法用傳統(tǒng)方法求出根，也無法判斷根的個數 （3）兩函數的交點： 工具：數形結合 作用：前兩個主要是代數運算與變形，而將方程轉化為函數交點，是將抽象的代數運算轉變?yōu)閳D形特征，是數形結合的體現。通過圖象可清楚的數出交點的個數（即零點，根的個數）或者確定參數的取值范圍。 缺點：數形結合能否解題，一方面受制于利用方程所構造的函數（故當方程含參時，通常進行參變分離，其目的在于若含的函數可作出圖象，那么因為另外一個只含參數的圖象為直線，所以便于觀察），另一方面取決于作圖的精確度，所以會涉及到一個構造函數的技巧，以及作圖時速度與精度的平衡.（作3、函數單調性對零點個數的影響：如果一個連續(xù)函數是單調函數，那么它的零點至多有一個.因此分析一個函數零點的個數前，可嘗試判斷函數是否單調. 4、幾個“不一定”與“一定”（假設在區(qū)間連續(xù)） （1）若，則“一定”存在零點，但“不一定”只有一個零點.要分析的性質與圖象，如果單調，則“一定”只有一個零點 （2）若，則“不一定”存在零點，也“不一定”沒有零點。如果單調，那么“一定”沒有零點 （3）如果在區(qū)間中存在零點，則的符號是“不確定”的，受函數性質與圖象影響。如果單調，則一定小于0 5、零點與單調性配合可確定函數的符號：是一個在單增連續(xù)函數，是的零點，且，則時，；時，. 三、函數零點的性質及應用 1、此類問題的處理步驟： （1）作圖：可將零點問題轉化成方程，進而通過構造函數將方程轉化為兩個圖象交點問題，并作出函數圖象 （2）確定變量范圍：通過圖象與交點位置確定參數和零點的取值范圍 （3）觀察交點的特點（比如對稱性等）并選擇合適的方法處理表達式的值， 2.常見處理方法： （1）代換法：將相等的函數值設為，從而用可表示出，將關于的表達式轉化為關于的一元表達式，進而可求出范圍或最值 （2）利用對稱性解決對稱點求和：如果關于軸對稱，則；同理，若關于中心對稱，則也有。將對稱的點歸為一組，在求和時可與對稱軸（或對稱中心）找到聯系 【經典例題】 例1 【2018屆北京市十一學校高三3月零?！恳阎瘮的敲丛谙铝袇^(qū)間中含有函數零點的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,所以 函數f(x)在區(qū)間必有零點，選B. 例2.設函數，若實數分別是的零點，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【名師點睛】利用零點存在性定理求解三步曲是：①先移項使方程右邊為零，再令方程左邊為函數；②求區(qū)間兩端點的函數值；③若函數在該區(qū)間上連續(xù)且，則方程在該區(qū)間內必有根. 例3【2018屆福建省永春一中、培元、季延、石光中學四校高三上第二次聯考】定義在上的函數滿足，且時， ； 時， . 令，則函數的零點個數為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】∵x∈[0，1]時，f（x）=4x， ∴f（1）=4 ∴x∈（1，2）時，f（x）==， ∵g（x）=2f（x）﹣x﹣4，x∈[﹣6，2]， 令g（x）=2f（x）﹣x﹣4=0， ∴y=f（x）在x∈[﹣6，2]，y=x+2有8個交點， 故函數g（x）的零點個數為8個． 故選：B． 【名師點睛】函數零點的求解與判斷 (1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點； (2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點； (3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點． 例4.已知函數的圖像為上的一條連續(xù)不斷的曲線，當時，，則關于的函數的零點的個數為（ ） A．0 B．1 C．2 D．0或2 【答案】A 【名師點睛】（1）本題由于解析式未知，故無法利用圖像解決，所以根據條件考慮構造函數，利用單調性與零點存在性定理進行解決。 （2）所給不等式呈現出輪流求導的特點，猜想可能是符合導數的乘法法則，變形后可得，而的零點問題可利用方程進行變形，從而與條件中的相聯系，從而構造出. 例5【2018屆江西師范大學附屬中學高三4月月考】定義域和值域均為（常數a>0）的函數和大致圖象如圖所示，給出下列四個命題： ①方程有且僅有三個解； ②方程有且僅有三個解； ③方程有且僅有九個解； ④方程有且僅有一個解。那么，其中一定正確的命題是（ ） A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④ 【答案】C 【解析】①方程有且僅有三個解； 有三個不同的值，由于是減函數，所以有三個解，①正確；②方程有且僅有三個解；從圖中可知， ，可能有個解，方程也可能有個解，②不正確；③方程有且僅有九個解；從圖中可知， ，可能有個解，方程最多九個解，③不正確；④因為方程有且僅有一個解，結合圖象是減函數，所以方程有且僅有一個解，④正確，故選C. 【方法點睛】本題主要考查函數的圖象與性質，函數與方程思想以及數形結合思想的應用，屬于難題. 數形結合是根據數量與圖形之間的對應關系，通過數與形的相互轉化來解決數學問題的一種重要思想方法，函數圖象是函數的一種表達形式，它形象地揭示了函數的性質，為研究函數的數量關系提供了“形”的直觀性． 例6【2018屆【衡水金卷】（二）】已知函數，且對任意實數,均有，若方程有且只有4個實根，則實數的取值范圍（ ） A. B. C. D. 【答案】A 有兩個零點，所以g(t)-a的圖像在區(qū)間上有兩個零點，所以由g(t)的圖像，可知-16＜a＜9.故選A. 點睛：本題解題用到了數學轉化的思想，首先把方程f(x)=a有四個根，且f(x)的圖像關于直線x=-3對稱，轉化成函數y=f(x)-a的圖像在區(qū)間有兩個零點，再轉化成函數g(t)-a的圖像在區(qū)間上有兩個零點.轉化的思想是高中數學里最普遍的數學思想，在高中數學里最常見，特別是遇到較復雜的問題，更應想到轉化，把復雜的問題轉化得簡單，把不熟悉的數學問題轉化成熟悉的數學問題，大家在今后的學習中要理解掌握和靈活運用. 例7【2018屆【衡水金卷】（四）】已知函數，若函數的圖象與軸的交點個數不少于2個，則實數的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由題可知函數的圖象與軸的交點個數不少于2個，即為函數y=f(x)的圖像與函數y=mx+m的圖像的交點個數不少于2個，由于函數y=mx+m的圖像過定點P（-1,0），且斜率為m,作出函數y=f(x)的圖像如圖所示，《 可知又x>1.所以 過點（-1,0）作的切線，設切點坐標為，則此時，切線的斜率為 故實數m的取值范圍為.綜上實數m的取值范圍為. 故選A. 點睛：本題有兩個難點,一個難點是要會通過數形結合分析出在什么情況下函數的圖象與軸的交點個數不少于2個,找到三個極限位置.第二個難點是怎么利用導數和導數的幾何意義求切線的斜率,要求對導數的知識比較熟練. 例8【2018屆廣東省省際名校（茂名市）高三下聯考（二）】記函數在區(qū)間內的零點個數為，則數列的前20項的和是（ ） A. 430 B. 840 C. 1250 D. 1660 【答案】A 【解析】令，得①或② 由①得，令，得，故①共有n個解， 當n為奇數時，③有個解，④有個解，故②有n+1個解，故 令 故 故選：A 點睛：函數零點的求解與判斷 (1)直接求零點：令，如果能求出解，則有幾個解就有幾個零點； (2)零點存在性定理：利用定理不僅要函數在區(qū)間上是連續(xù)不斷的曲線，且，還必須結合函數的圖象與性質(如單調性、奇偶性)才能確定函數有多少個零點； (3)利用圖象交點的個數：將函數變形為兩個函數的差，畫兩個函數的圖象，看其交點的橫坐標有幾個不同的值，就有幾個不同的零點． 例9【2018屆【衡水金卷】（一）】定義在上的函數若滿足： ，且，則稱函數為“指向的完美對稱函數”.已知是“1指向2的完美對稱函數”，且當時， .