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2019-2020年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期末考試試題 (III) 　 一、選擇題（共10小題，每小題分，滿分50分） 1．若實(shí)數(shù)a，b，c，d滿足a＞b，c＞d，則下列不等式成立的是（　?。? 　 A． a﹣c＞b﹣d B． a+c＞b+d C． ac＞bd D． ＞ 2．已知直線ax+2y+2=0與3x﹣y﹣2=0平行，則系數(shù)a=（　?。? 　 A． ﹣3 B． ﹣6 C． D． 3．正方體ABCD﹣A1B1C1D1中AB的中點(diǎn)為M，DD1的中點(diǎn)為N，則異面直線B1M與CN所成的角是（　?。? 　 A． 0 B． 45 C． 60 D． 90 4．在等差數(shù)列{an}中，若a3+a7=10，則等差數(shù)列{an}的前9項(xiàng)和S9等于（　　） 　 A． 45 B． 48 C． 54 D． 108 5．圓x2+y2=1和圓x2+y2﹣6y+5=0的位置關(guān)系是（　?。? 　 A． 外切 B． 內(nèi)切 C． 外離 D． 內(nèi)含 6．不等式x（2﹣x）≤0的解集為（　?。? 　 A． {x|0≤x≤2} B． {x|x≤0，或x≥2} C． {x|x≤2} D． {x|x≥0} 7．把邊長(zhǎng)為1的正方形ABCD沿對(duì)角線BD折起，形成的三棱錐C﹣ABD的主視圖與俯視圖如圖所示，則左視圖的面積為（　　） 　 A． B． C． D． 　 8．設(shè)甲、乙兩樓相距20m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0，則甲、乙兩樓的高分別是（　?。? 　 A． 20m，m B． 10m，20m C． 10（﹣）m，20m D． m，m 　 9．如圖，在三棱錐S﹣ABC中，底面是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，側(cè)棱長(zhǎng)均為2，SO⊥底面ABC，O為垂足，則側(cè)棱SA與底面ABC所成角的余弦值為（　?。? 　 A． B． C． D． 　 10．已知x＞0，y＞0，且是3x與33y的等比中項(xiàng)，則+的最小值是（　?。? 　 A． 2 B． 2 C． 4 D． 2 　 二、填空題（共5小題，每小題5分，滿分25分） 11．已知Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若Sn=2n﹣1，則a1=　_________　． 　 12．△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中a=4，b=4，∠A=30，∠B=　_________　． 　 13．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=，若前n項(xiàng)和為6，則n=　_________?。? 　 14．若實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組，則z=2x﹣4y的最小值是　_________?。? 　 15．如圖，在四棱錐S﹣ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，SD⊥底面ABCD，且SD=，則平面BSC與底面ABCD所成銳二面角的大小為　_________?。? 　 三、解答題（共6小題，滿分75分） 16．（12分）已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)是A（4，0），B（6，6），C（0，2）． （1）求AB邊上的高所在直線的方程； （2）求AC邊上的中線所在直線的方程． 　 17．（12分）在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知b=3，c=8，角A為銳角，△ABC的面積為6． （1）求角A的大?。? （2）求a的值． 　 18．（12分）已知以點(diǎn)C（1，﹣2）為圓心的圓與直線x+y﹣1=0相切． （1）求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）求過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)P（2，﹣）的最短弦所在直線的方程． 　 