2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 推理與證明 2.1 合情推理與演繹推理 2.1.3 推理案例賞析講義（含解析）蘇教版選修2-2.doc
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2.1.3 推理案例賞析 歸納推理的應(yīng)用 [例1] 觀察如圖所示的“三角數(shù)陣”： 記第n行的第2個(gè)數(shù)為an(n≥2，n∈N*)，請(qǐng)仔細(xì)觀察上述“三角數(shù)陣”的特征，完成下列各題： (1)第6行的6個(gè)數(shù)依次為_(kāi)_________、__________、______________、______________、______________、______________； (2)依次寫(xiě)出a2、a3、a4、a5； (3)歸納出an＋1與an的關(guān)系式． [思路點(diǎn)撥] (1)觀察數(shù)陣，總結(jié)規(guī)律：除首末兩數(shù)外，每行的數(shù)等于它上一行肩膀上的兩數(shù)之和，得出(1)的結(jié)果． (2)由數(shù)陣可直接寫(xiě)出答案． (3)寫(xiě)出a3－a2，a4－a3，a5－a4，從而歸納出(3)的結(jié)論． [精解詳析] (1)由數(shù)陣可看出，除首末兩數(shù)外，每行中的數(shù)都等于它上一行肩膀上的兩數(shù)之和，且每一行的首末兩數(shù)都等于行數(shù)． [答案] 6,16,25,25,16,6 (2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11 (3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4， ∴由此歸納：an＋1＝an＋n. [一點(diǎn)通] 對(duì)于數(shù)陣問(wèn)題的解決方法，既要清楚每行、每列數(shù)的特征，又要對(duì)上、下行，左、右列間的關(guān)系進(jìn)行研究，找到規(guī)律，問(wèn)題即可迎刃而解了． 1．設(shè)[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，如[]＝2，[π]＝3，[k]＝k (k∈N*)． 我的發(fā)現(xiàn)：[]＋[]＋[]＝3； []＋[]＋[]＋[]＋[]＝10； []＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＋[]＝21； … 通過(guò)歸納推理，寫(xiě)出一般性結(jié)論_____________________________________________ __________________________________________________________(用含n的式子表示)． 解析：第n行右邊第一個(gè)數(shù)是[]，往后是[]，[]，…，最后一個(gè)是[]．等號(hào)右邊是n(2n＋1)． 答案：[]＋[]＋[]＋ … ＋[]＝n(2n＋1) 2．(1)如圖(a)、(b)、(c)、(d)所示為四個(gè)平面圖形，數(shù)一數(shù)，每個(gè)平面圖形各有多少個(gè)頂點(diǎn)？多少條邊？它們將平面圍成了多少個(gè)區(qū)域？ 頂點(diǎn)數(shù) 邊數(shù) 區(qū)域數(shù) (a) (b) (c) (d) (2)觀察上表，推斷一個(gè)平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)之間有什么關(guān)系？ (3)現(xiàn)已知某個(gè)平面圖形有999個(gè)頂點(diǎn)，且圍成了999個(gè)區(qū)域，試根據(jù)以上關(guān)系確定這個(gè)平面圖形有多少條邊？ 解：(1)各平面圖形的頂點(diǎn)數(shù)、邊數(shù)、區(qū)域數(shù)分別為 頂點(diǎn)數(shù) 邊數(shù) 區(qū)域數(shù) (a) 3 3 2 (b) 8 12 6 (c) 6 9 5 (d) 10 15 7 (2)觀察：3＋2－3＝2；8＋6－12＝2；6＋5－9＝2；10＋7－15＝2， 通過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)，它們的頂點(diǎn)數(shù)V，邊數(shù)E，區(qū)域數(shù)F之間的關(guān)系為V＋F－E＝2. (3)由已知V＝999，F(xiàn)＝999，代入上述關(guān)系式得E＝1 996，故這個(gè)平面圖形有1 996條邊． 類比推理的應(yīng)用 [例2] 通過(guò)計(jì)算可得下列等式： 23－13＝312＋31＋1； 33－23＝322＋32＋1； 43－33＝332＋33＋1； … (n＋1)3－n3＝3n2＋3n＋1. 將以上各等式兩邊分別相加，得 (n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n， 即12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)． 類比上述求法，請(qǐng)你求出13＋23＋33＋…＋n3的值． [思路點(diǎn)撥] 類比上面的求法；可分別求出24－14，34－24,44－34，…(n＋1)4－n4，然后將各式相加求解． [精解詳析] ∵24－14＝413＋612＋41＋1， 34－24＝423＋622＋42＋1， 44－34＝433＋632＋43＋1， … (n＋1)4－n4＝4n3＋6n2＋4n＋1. 將以上各式兩邊分別相加， 得(n＋1)4－14＝4(13＋23＋…＋n3)＋6(12＋22＋…＋n2)＋4(1＋2＋…＋n)＋n ∴13＋23＋…＋n3＝＝n2(n＋1)2. [一點(diǎn)通] (1)解題方法的類比通過(guò)對(duì)不同題目條件、結(jié)論的類比，從而產(chǎn)生解題方法的遷移，這是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中很高的境界，需要學(xué)習(xí)者熟練地掌握各種題型及相應(yīng)的解題方法． (2)類比推理的步驟與方法 第一步：弄清兩類對(duì)象之間的類比關(guān)系及類比關(guān)系之間的(細(xì)微)差別． 第二步：把兩個(gè)系統(tǒng)之間的某一種一致性(相似性)確切地表述出來(lái)，也就是要把相關(guān)對(duì)象在某些方面一致性的含糊認(rèn)識(shí)說(shuō)清楚． 3．二維空間中圓的一維側(cè)度(周長(zhǎng))l＝2πr，二維測(cè)度(面積)S＝πr2，觀察發(fā)現(xiàn)S′＝l；三維空間中球的二維測(cè)度(表面積)S＝4πr2，三維測(cè)度(體積)V＝πr3，觀察發(fā)現(xiàn)V′＝S.則四維空間中“超球”的三維測(cè)度V＝8πr3，猜想其四維測(cè)度W＝________. 解析：(2πr4)′＝8πr3. 答案：2πr4 4．在平面上，我們?nèi)绻靡粭l直線去截正方形的一個(gè)角，那么截下一個(gè)直角三角形，按圖所標(biāo)邊長(zhǎng)，由勾股定理有：c2＝a2＋b2.設(shè)想正方形換成正方體，把截線換成如圖的截面，這時(shí)從正方體上截下三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐OLMN，如果用S1，S2，S3表示三個(gè)側(cè)面的面積，S4表示截面的面積，那么你類比得到的結(jié)論是________． 解析：由于平面圖形中的邊長(zhǎng)應(yīng)與空間幾何體中的面積類比，因此所得到的結(jié)論為：S＝S＋S＋S. 答案：S＝S＋S＋S 演繹推理的應(yīng)用 [例3] 已知{an}為等差數(shù)列，首項(xiàng)a1>1，公差d>0，n>1且n∈N*. 求證：lg an＋1lg an－1<(lg an)2. [思路點(diǎn)撥] 對(duì)數(shù)之積不能直接運(yùn)算，可由基本不等式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)之和進(jìn)行運(yùn)算． [精解詳析] ∵{an}為等差數(shù)列， ∴an＋1＋an－1＝2an. ∵d>0， ∴an－1an＋1＝(an－d)(an＋d)＝a－d2下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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