《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 本講知識歸納與達標驗收講義（含解析）新人教A版選修4-5.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 本講知識歸納與達標驗收講義（含解析）新人教A版選修4-5.doc（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
考情分析
通過分析近三年的高考試題可以看出，不但考查用數(shù)學(xué)歸納法去證明現(xiàn)成的結(jié)論，還考查用數(shù)學(xué)歸納法證明新發(fā)現(xiàn)的結(jié)論的正確性．
數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用主要出現(xiàn)在數(shù)列解答題中，一般是先根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項，通過觀察項與項數(shù)的關(guān)系，猜想出數(shù)列的通項公式，再用數(shù)學(xué)歸納法進行證明，初步形成“觀察—歸納—猜想—證明”的思維模式；利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時，要注意放縮法的應(yīng)用，放縮的方向應(yīng)朝著結(jié)論的方向進行，可通過變化分子或分母，通過裂項相消等方法達到證明的目的．
真題體驗
1．(2017浙江高考)已知數(shù)列{xn}滿足：x1＝1，xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)(n∈N＋)．
證明：當n∈N＋時，
(1)0
0.
當n＝1時，x1＝1>0.
假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時，xk>0，
那么n＝k＋1時，若xk＋1≤0，
則00.
因此xn>0(n∈N＋)．
所以xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)>xn＋1.
因此00(x>0)，
所以函數(shù)f(x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞增，
所以f(x)≥f(0)＝0，
因此x－2xn＋1＋(xn＋1＋2)ln(1＋xn＋1)＝f(xn＋1)≥0，
故2xn＋1－xn≤(n∈N＋)．
(3)因為xn＝xn＋1＋ln(1＋xn＋1)≤xn＋1＋xn＋1＝2xn＋1，
所以xn≥.
由≥2xn＋1－xn得－≥2>0，
所以－≥2≥…≥2n－1＝
2n－2，
故xn≤.
綜上，≤xn≤(n∈N＋)．
2．(2015安徽高考)數(shù)列{xn}滿足x1＝0，xn＋1＝－x＋xn＋c(n∈N＋)．
(1)證明：{xn}是遞減數(shù)列的充分必要條件是c＜0；
(2)求c的取值范圍，使{xn}是遞增數(shù)列．
解：(1)證明：先證充分性，若c＜0，由于xn＋1＝－x＋xn＋c≤xn＋c＜xn，故{xn}是遞減數(shù)列；
再證必要性，若{xn}是遞減數(shù)列，則由x2＜x1，可得c＜0.
(2)(i)假設(shè){xn}是遞增數(shù)列．
由x1＝0，得x2＝c，x3＝－c2＋2c.
由x1＜x2＜x3，得0＜c＜1.
由xn＜xn＋1＝－x＋xn＋c知，
對任意n≥1都有xn＜，①
注意到
－xn＋1＝x－xn－c＋＝(1－－xn)(－xn)，②
由①式和②式可得1－－xn＞0，即xn＜1－.
由②式和xn≥0還可得，對任意n≥1都有
－xn＋1≤(1－)(－xn)．③
反復(fù)運用③式，得
－xn≤(1－)n－1(－x1)＜(1－)n－1.
xn＜1－和－xn＜(1－)n－1兩式相加，
知2－1＜(1－)n－1對任意n≥1成立．
根據(jù)指數(shù)函數(shù)y＝(1－)n的性質(zhì)，得2－1≤0，
c≤，故0＜c≤.
(ii)若0＜c≤，要證數(shù)列{xn}為遞增數(shù)列，
即xn＋1－xn＝－x＋c＞0.
即證xn＜對任意n≥1成立．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明當0＜c≤時，xn＜對任意n≥1成立．
(1)當n＝1時，x1＝0＜≤，結(jié)論成立．
(2)假設(shè)當n＝k(k∈N＋)時結(jié)論成立，即：xk＜.因為函數(shù)f(x)＝－x2＋x＋c在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，所以xk＋1＝f(xk)＜f()＝，這就是說當n＝k＋1時，結(jié)論也成立．
故xn＜對任意n≥1成立．
因此，xn＋1＝xn－x＋c＞xn，即{xn}是遞增數(shù)列．
由(i)(ii)知，使得數(shù)列{xn}單調(diào)遞增的c的范圍是.