若函數在區(qū)間上恰有5個零點，則實數的取值范圍為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 時， ，當時， .由得對稱中心為，周期為4，可得的對稱中心為，即與均關于點對稱，結合的圖象關于點對稱及關于直線對稱，可畫出在區(qū)間上的圖象，如圖所示： 因為，直線過點，故若函數在區(qū)間上恰有5個零點，則只需與在區(qū)間上有兩個交點，設直線與曲線的切點為，則,故切線方程為： .因為點在切線上，所以，解得或（舍去），此時,又當直線過點時，k=1.故由圖，可知實數k的取值范圍為 故選：B. 【名師點睛】已知函數有零點求參數取值范圍常用的方法和思路 (1)直接法：直接根據題設條件構建關于參數的不等式，再通過解不等式確定參數范圍； (2)分離參數法：先將參數分離，轉化成求函數值域問題加以解決； (3)數形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數的圖象，然后數形結合求解． 例10【2017課標1，理21】已知函數. （1）討論的單調性； （2）若有兩個零點，求a的取值范圍. 【解析】 試題分析：（1）討論單調性，首先進行求導，發(fā)現式子特點后要及時進行因式分解，在對按，進行討論，寫出單調區(qū)間；（2）根據第（1）題，若，至多有一個零點.若，當時，取得最小值，求出最小值，根據，，進行討論，可知當有2個零點，設正整數滿足，則 .由于，因此在有一個零點.所以的取值范圍為. 【名師點睛】研究函數零點問題常常與研究對應方程的實根問題相互轉化.已知函數有2個零點求參數取值范圍，第一種方法是分離參數，構造不含參數的函數，研究其單調性、極值、最值，判斷與其交點的個數，從而求出a的范圍；第二種方法是直接對含參函數進行研究，研究其單調性、極值、最值，注意點是若有2個零點，且函數先減后增，則只需其最小值小于0，且后面還需驗證有最小值兩邊存在大于0的點. 【精選精練】 1【2018屆北京市京源學校高三十月月考】函數零點所在的區(qū)間是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】在時是連續(xù)函數， ， ，由函數零點的存在性定理，函數的零點所在的區(qū)間為，故選B. 2【2018屆陜西省咸陽市第二次模擬】函數零點的個數為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 3【2018屆北京市匯文實驗中學高三九月月考】函數的所有零點的和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】當時， ，解得 當時， ，解得， 則，或 則 所有零點的和等于 故選. 4【2017課標3，理11】已知函數有唯一零點，則a= A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】函數的零點滿足， 設，則， 當時，，當時，，函數 單調遞減， 當時，，函數 單調遞增， 當時，函數取得最小值， 設 ，當時，函數取得最小值 ， 【名師點睛】函數零點的應用主要表現在利用零點求參數范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數的范圍，若方程不易解或不可解，則將問題轉化為構造兩個函數，利用兩個函數圖象的關系求解，這樣會使得問題變得直觀、簡單，這也體現了數形結合思想的應用. 5【2018屆（衡水金卷）一】已知函數，若恰有兩個零點， （），則有（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】當時， ；當時， ；作圖如下： ，因此 ，綜上， ，選D. 點睛：涉及函數的零點問題、方程解的個數問題、函數圖像交點個數問題，一般先通過導數研究函數的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等，再借助函數的大致圖象判斷零點、方程根、交點的情況，歸根到底還是研究函數的性質，如單調性、極值，然后通過數形結合的思想找到解題的思路. 