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專題29 直線方程 一、考綱要求： 1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形掌握確定直線位置的幾何要素. 2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過兩點的直線斜率的計算公式. 3.掌握確定直線的幾何要素，掌握直線方程的三種形式(點斜式、兩點式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系． 4.能根據(jù)兩條直線的斜率判斷這兩條直線平行或垂直. 5.能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標(biāo). 6.掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩平行直線間的距離． 二、概念掌握和解題上注意點： 1. 求直線方程應(yīng)注意以下三點 (1）)在求直線方程時，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件. (2）)對于點斜式、截距式方程使用時要注意分類討論思想的運用(若采用點斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)判斷截距是否為零). (3）)截距可正、可負(fù)、可為0，因此在解與截距有關(guān)的問題時，一定要注意“截距為0”的情況，以防漏解. 2.與直線方程有關(guān)問題的常見類型及解題策略 (1）)求解與直線方程有關(guān)的最值問題.先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值. (2）)含有參數(shù)的直線方程可看作直線系方程，這時要能夠整理成過定點的直線系，即能夠看出“動中有定”. (3）)求參數(shù)值或范圍.注意點在直線上，則點的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解. 3.已知兩直線的斜率存在，判斷兩直線平行、垂直的方法 (1）)兩直線平行?兩直線的斜率相等且在坐標(biāo)軸上的截距不等； (2）)兩直線垂直?兩直線的斜率之積等于－1. 4.由一般式判定兩條直線平行、垂直的依據(jù) 若直線l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，則①l1∥l2?A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0(或B1C2－B2C1≠0)；②l1⊥l2?A1A2＋B1B2＝0. 5.求過兩直線交點的直線方程的方法 求過兩直線交點的直線方程，先解方程組求出兩直線的交點坐標(biāo)，再結(jié)合其他條件寫出直線方程. 6.處理距離問題的兩大策略 (1）)點到直線的距離問題可直接代入點到直線的距離公式去求. (2）)動點到兩定點距離相等，一般不直接利用兩點間距離公式處理，而是轉(zhuǎn)化為動點在以兩定點為端點的線段的垂直平分線上，從而簡化計算. 三、高考考題題例分析 例1.（2018北京卷）在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點P（cosθ，sinθ）到直線x﹣my﹣2=0的距離．當(dāng)θ、m變化時，d的最大值為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 例2.　(2016高考新課標(biāo)II)圓的圓心到直線的距離為1，則a=（ ） （A） （B） （C） （D）2 【答案】A 【解析】 試題分析：圓的方程可化為，所以圓心坐標(biāo)為，由點到直線的距離公式得： ，解得，故選A． 例3.(2015高考廣東卷)平行于直線且與圓相切的直線的方程是（ ） A．或 B.或 C.或 D.或 【答案】． 【解析】：依題可設(shè)所求切線方程為，則有，解得，所以所求切線的直線方程為或，故選． 三、解答題 17．已知△ABC的三個頂點分別為A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求： (1)BC邊所在直線的方程； (2)BC邊上中線AD所在直線的方程； (3)BC邊的垂直平分線DE的方程． 【答案】(1) x＋2y－4＝0； (2) 2x－3y＋6＝0； (3) 2x－y＋2＝0 (3)由(1)知，直線BC的斜率k1＝－， 則BC邊的垂直平分線DE的斜率k2＝2. 由(2)知，點D的坐標(biāo)為(0,2)． 由點斜式得直線DE的方程為y－2＝2(x－0) 即2x－y＋2＝0. 18．設(shè)直線l的方程為(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)． (1)若l在兩坐標(biāo)軸上截距相等，求l的方程； (2)若l不經(jīng)過第二象限，求實數(shù)a的取值范圍. 【答案】(1) 3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.； (2) a≤－1. 【解析】：　(1)當(dāng)直線過原點時，在x軸和y軸上的截距為零， ∴a＝2，方程即為3x＋y＝0. 當(dāng)直線不過原點時，截距存在且均不為0， ∴＝a－2，即a＋1＝1， ∴a＝0，方程即為x＋y＋2＝0. 因此直線l的方程為3x＋y＝0或x＋y＋2＝0. (2)將l的方程化為y＝－(a＋1)x＋a－2， ∴或∴a≤－1. 綜上可知，a的取值范圍是a≤－1. 19．已知直線l1：ax＋2y＋6＝0和直線l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0. (1)當(dāng)l1∥l2時，求a的值； (2)當(dāng)l1⊥l2時，求a的值． 【答案】(1) a＝－1；(2) a＝ 法二：由l1∥l2知 即? ?a＝－1. (2)法一：當(dāng)a＝1時，l1：x＋2y＋6＝0，l2：x＝0，l1與l2不垂直，故a＝1不符合； 當(dāng)a≠1時，l1：y＝－x－3，l2： y＝x－(a＋1)，由l1⊥l2， 得＝－1?a＝. 法二：∵l1⊥l2，∴A1A2＋B1B2＝0， 即a＋2(a－1)＝0，得a＝. 20．已知直線l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及點P(3,4)． (1)證明直線l過某定點，并求該定點的坐標(biāo)； (2)當(dāng)點P到直線l的距離最大時，求直線l的方程. 【答案】(1)見解析； (2) 5x＋y＋7＝0. 21．已知直線l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)． (1)證明：直線l過定點； (2)若直線不經(jīng)過第四象限，求k的取值范圍； (3)若直線l交x軸負(fù)半軸于A，交y軸正半軸于B，△AOB的面積為S(O為坐標(biāo)原點)，求S的最小值，并求此時直線l的方程． 【答案】(1)見解析； (2) k≥0.； (3) x－2y＋4＝0. 【解析】：　(1)證明：直線l的方程可化為k(x＋2)＋(1－y)＝0，令解得 ∴無論k取何值，直線l必經(jīng)過定點(－2,1)． (2)直線方程可化為y＝kx＋1＋2k，當(dāng)k≠0時， 要使直線不經(jīng)過第四象限，則必有 解得k＞0； 當(dāng)k＝0時，直線為y＝1，符合題意． 綜上，k的取值范圍是k≥0. 此時l的方程為x－2y＋4＝0. 22．已知直線l經(jīng)過直線l1：2x＋y－5＝0與l2：x－2y＝0的交點． (1)若點A(5,0)到l的距離為3，求l的方程； (2)求點A(5,0)到l的距離的最大值． 【答案】(1) l的方程為x＝2或4x－3y－5＝0. (2) 【解析】：(1)易知l不可能為l2，可設(shè)經(jīng)過兩已知直線交點的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0. ∵點A(5,0)到l的距離為3， ∴＝3， 則2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝， ∴l(xiāng)的方程為x＝2或4x－3y－5＝0. (2)由 解得交點P(2,1)，如圖，過P作任一直線l，設(shè)d為點A到l的距離，則d≤PA(當(dāng)l⊥PA時等號成立)， ∴dmax＝PA＝＝.