歸納—猜想—證明
不完全歸納的作用在于發(fā)現(xiàn)規(guī)律，探求結(jié)論，但結(jié)論是否為真有待證明，因而數(shù)學(xué)中我們常用歸納——猜想——證明的方法來解決與正整數(shù)有關(guān)的歸納型和存在型問題．
[例1] 若不等式＋＋＋…＋>對一切正整數(shù)n都成立，求正整數(shù)a的最大值，并證明你的結(jié)論．
[解] 當n＝1時，＋＋>，即>，所以a<26，而a∈N＋，所以取a＝25.
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：
＋＋…＋>.
(1)當n＝1時，已證．
(2)假設(shè)當n＝k(k≥1，k∈N＋)時，結(jié)論成立，
即＋＋…＋>，
則當n＝k＋1時，有
＋＋…＋＋＋＋＝＋＋＋－>＋＋－，
因為＋＝>，
所以＋－>0，
所以＋＋…＋>也成立．
由(1)(2)可知，對一切n∈N＋，都有＋＋…＋>，所以a的最大值為25.
數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用
歸納法是證明有關(guān)正整數(shù)n的命題的一種方法，應(yīng)用廣泛．用數(shù)學(xué)歸納法證明一個命題必須分兩個步驟：第一步論證命題的起始正確性，是歸納的基礎(chǔ)；第二步推證命題正確性的可傳遞性，是遞推的依據(jù)．兩步缺一不可，證明步驟與格式的規(guī)范是數(shù)學(xué)歸納法的一個特征．
[例2] 設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且方程x2－anx－an＝0有一根為Sn－1(n∈N＋)．
(1)求a1，a2；
(2)猜想數(shù)列{Sn}的通項公式，并給出證明．
[解] (1)當n＝1時，方程x2－a1x－a1＝0有一根為S1－1＝a1－1，
∴(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.
當n＝2時，方程x2－a2x－a2＝0有一根為S2－1＝a1＋a2－1＝a2－，
∴2－a2－a2＝0，解得a2＝.
(2)由題意知(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1，代入上式整理得
SnSn－1－2Sn＋1＝0，解得Sn＝.
由(1)得S1＝a1＝，
S2＝a1＋a2＝＋＝.
猜想Sn＝(n∈N＋)．
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論．
①當n＝1時，結(jié)論成立．
②假設(shè)n＝k(k∈N＋，k≥1)時結(jié)論成立，即Sk＝，
當n＝k＋1時，Sk＋1＝＝＝.
即當n＝k＋1時結(jié)論成立．
由①②可知Sn＝對任意的正整數(shù)n都成立．
[例3] 用數(shù)學(xué)歸納法證明：n(n＋1)(2n＋1)能被6整除．
[證明] (1)當n＝1時，123顯然能被6整除．
(2)假設(shè)n＝k時，命題成立，
即k(k＋1)(2k＋1)＝2k3＋3k2＋k能被6整除．
當n＝k＋1時，(k＋1)(k＋2)(2k＋3)＝
2k3＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1)．
因為2k3＋3k2＋k,6(k2＋2k＋1)都能被6整除，所以2k3＋3k2＋k＋6(k2＋2k＋1)能被6整除，即當n＝k＋1時命題成立．
由(1)和(2)知，對任意n∈N＋原命題成立．
[例4] 已知數(shù)列{an}，an≥0，a1＝0，a＋an＋1－1＝a.
求證：當n∈N＋時，an0，
得ak＋1n2(n∈N＋，n≥5)成立時，第二步歸納假設(shè)的正確寫法是( )
A．假設(shè)n＝k時命題成立
B．假設(shè)n＝k(k∈N＋)時命題成立
C．假設(shè)n＝k(k≥5)時命題成立
D．假設(shè)n＝k(k>5)時命題成立
解析：選C k應(yīng)滿足k≥5，C正確．
5．數(shù)列{an}中，已知a1＝1，當n≥2時，an－an－1＝2n－1，依次計算a2，a3，a4后，猜想an的表達式是( )
A．3n－2 B．n2
C．3n－1 D．4n－3
解析：選B 計算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，可猜想an＝n2.
