《2019年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題30 復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算檢測 理.doc》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 專題30 復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算檢測 理.doc（17頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

專題30 復(fù)數(shù)的概念及運(yùn)算 本專題特別注意： 1.復(fù)數(shù)四則運(yùn)算 2. 復(fù)數(shù)加減的幾何意義 3. 復(fù)數(shù)與數(shù)列的綜合 4.復(fù)數(shù)與二項(xiàng)式定理的綜合問題 5. 復(fù)數(shù)的模和共軛復(fù)數(shù)問題 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．理解復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，掌握復(fù)數(shù)相等的充要條件，并會(huì)應(yīng)用． 2．了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的表示方法，能進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的四則運(yùn)算． 3．了解復(fù)數(shù)代數(shù)形式的幾何意義及復(fù)數(shù)的加、減法的幾何意義，會(huì)簡單應(yīng)用． 【方法總結(jié)】 1.設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，利用復(fù)數(shù)相等的充要條件轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題是求解復(fù)數(shù)常用的方法. 2.實(shí)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是它本身，兩個(gè)純虛數(shù)的積是實(shí)數(shù). 3.復(fù)數(shù)問題幾何化，利用復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的模、復(fù)數(shù)運(yùn)算的幾何意義，轉(zhuǎn)化條件和結(jié)論，有效利用數(shù)和形的結(jié)合，取得事半功倍的效果. 【高考模擬】 一、單選題 1．已知，其中是虛數(shù)單位，是復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 化簡原式，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)，求得復(fù)數(shù)，從而可得結(jié)果. 【詳解】 ， ，故選C. 【點(diǎn)睛】 復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯(cuò)，造成不必要的失分. 2．已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 將復(fù)數(shù)的分子分母同乘以1+i，利用多項(xiàng)式的乘法分子展開，求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)． 【點(diǎn)睛】 本題考查復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義，復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)． 3．（2017太原市一模）已知是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用復(fù)數(shù)的除法計(jì)算后取所得結(jié)果的共軛即可. 【詳解】 ，故所求共軛復(fù)數(shù)為，故選A. 【點(diǎn)睛】 本題考察復(fù)數(shù)的概念及其運(yùn)算，是基礎(chǔ)題. 4．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則下列命題為真命題的是（ ） A． 的共軛復(fù)數(shù)為 B． 的虛部為-1 C． 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限 D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先化簡復(fù)數(shù)z,再判斷每一個(gè)選項(xiàng)的真假. 【點(diǎn)睛】 (1)本題主要考查復(fù)數(shù)的計(jì)算，考查復(fù)數(shù)的幾何意義、實(shí)部虛部和模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2) 復(fù)數(shù)的實(shí)部是a,虛部為b，不是bi. 5．歐拉公式 (為虛數(shù)本位）是瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，將指數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)集，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)的模為( ) A． B． C． 1 D． 【答案】C 【解析】 【分析】 直接由題意可得=cos+isin，再由復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式得答案． 【詳解】 由題意，=cos+isin， ∴表示的復(fù)數(shù)的模為． 故選：C． 【點(diǎn)睛】 本題以歐拉公式為背景，考查利用新定義解決問題的能力，考查了復(fù)數(shù)模的求法，屬于基礎(chǔ)題． 6．若在復(fù)平面內(nèi)，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ） A． 12 B． 5 C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 先求復(fù)數(shù)z,再求復(fù)數(shù)，再求它的虛部. 