19．（12分）某企業(yè)要建造一個(gè)容積為18m3，深為2m的長(zhǎng)方體形無(wú)蓋貯水池，如果池底和池壁每平方米的造價(jià)分別為200元和150元，怎樣設(shè)計(jì)該水池可使得能總造價(jià)最低？最低總造價(jià)為多少？ 　 20．（13分）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，且△ABC為正三角形，AA1=AB=6，D為AC的中點(diǎn)． （1）求證：直線AB1∥平面BC1D； （2）求證：平面BC1D⊥平面ACC1A； （3）求三棱錐C﹣BC1D的體積． 　 21．（14分）已知單調(diào)遞增的等比數(shù)列{an}滿足a1+a2+a3=14，且a2+1是a1，a3的等差中項(xiàng)． （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）若bn=anlog2an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn； （3）若存在n∈N*，使得Sn+1﹣2≤8n3λ成立，求實(shí)數(shù)λ的最小值． 　  三、解答題（共6小題，滿分75分） 16． 解：（1）∵A（4，0），B（6，6），C（0，2）， ∴=3，∴AB邊上的高所在直線的斜率k=﹣， ∴AB邊上的高所在直線的方程為y﹣2=﹣， 整理，得x+3y﹣6=0． （2）∵AC邊的中點(diǎn)為（2，1）， ∴AC邊上的中線所在的直線方程為， 整理，得5x﹣4y﹣5=0． 17． 解：（1）∵S△ABC=bcsinA=38sinA=6， ∴sinA=， ∵A為銳角， ∴A=． （2）由余弦定理知a===7． 18． 解：（1）圓的半徑r==， 所以圓的方程為（x﹣1）2+（y+2）2=2． （2）圓的圓心坐標(biāo)為C（1，﹣2），則過(guò)P點(diǎn)的直徑所在直線的斜率為﹣， 由于過(guò)P點(diǎn)的最短弦所在直線與過(guò)P點(diǎn)的直徑垂直 ∴過(guò)P點(diǎn)的最短弦所在直線的斜率為2， ∴過(guò)P點(diǎn)的最短弦所在直線的方程y+=2（x﹣2），即4x﹣2y﹣13=0． 19． 解：設(shè)底面的長(zhǎng)為xm，寬為ym，水池總造價(jià)為z元， 則由容積為18m3，可得：2xy=16，因此xy=9， z=2009+150（22x+22y）=1800+600（x+y）≥1800+600?2=5400 當(dāng)且僅當(dāng)x=y=3時(shí)，取等號(hào)． 所以，將水池的地面設(shè)計(jì)成邊長(zhǎng)為3m的正方形時(shí)總造價(jià)最低，最低總造價(jià)為5400元． 20． （1）證明：連接B1C交BC1于點(diǎn)O，連接OD，則點(diǎn)O為B1C的中點(diǎn)． ∵D為AC中點(diǎn)，得DO為△AB1C中位線， ∴A1B∥OD． ∵OD?平面AB1C，A1B?平面AB1C， ∴直線AB1∥平面BC1D； （2）證明：∵AA1⊥底面ABC， ∴AA1⊥BD， ∵底面ABC正三角形，D是AC的中點(diǎn) ∴BD⊥AC ∵AA1∩AC=A，∴BD⊥平面ACC1A1， ∵BD?平面BC1D，∴平面BC1D⊥平面ACC1A； （3）解：由（2）知，△ABC中，BD⊥AC，BD=BCsin60=3， ∴S△BCD==， ∴VC﹣BC1D=VC1﹣BCD=??6=9． 21． 解：（1）設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， ∵a1+a2+a3=14，且a2+1是a1，a3的等差中項(xiàng)， ∴， 解得q=2，a1=2，或q=，a1=8（舍） ∴an=2n． （2）bn=anlog2an=n?2n， ∴，① 2Sn=122+223+324+…+n2n+1，② ①﹣②，得 =， ∴． （3）由（2）知， 原問(wèn)題等價(jià)于：存在n∈N*，使得成立， 令f（n）=，只需λ≥f（n）min即可， ∵f（n+1）﹣f（n）==， ∴f（n+1）﹣f（n）的正負(fù)取決于n2﹣2n﹣1=（n﹣1）2﹣2的正負(fù)， ∴f（1）＞f（2）＞f（3），f（3）＜f（4）＜… ∴f（n）min=f（3）=，即， ∴λ的最小值是．