6．平面內(nèi)原有k條直線，它們的交點個數(shù)記為f(k)，則增加一條直線l后，它們的交點個數(shù)最多為( )
A．f(k)＋1 B．f(k)＋k
C．f(k)＋k＋1 D．kf(k)
解析：選B 第k＋1條直線與前k條直線都相交且有不同交點時，交點個數(shù)最多，此時應(yīng)比原先增加k個交點．
7．用數(shù)學(xué)歸納法證明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被8整除時，若n＝k時，命題成立，欲證當n＝k＋1時命題成立，對于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1可變形為( )
A．5634k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)
B．3434k＋1＋5252k
C．34k＋1＋52k＋1
D．25(34k＋1＋52k＋1)
解析：選A 由34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝8134k＋1＋2552k＋1＋2534k＋1－2534k＋1
＝5634k＋1＋25(34k＋1＋52k＋1)．
8．已知f(n)＝12＋22＋32＋…＋(2n)2，則f(k＋1)與f(k)的關(guān)系是( )
A．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2
B．f(k＋1)＝f(k)＋(k＋1)2
C．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋2)2
D．f(k＋1)＝f(k)＋(2k＋1)2
解析：選A f(k＋1)＝12＋22＋32＋…＋(2k)2＋(2k＋1)2＋[2(k＋1)]2＝f(k)＋(2k＋1)2＋(2k＋2)2，故選A.
9．用數(shù)學(xué)歸納法證明“當n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除”，第二步歸納假設(shè)應(yīng)該寫成( )
A．假設(shè)當n＝k(k∈N＋)時，xk＋yk能被x＋y整除
B．假設(shè)當n＝2k(k∈N＋)時，xk＋yk能被x＋y整除
C．假設(shè)當n＝2k＋1(k∈N＋)時，xk＋yk能被x＋y整除
D．假設(shè)當n＝2k－1(k∈N＋)時，xk＋yk能被x＋y整除
解析：選D 第k個奇數(shù)應(yīng)是n＝2k－1，k∈N＋.
10．已知f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命題總成立的是( )
A．若f(3)≥9成立，則當k≥1時，均有f(k)≥k2成立
B．若f(4)≥16成立，則當k≥4時，均有f(k)16＝42成立．
∴當k≥4時，有f(k)≥k2成立．
二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，滿分20分．把答案填寫在題中的橫線上)
11．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋2＋3＋4＋…＋n2＝(n∈N＋)，則n＝k＋1時，左端應(yīng)為在n＝k時的基礎(chǔ)上加上____________________．
解析：n＝k＋1時，左端＝1＋2＋3＋…＋k2＋(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.
所以增加了(k2＋1)＋…＋(k＋1)2.
答案：(k2＋1)＋…＋(k＋1)2
12．設(shè)f(n)＝…，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(n)≥3，在假設(shè)n＝k時成立后，f(k＋1)與f(k)的關(guān)系是f(k＋1)＝f(k)________________.
解析：∵f(k)＝…，
f(k＋1)＝…
∴f(k＋1)＝f(k).
答案：
13．設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2an＋2，用數(shù)學(xué)歸納法證明an＝42n－1－2的第二步中，設(shè)n＝k時結(jié)論成立，即ak＝42k－1－2，那么當n＝k＋1時，應(yīng)證明等式________成立．
答案：ak＋1＝42(k＋1)－1－2
14．在數(shù)列{an}中，a1＝1，且Sn，Sn＋1,2S1成等差數(shù)列，則S2，S3，S4分別為__________，猜想Sn＝__________.
解析：因為Sn，Sn＋1,2S1成等差數(shù)列．
所以2Sn＋1＝Sn＋2S1，又S1＝a1＝1.
所以2S2＝S1＋2S1＝3S1＝3，于是S2＝＝，
2S3＝S2＋2S1＝＋2＝，于是S3＝＝，
由此猜想Sn＝.
答案：，，
三、解答題(本大題共4個小題，滿分50分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15．(本小題滿分12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明，對于n∈N＋，都有＋＋＋…＋＝.
證明：(1)當n＝1時，左邊＝＝，右邊＝，所以等式成立．
(2)假設(shè)n＝k(k≥1，k∈N＋)時等式成立，即
＋＋＋…＋＝，
當n＝k＋1時，
＋＋＋…＋＋
＝＋
＝＝＝.