6【2018屆海南省高三第二次聯合考】已知為偶函數，對任意， 恒成立，且當時， .設函數，則的零點的個數為（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 7【2018屆貴州省凱里市第一中學高三下學期《黃金卷》第二套】已知偶函數，且，則函數在區(qū)間的零點個數為（ ） A. 2020 B. 2016 C. 1010 D. 1008 【答案】A 【解析】 依題意，當時， 對稱軸為， 由可知，函數的周期 令，可得 求函數的零點個數，即求偶函數與函數圖象交點個數 當時，函數與函數圖象有個交點 故選. 8【2018屆安徽省宣城市高三第二次調研】已知，關于的方程 ()有四個不同的實數根，則（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由題意得. 當時， 恒成立，即函數在上為增函數. 當時， ，令，得，即函數在上為減函數，令，得，即函數在上為增函數. ∴函數在上有一個最大值為 令，要使方程 ()有四個不同的實數根，則方程應 故選D. 點睛：函數的零點或方程的根的問題，一般以含參數的三次式、分式、以為底的指數式或對數式及三角函數式結構的函數零點或方程根的形式出現，一般有下列兩種考查形式： (1)確定函數零點、圖象交點及方程根的個數問題； (2)應用函數零點、圖象交點及方程解的存在情況，求參數的值或取值范圍問題． 研究方程根的情況，可以通過導數研究函數的單調性、最值、函數的變化趨勢等，根據題目要求，通過數形結合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現，同時在解題過程中要注意轉化與化歸、函數與方程、分類討論思想的應用． 9【2018屆河北省定州中學高三下學期第一次月考】已知函數，則函數 的零點個數為（ ） A. 8 B. 7 C. 6 D. 5 【答案】C 【解析】令f（x）=t可得f（t）=t+1． 作出f（x）的函數圖象如圖所示： 設直線y=kx+1與y=ex相切，切點為（x0，y0），則, 解得x0=0，k=1． 設直線y=kx+1與y=lnx相切，切點為（x1，y1），則, 故選：C． 10【2018高三二輪復習之測試專項】已知函數，關于的方程有四個不同的實數解，則的取值范圍為__________． 【答案】 【解析】作出的圖象如下： 【名師點睛】一般討論函數零點個數問題，都要轉化為方程根的個數問題或兩個函數圖像交點的個數問題，本題由于涉及函數為初等函數，可以考慮函數圖像來解決，轉化為過定點的直線與拋物線變形圖形的交點問題，對函數圖像處理能力要求較高. 11【2018屆河北省石家莊市高三一?！恳阎瘮担?，若函數有三個不同的零點，，（其中），則的取值范圍為__________． 【答案】 【解析】如圖： ，，作出函數圖象如圖所示 ，，作出函數圖象如圖所示 ，由有三個不同的零點 ，如圖 令 得 12【2018屆重慶市高三4月（二診）】已知函數（，）． （1）若在上單調遞減，求的取值范圍； （2）當時，判斷關于的方程的解的個數． 【答案】（1）；（2）只有一個解. 【解析】試題分析： （1）根據在恒成立求解即可，求解時可選用分離參數的方法．（2）由題意可得即判斷方程根的個數，令，利用導數可得存在，使得 時 單調遞減，當 時單調遞增，又，→時，→，結合圖象可得當，時，方程有一個解，即方程只有一個解． 試題解析： （1）∵， ∴， 由題意得在恒成立， 即在恒成立， 設， 則， ∴在上單調遞增，在上單調遞減， 令， 則， 令， 則， ∴在上單調遞減，在上單調遞增， ∴， 又，， ∴存在，使得 時， 單調遞減； 【名師點睛】利用導數研究方程根的方法：研究方程根的情況，可以通過導數研究函數的單調性、最大值、最小值、變化趨勢等，根據題目要求，畫出函數圖象的走勢規(guī)律，標明函數極(最)值的位置，通過數形結合的思想去分析問題，這樣可以使得問題的求解有一個直觀的整體展現．