【詳解】 【點(diǎn)睛】 (1)本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和復(fù)數(shù)的虛部概念，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2) 復(fù)數(shù)的實(shí)部是a,虛部為b，不是bi. 7．讀了高中才知道，數(shù)絕對(duì)不止1,2,3啊，比如還有這種奇葩數(shù)，他的平方居然是負(fù)數(shù)！那么復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】 運(yùn)用復(fù)數(shù)除法法則運(yùn)算得到結(jié)果 【詳解】 由題意得， 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為在第一象限， 故選 【點(diǎn)睛】 本題考查了復(fù)數(shù)的幾何意義，根據(jù)復(fù)數(shù)除法法則進(jìn)行運(yùn)算化成的形式即可得到答案 8．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)是的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)，則下面說法正確的是（ ） A． 在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)落在第四象限 B． C． 的虛部為1 D． 【答案】C 【解析】 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得復(fù)數(shù)=2i﹣2，再根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義、虛部的定義、模的運(yùn)算性質(zhì)即可得出． 【詳解】 故選：C． 【點(diǎn)睛】 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)的幾何意義、虛部的定義、模的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 9．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則（ ） A． 3 B． C． 9 D． 10 【答案】A 【解析】 【分析】 利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)、模的計(jì)算公式即可得出． 【詳解】 【點(diǎn)睛】 本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)、模的計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題． 10．復(fù)數(shù)等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 化簡分式，分子、分母分別平方，再按照復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則化簡可得結(jié)果. 【詳解】 ，故選：C 【點(diǎn)睛】 本題主要考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算，是基礎(chǔ)題． 11．設(shè)為復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)，則（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 先求出，從而求出的值即可. 【詳解】 ， 共軛復(fù)數(shù)， 則. 故選：A. 【點(diǎn)睛】 本題考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及共軛復(fù)數(shù)，是一道基礎(chǔ)題. 12．為虛數(shù)單位，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析：由復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算性質(zhì),可得，其中為自然數(shù)， 則，即可求解答案. 點(diǎn)睛：本題主要考查了虛數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，其中熟記虛數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，利用乘公比錯(cuò)誤相減法求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力. 13．歐拉公式（為虛數(shù)單位）是由瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，他將指數(shù)函數(shù)的定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可知，表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于（ ） A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限 【答案】B 【解析】分析：由歐拉公式，可得，結(jié)合三角函數(shù)值的符號(hào)，即可得出結(jié)論. 詳解：由歐拉公式，可得， 因?yàn)椋? 所以表示的復(fù)數(shù)在復(fù)平面中位于第二象限，故選B. 點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第幾象限的問題，在解題的過程中，首先應(yīng)用歐拉公式將復(fù)數(shù)表示出來，之后借助于三角函數(shù)值的符號(hào)求得結(jié)果. 14．下列3個(gè)命題： ①若，，則； ②若是純虛數(shù)，則； ③若，且，則. 其中真命題的個(gè)數(shù)是（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 【答案】B 【解析】分析：通過舉反例可判斷①錯(cuò)誤，由復(fù)數(shù)的乘法法則判斷②正確，由復(fù)數(shù)的概念可判斷③錯(cuò)誤. 點(diǎn)睛：本題以命題的真假判斷為載體考查了復(fù)數(shù)的基本概念和性質(zhì)，特殊值排除法?？捎糜诖祟悊栴}的求解. 15．對(duì)于任意的兩個(gè)數(shù)對(duì)和，定義運(yùn)算，若，則復(fù)數(shù)為 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析：利用定義，列出方程表示出，分子、分母同時(shí)乘以得到的值． 