即n＝k＋1時等式成立．
由(1)(2)可知，對于任意的自然數(shù)n等式都成立．
16．(本小題滿分12分)用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式…＞均成立．
證明：(1)當n＝2時，左邊＝1＋＝，右邊＝.
∵左邊＞右邊，∴不等式成立．
(2)假設(shè)當n＝k(k≥2，且k∈N＋)時不等式成立，
即…＞.
則當n＝k＋1時，
…
＞＝
＝＞
＝＝.
∴當n＝k＋1時，不等式也成立．
由(1)(2)可知，對于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立．
17．(本小題滿分12分)如果數(shù)列{an}滿足條件：a1＝－4，an＋1＝(n＝1,2，…)，證明：對任何自然數(shù)n，都有an＋1>an且an<0.
證明：(1)由于a1＝－4，
a2＝＝＝>a1.
且a1<0，因此，當n＝1時不等式成立．
(2)假設(shè)當n＝k(k≥1)時，ak＋1>ak且ak<0，那么
ak＋1＝<0，
ak＋2－ak＋1＝－
＝>0.
這就是說，當n＝k＋1時不等式也成立，
根據(jù)(1)(2)，不等式對任何自然數(shù)n都成立．
因此，對任何自然數(shù)n，都有an＋1>an，且an＜0.
18．(本小題滿分14分)已知數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＋1＝2an＋λa＋(n∈N＋)．
(1)若λ＝μ＝1，證明數(shù)列{lg(an＋1)}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)若λ＝0，是否存在實數(shù)μ，使得an≥2對一切n∈N＋恒成立？若存在，求出μ的取值范圍；若不存在，請說明理由．
解：(1)∵λ＝μ＝1，則an＋1＝a＋2an，
∴an＋1＋1＝(an＋1)2，lg(an＋1＋1)＝2lg(an＋1)，
∴{lg(an＋1)}是公比為2的等比數(shù)列，且首項為lg 3，
∴l(xiāng)g(an＋1)＝2n－1lg 3，
∴an＋1＝32n－1，∴an＝32n－1－1(n∈N＋)．
(2)由a2＝2a1＋＝4＋≥2，得μ≥－3，
猜想μ≥－3時，對一切n∈N＋，an≥2恒成立．
①當n＝1時，a1＝2，猜想成立．
②假設(shè)當n＝k(k≥1且k∈N＋)時，ak≥2，
則由an＋1＝，得ak＋1－2＝
＝≥＝≥0，
∴n＝k＋1時，ak＋1≥2，猜想成立．
由①②可知，當μ≥－3時，對一切n∈N＋，恒有an≥2.
模塊綜合檢測
(時間：90分鐘，總分120分)
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，滿分50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．不等式|3x－2|>4的解集是( )
A．{x|x>2} B.
C. D.
解析：選C 因為|3x－2|>4，所以3x－2>4或3x－2<－4，所以x>2或x<－.
2．已知a＜0，－1＜b＜0，那么下列不等式成立的是( )
A．a(chǎn)＞ab＞ab2 B．a(chǎn)b2＞ab＞a
C．a(chǎn)b＞a＞ab2 D．a(chǎn)b＞ab2＞a
解析：選D 因為－1＜b＜0，所以b＜b2＜1.
又因為a＜0，所以ab＞ab2＞a.
3．用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60”時，反設(shè)正確的是( )
A．假設(shè)三內(nèi)角都不大于60
B．假設(shè)三內(nèi)角都大于60
C．假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60
D．假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60
解析：選B 至少有一個不大于60是指三個內(nèi)角有一個或者兩個或者三個小于或等于60，所以反設(shè)應(yīng)該是它的對立情況，即假設(shè)三內(nèi)角都大于60.
4．若a，b是任意實數(shù)，且a>b，則下列不等式一定成立的是( )
A．a(chǎn)2>b2 B.<1
C．lg(a－b)>0 D.ab，所以a0，使不等式|x－4|＋|x－3|1.
