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專題04 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義
一、基礎(chǔ)過關(guān)題
1.（2018全國卷III）曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為，則________．
【答案】
【解析】，則，
所以.
2．(2016四川)已知a為函數(shù)f(x)＝x3－12x的極小值點(diǎn)，則a等于( )
A．－4 B．－2 C．4 D．2
【答案】 D
3．(2017哈爾濱調(diào)研)函數(shù)f(x)＝x2－ln x的最小值為( )
A. B．1 C．0 D．不存在
【答案】 A
【解析】 f′(x)＝x－＝且x>0.
令f′(x)>0，得x>1.
令f′(x)<0，得0
0)，若函數(shù)f(x)在x＝1處與直線y＝－相切．
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)求函數(shù)f(x)在[，e]上的最大值．
【答案】 (1) (2) f(x)max＝f(1)＝－.
二、能力提高題
1．(2016郴州模擬)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足：f(x)＋f′(x)>1，f(0)＝4，則不等式exf(x)>ex＋3(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))的解集為________________．
【答案】 (0，＋∞)
【解析】 設(shè)g(x)＝exf(x)－ex(x∈R)，
則g′(x)＝exf(x)＋exf′(x)－ex＝ex[f(x)＋f′(x)－1]，
∵f(x)＋f′(x)>1，∴f(x)＋f′(x)－1>0，
∴g′(x)>0，∴y＝g(x)在定義域上單調(diào)遞增，
∵exf(x)>ex＋3，∴g(x)>3，
又∵g(0)＝e0f(0)－e0＝4－1＝3，
∴g(x)>g(0)，∴x>0.
2．已知函數(shù)f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零點(diǎn)x0且x0>0，則a的取值范圍是________．
【答案】 (－∞，－2)
3．(2016蘭州模擬)已知定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，滿足f′(x)0，故選B.
4．(2017合肥質(zhì)檢)直線x＝t分別與函數(shù)f(x)＝ex＋1的圖象及g(x)＝2x－1的圖象相交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，則AB的最小值為( )
A．2 B．3
C．4－2ln 2 D．3－2ln 2
【答案】 C
【解析】 由題意得，AB＝|ex＋1－(2x－1)|＝|ex－2x＋2|，令h(x)＝ex－2x＋2，
則h′(x)＝ex－2，所以h(x)在(－∞，ln 2)上單調(diào)遞減，
在(ln 2，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以h(x)min＝h(ln 2)＝4－2ln 2>0，
即AB的最小值是4－2ln 2，故選C.
5．(2015課標(biāo)全國Ⅱ)設(shè)函數(shù)f′(x)是奇函數(shù)f(x)(x∈R)的導(dǎo)函數(shù)，f(－1)＝0，當(dāng)x>0時，xf′(x)－f(x)＜0，則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是( )
A．(－∞，－1)∪(0,1)
B．(－1,0)∪(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(－1,0)
D．(0,1)∪(1，＋∞)
【答案】 A
6．已知函數(shù)f(x)＝若|f(x)|≥ax，則a的取值范圍是( )
A．(－∞，0] B．(－∞，1]
C．[－2,1] D．[－2,0]
【答案】 D
【解析】 |f(x)|≥ax?成立．
①由(1)得x(x－2)≥ax在區(qū)間(－∞，0]上恒成立．
當(dāng)x＝0時，a∈R；
當(dāng)x<0時，有x－2≤a恒成立，
所以a≥－2.故a≥－2.
7．(2016東北師大附中、吉林一中等五校聯(lián)考)已知函數(shù)f (x)＝ex＋ax－a(a∈R且a≠0)．
(1)若f(0)＝2，求實(shí)數(shù)a的值，并求此時f(x)在[－2,1]上的最小值；
(2)若函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【答案】(1) 最小值2. (2) 實(shí)數(shù)a的取值范圍是－e20.
①當(dāng)a>0時，f′(x)>0，f(x)是增函數(shù)，
當(dāng)x>1時，f(x)＝ex＋a(x－1)>0.
當(dāng)x<0時，取x＝－，則f(－)<1＋a(－－1)＝－a<0.