詳解：因?yàn)椋? 又 所以 所以 故選：D． 點(diǎn)睛：本題是新定義的問題，解題的關(guān)鍵是理解新定義，將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的問題來解決． 16．已知復(fù)數(shù)滿足,則等于( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析：由題可知，表示平行四邊形的相鄰兩邊，表示平行四邊形的一條對(duì)角線，求另一條一條對(duì)角線的長. 點(diǎn)睛：本題考查復(fù)數(shù)加減法的幾何意義，余弦定理等，屬中檔題. 17．定義運(yùn)算，若復(fù)數(shù)滿足，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析：先根據(jù)定義運(yùn)算化簡求出復(fù)數(shù)z,再求 詳解：由題得iz+z=-2,所以（1+i）z=-2,所以， 所以，故答案為：D. 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握水平.(2) 復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù) 18．歐拉公式(為虛數(shù)單位)，是由著名數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)明的，他將指數(shù)函數(shù)定義域擴(kuò)大到復(fù)數(shù)，建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，它在復(fù)變函數(shù)論里占有非常重要的地位，被譽(yù)為“數(shù)學(xué)中的天橋”.根據(jù)歐拉公式，若將表示的復(fù)數(shù)記為，則的值為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析：由歐拉公式可求得，再由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡得結(jié)論. 詳解：， ，故選A. 點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯(cuò)，造成不必要的失分. 19．對(duì)于復(fù)數(shù)，給出下列三個(gè)運(yùn)算式子：（1），（2），（3）.其中正確的個(gè)數(shù)是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可得（1）正確；根據(jù)復(fù)數(shù)模的公式計(jì)算可得到（2）正確；根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運(yùn)算法則可判斷（3）正確，從而可得結(jié)果. 點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)模的公式、復(fù)數(shù)的幾何意義、復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則，意在考查基礎(chǔ)知識(shí)掌握的熟練程度，以及綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題的能力，屬于難題. 20．為虛數(shù)單位，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析：由復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算得到， 即，即可求解答案. 詳解：由復(fù)數(shù)的運(yùn)算可知，， 則， 所以， 故選C. 點(diǎn)睛：本題主要考查了虛數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，其中熟記虛數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，得到式子的計(jì)算規(guī)律是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力. 21．（1）設(shè)集合，，，且，求實(shí)數(shù)的取值范圍. （2）設(shè)，是兩個(gè)復(fù)數(shù)，已知，，且是純虛數(shù)，求. 【答案】(1) . （2）或. 【解析】 【分析】 （1）移項(xiàng)通分，直接利用分式不等式的解法化簡集合，然后對(duì)分三種情況討論，分別利用包含關(guān)系列不等式求解即可；（2）設(shè)，由，可得，由是純虛數(shù)，可得，聯(lián)立求解即可的結(jié)果. 【詳解】 （2）解：設(shè)，∵，∴ +b2=2√2， 即，① 又，且是純虛數(shù)， ∴②， 由①②得，. ∴或. 【點(diǎn)睛】 本題主要考查集合的子集，以及復(fù)數(shù)的基本運(yùn)算與基本概念，屬于中檔題. 復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯(cuò)，造成不必要的失分. 22．已知 【答案】 【解析】 【分析】 把z1、z2代入關(guān)系式，化簡即可 【詳解】 【點(diǎn)睛】 復(fù)數(shù)的運(yùn)算，難點(diǎn)是乘除法法則，設(shè)， 則， . 23．已知復(fù)數(shù)其中i為虛數(shù)單位． Ⅰ當(dāng)實(shí)數(shù)m取何值時(shí)，復(fù)數(shù)z是純虛數(shù)； Ⅱ若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 【答案】（1） （2） 【解析】分析：， 利用純虛數(shù)的定義，由，解出即可得出． 利用復(fù)數(shù)的幾何意義，由題意得，解出即可得出． 點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的有關(guān)知識(shí)、不等式的解法、幾何意義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 24．已知復(fù)數(shù)滿足: 求的值 【答案】 【解析】分析：利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、模的計(jì)算公式、復(fù)數(shù)相等即可得出. 