6．若關(guān)于實數(shù)x的不等式|x－1|＋|x－3|≤a2－2a－1的解集為?，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(－∞，0)∪(3，＋∞)
C．(－1,3) D．[－1,3]
解析：選C |x－1|＋|x－3|的幾何意義是數(shù)軸上對應(yīng)的點到1,3對應(yīng)的兩點的距離之和，故它的最小值為2.∵原不等式的解集為?，∴a2－2a－1<2，
即a2－2a－3<0，解得－11，y>1，所以x＝，
所以xy＝y(tǒng)＝＝＝(y－1)＋＋10≥2 ＋10＝16，
當且僅當y＝4時等號成立．
二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，滿分20分．把答案填寫在題中的橫線上)
11.＜3的解集是________________．
解析：∵＜3，
∴|2x－1|＜3|x|.兩邊平方得4x2－4x＋1＜9x2，
∴5x2＋4x－1＞0，解得x＞或x＜－1.
∴所求不等式的解集為.
答案：(－∞，－1)∪
12．若x<0，則函數(shù)f(x)＝x2＋－x－的最小值是________．
解析：令t＝x＋，因為x<0，
所以－≥2，所以t≤－2，則g(t)＝t2－t－2＝2－，所以f(x)min＝g(－2)＝4.
答案：4
13．不等式|x＋1|－|x－2|≥1的解集是________．
解析：f(x)＝|x＋1|－|x－2|＝
當－11.
所以不等式的解集為{x|x≥1}．
答案：[1，＋∞)
14．設(shè)實數(shù)a，b，c滿足a＋2b＋3c＝4，a2＋b2＋c2的最小值為________．
解析：由柯西不等式，得(a2＋b2＋c2)(12＋22＋32)≥(a＋2b＋3c)2，
因為a＋2b＋3c＝4，
故a2＋b2＋c2≥，
當且僅當＝＝，
即a＝，b＝，c＝時取“＝”．
答案：
三、解答題(本大題共4個小題，滿分50分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15．(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝.
(1)當a＝－5時，求函數(shù)f(x)的定義域；
(2)若函數(shù)f(x)的定義域為R，試求a的取值范圍．
解：(1)由題設(shè)知：|x＋1|＋|x－2|－5≥0，在同一坐標系中作出函數(shù)y＝|x＋1|＋|x－2|－5的圖像，可知定義域為(－∞，－2]∪[3，＋∞)．
(2)由題設(shè)知，當x∈R時，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，
即|x＋1|＋|x－2|≥－a.
|x＋1|＋|x－2|≥|x＋1＋2－x|＝3，∴－a≤3，
∴a≥－3.
∴a的取值范圍是[－3，＋∞)．
16．(本小題滿分12分)設(shè)不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集為M，a，b∈M.
(1)證明：<；
(2)比較|1－4ab|與2|a－b|的大小，并說明理由．
解：(1)證明：記f(x)＝|x－1|－|x＋2|＝
由－2<－2x－1<0，
解得－0，
所以|1－4ab|2>4|a－b|2，
故|1－4ab|>2|a－b|.
17．(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝|x－1|＋|x＋1|.
(1)求不等式f(x)≥3的解集；
(2)若關(guān)于x的不等式f(x)≥a2－a在R上恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．
解：(1)原不等式等價于
或或
解得x≤－或x∈?或x≥.
∴不等式的解集為.
(2)由題意得，關(guān)于x的不等式|x－1|＋|x＋1|≥a2－a在R上恒成立．
∵|x－1|＋|x＋1|≥|(x－1)－(x＋1)|＝2，
∴a2－a≤2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2.
∴實數(shù)a的取值范圍是[－1,2]．
18．(本小題滿分14分)已知f(n)＝1＋＋＋＋…＋，g(n)＝－，n∈N＋.
(1)當n＝1,2,3時，試比較f(n)與g(n)的大小；
(2)猜想f(n)與g(n)的大小關(guān)系，并給出證明．
解：(1)當n＝1時，f(1)＝1，g(1)＝1，所以f(1)＝g(1)；
當n＝2時，f(2)＝，g(2)＝，所以f(2)
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2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué)
第四講
數(shù)學(xué)歸納法證明不等式
本講知識歸納與達標驗收講義含解析新人教A版選修4-5
2018
2019
學(xué)年
高中數(shù)學(xué)
第四
數(shù)學(xué)
歸納法
證明
不等式
知識
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