所以函數(shù)f(x)存在零點(diǎn)，不滿足題意．
②當(dāng)a<0時，f′(x)＝ex＋a，
令f′(x)＝0，得x＝ln(－a)．
在(－∞，ln(－a))上，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，
在(ln (－a)，＋∞)上，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，
所以當(dāng)x＝ln(－a)時，f(x)取最小值．
函數(shù)f(x)不存在零點(diǎn)，等價于f(ln(－a))＝eln(－a)＋aln(－a)－a＝－2a＋aln(－a)>0，
解得－e20），
則年總產(chǎn)值為4k800（4sinθcosθ+cosθ）+3k1600（cosθ–sinθcosθ）
=8000k（sinθcosθ+cosθ），θ∈[θ0，）．
設(shè)f（θ）= sinθcosθ+cosθ，θ∈[θ0，），
則．
令，得θ=，
當(dāng)θ∈（θ0，）時，，所以f（θ）為增函數(shù)；
當(dāng)θ∈（，）時，，所以f（θ）為減函數(shù)，
因此，當(dāng)θ=時，f（θ）取到最大值．
答：當(dāng)θ=時，能使甲、乙兩種蔬菜的年總產(chǎn)值最大．
點(diǎn)評．本小題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、用導(dǎo)數(shù)求最值等基礎(chǔ)知識，考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運(yùn)用數(shù)學(xué)知識分析和解決實(shí)際問題的能力．
9．（2018江蘇高考19）
記分別為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．若存在，滿足且，則稱為函數(shù)與的一個“S點(diǎn)”．
（1）證明：函數(shù)與不存在“S點(diǎn)”；
（2）若函數(shù)與存在“S點(diǎn)”，求實(shí)數(shù)a的值；
（3）已知函數(shù)，．對任意，判斷是否存在，使函數(shù)與在區(qū)間內(nèi)存在“S點(diǎn)”，并說明理由．
【解析】（1）函數(shù)f（x）=x，g（x）=x2+2x-2，則f′（x）=1，g′（x）=2x+2．
由f（x）=g（x）且f′（x）= g′（x），得
，此方程組無解，
因此，f（x）與g（x）不存在“S”點(diǎn)．
（3）對任意a>0，設(shè)．
因?yàn)?，且h（x）的圖象是不間斷的，
所以存在∈（0，1），使得，令，則b>0．
函數(shù)，
則．
由f（x）=g（x）且f′（x）=g′（x），得
，即（**）
此時，滿足方程組（**），即是函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)的一個“S點(diǎn)”．
因此，對任意a>0，存在b>0，使函數(shù)f（x）與g（x）在區(qū)間（0，+∞）內(nèi)存在“S點(diǎn)”．
點(diǎn)評：本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究初等函數(shù)的性質(zhì)，考查綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法分析與解決問題以及邏輯推理能力．
10（2018全國高考I卷21）已知函數(shù)．
（1）討論的單調(diào)性；
（2）若存在兩個極值點(diǎn)，證明：．
（2）由（1）知，存在兩個極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng).
由于的兩個極值點(diǎn)滿足，所以，不妨設(shè)，則.由于
，
所以等價于.
設(shè)函數(shù)，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時，.
所以，即.
11、（2018高考北京卷18）設(shè)函數(shù)=[]．
（Ⅰ）若曲線y= f（x）在點(diǎn)（1，）處的切線與軸平行，求a；
（Ⅱ）若在x=2處取得極小值，求a的取值范圍．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得f ′（x）=［ax2–（2a+1）x+2］ex=（ax–1）(x–2)ex．
若a>，則當(dāng)x∈(，2)時，f ′(x)<0；
當(dāng)x∈(2，+∞)時，f ′(x)>0．
所以f (x)<0在x=2處取得極小值．
若a≤，則當(dāng)x∈(0，2)時，x–2<0，ax–1≤x–1<0，
所以f ′(x)>0．
所以2不是f (x)的極小值點(diǎn)．
綜上可知，a的取值范圍是（，+∞）．
12．（2018高考浙江卷22）已知函數(shù)f(x)=?lnx．
（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：f(x1)+f(x2)>8?8ln2；
（Ⅱ）若a≤3?4ln2，證明：對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f(x)有唯一公共點(diǎn)．
所以
x
（0，16）
16
（16，+∞）
-
0
+
2-4ln2
所以g（x）在[256，+∞）上單調(diào)遞增，
故，
即．
（Ⅱ）令m=，n=，則
f（m）–km–a>|a|+k–k–a≥0，
f（n）–kn–a<≤<0，
所以，存在x0∈（m，n）使f（x0）=kx0+a，
所以，對于任意的a∈R及k∈（0，+∞），直線y=kx+a與曲線y=f（x）有公共點(diǎn)．
由f（x）=kx+a得．
設(shè)h（x）=，
則h′（x）=，
其中g(shù)（x）=．
由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2，
故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0，
所以h′（x）≤0，即函數(shù)h（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，因此方程f（x）–kx–a=0至多1個實(shí)根．
綜上，當(dāng)a≤3–4ln2時，對于任意k>0，直線y=kx+a與曲線y=f（x）有唯一公共點(diǎn)．
點(diǎn)評．本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及其應(yīng)用，同時考查邏輯思維能力和綜合應(yīng)用能力。
2019年高考數(shù)學(xué) 25個必考點(diǎn) 專題04 導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算及幾何意義檢測.doc
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