詳解： 設(shè)，而即 則 點(diǎn)睛：本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、復(fù)數(shù)相等，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題,復(fù)數(shù)問題高考必考，常見考點(diǎn)有：點(diǎn)坐標(biāo)和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，點(diǎn)的象限和復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)的加減乘除運(yùn)算，復(fù)數(shù)的模長的計(jì)算. 25．已知，，為實(shí)數(shù). （1）若，求； （2）若，求實(shí)數(shù)，的值. 【答案】（1）；（2）-3，2 【解析】分析：（1）利用復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算法則以及共軛復(fù)數(shù)的定義化簡，利用復(fù)數(shù)模的公式求解即可；（2）利用復(fù)數(shù)除法的運(yùn)算法則將，化為，由復(fù)數(shù)相等的性質(zhì)可得，從而可得結(jié)果. 點(diǎn)睛：復(fù)數(shù)是高考中的必考知識(shí)，主要考查復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)的運(yùn)算．要注意對(duì)實(shí)部、虛部的理解，掌握純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)這些重要概念，復(fù)數(shù)的運(yùn)算主要考查除法運(yùn)算，通過分母實(shí)數(shù)化轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)的乘法，運(yùn)算時(shí)特別要注意多項(xiàng)式相乘后的化簡，防止簡單問題出錯(cuò)，造成不必要的失分 26．已知復(fù)數(shù).實(shí)數(shù)取什么值時(shí)，是 （1）實(shí)數(shù)？ （2）虛數(shù)？ （3）純虛數(shù)？ 【答案】(1) 當(dāng)時(shí)，為實(shí)數(shù). (2) 當(dāng) 時(shí)，為虛數(shù). (3) 不存在實(shí)數(shù)使得為純虛數(shù). 【解析】分析：根據(jù)復(fù)數(shù)的有關(guān)概念建立等量關(guān)系關(guān)系即可． 詳解：（1）若復(fù)數(shù)是實(shí)數(shù)則， 即，即a=6． 點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的有關(guān)概念，根據(jù)實(shí)部和虛部的對(duì)應(yīng)關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵． 27．設(shè)為虛數(shù)單位，為正整數(shù)， （1）證明：； （2），利用（1）的結(jié)論計(jì)算。 【答案】(1)證明見解析. (2) . 【解析】分析：（1）利用數(shù)學(xué)歸納法先證明，先證明當(dāng)時(shí)成立，假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立，只需證明當(dāng)時(shí)，命題也成立，證明過程注意三角函數(shù)和差公式的應(yīng)用；（2）由（1）結(jié)論得 ，結(jié)合誘導(dǎo)公式與特殊角的三角函數(shù)可得結(jié)果. 詳解：（1）1當(dāng)時(shí)， 左邊，右邊， 所以命題成立 2假設(shè)當(dāng)時(shí)，命題成立， 即， 則當(dāng)時(shí)， 所以，當(dāng)時(shí)，命題也成立 綜上所述，（為正整數(shù)）成立 （2） 由（1）結(jié)論得 點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算、誘導(dǎo)公式、特殊角的三角函數(shù)、歸納推理的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)歸納法證明，屬于中檔題.利用數(shù)學(xué)歸納法證明結(jié)論的步驟是:(1)驗(yàn)證時(shí)結(jié)論成立；（2）假設(shè)時(shí)結(jié)論正確，證明時(shí)結(jié)論正確（證明過程一定要用假設(shè)結(jié)論）；（3）得出結(jié)論. 28．已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位，）. （1）若是實(shí)數(shù)，求的值； （2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，求的取值范圍. 【答案】(1) (2) 【解析】分析：（1）由復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則可得.據(jù)此得到關(guān)于實(shí)數(shù)m的方程組，解得. （2）結(jié)合(1)中的結(jié)果得到關(guān)于m的不等式組，求解不等式組可知. 點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，已知復(fù)數(shù)的類型求參數(shù)的方法等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 29．如果，求實(shí)數(shù)的值. 【答案】 【解析】分析：由復(fù)數(shù)相等的充分必要條件得到關(guān)于x,y的方程組，求解方程組可得. 詳解：由題意得，解得.x 點(diǎn)睛：本題主要考查復(fù)數(shù)相等的充分必要條件及其應(yīng)用等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力. 三、填空題 30．設(shè)是一元二次方程的兩個(gè)虛根，若，則實(shí)數(shù)____________. 【答案】4. 【解析】 【分析】 求出方程的兩個(gè)虛根，計(jì)算它們的乘積的?？傻玫闹? 【詳解】 【點(diǎn)睛】 對(duì)于實(shí)系數(shù)的一元二次方程，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)虛根且它們是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)滿足.