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專題41 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 一、考綱要求： 1.理解坐標(biāo)系的作用，了解在平面直角坐標(biāo)系伸縮變換作用下平面圖形的變化情況. 2.了解極坐標(biāo)的基本概念，會(huì)在極坐標(biāo)系中用極坐標(biāo)刻畫點(diǎn)的位置，能進(jìn)行極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化. 3.能在極坐標(biāo)系中給出簡單圖形表示的極坐標(biāo)方程． 5.了解參數(shù)方程，了解參數(shù)的意義. 6.能選擇適當(dāng)?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓曲線的參數(shù)方程． 二、概念掌握和解題上注意點(diǎn)： 1.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化公式的三個(gè)前提條件 (1)取直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)． (2)以x軸的非負(fù)半軸為極軸． (3)兩種坐標(biāo)系規(guī)定相同的長度單位． 2.極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化的策略 (1）)直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程，只要運(yùn)用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化簡即可； (2）)極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程時(shí)常通過變形，構(gòu)造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，進(jìn)行整體代換. 3.解決與圓、圓錐曲線的參數(shù)方程有關(guān)的綜合問題時(shí)，要注意普通方程與參數(shù)方程的互化公式，主要是通過互化解決與圓、圓錐曲線上與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的問題，如最值、范圍等. 4.根據(jù)直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式中t的幾何意義，有如下常用結(jié)論： 過定點(diǎn)M0的直線與圓錐曲線相交，交點(diǎn)為M1，M2，所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t1，t2. ①弦長l＝|t1－t2|； ②弦M1M2的中點(diǎn)?t1＋t2＝0； ③|M0M1||M0M2|＝|t1t2|. 三、高考考題題例分析 例1.（2018全國卷I）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為y=k|x|+2．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為ρ2+2ρcosθ﹣3=0． （1）求C2的直角坐標(biāo)方程； （2）若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程． 【答案】（1）（x+1）2+y2=4；（2）． 例2.（2018全國卷II）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為，（θ為參數(shù)），直線l的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)）． （1）求C和l的直角坐標(biāo)方程； （2）若曲線C截直線l所得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），求l的斜率． 【答案】（1）：，sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0； （2）-2 【解析】：（1）曲線C的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)）， 轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：． 直線l的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）． 轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)方程為：sinαx﹣cosαy+2cosα﹣sinα=0． （2）把直線的參數(shù)方程代入橢圓的方程得到： +=1 整理得：（4cos2α+sin2α）t2+（8cosα+4sinα）t﹣8=0， 則：， 由于（1，2）為中點(diǎn)坐標(biāo)， 所以：， 則：8cosα+4sinα=0， 解得：tanα=﹣2， 即：直線l的斜率為﹣2． 坐標(biāo)系與參數(shù)方程練習(xí)題 1．若函數(shù)y＝f(x)的圖象在伸縮變換φ：的作用下得到曲線的方程為y′＝3sin，求函數(shù)y＝f(x)的最小正周期． 【答案】π. 【解析】：　由題意，把變換公式代入曲線方程y′＝3 sin得3y＝3 sin，整理得y＝sin，故f(x)＝sin.所以y＝f(x)的最小正周期為＝π. 2．在直角坐標(biāo)系xOy中，直線C1：x＝－2，圓C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系． (1)求C1，C2的極坐標(biāo)方程； (2)若直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝(ρ∈R)，設(shè)C2與C3的交點(diǎn)為M，N，求△C2MN的面積． 【答案】(1) C1：ρcos θ＝－2，C2：ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. (2) 法二：直線C3的直角坐標(biāo)方程為x－y＝0，圓C2的圓心C2(1,2)到直線C3的距離d＝＝，圓C2的半徑為1， ∴|MN|＝2＝，所以△C2MN的面積為. 3．已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸非負(fù)半軸為極軸的極坐標(biāo)軸中，曲線C的方程為sin θ－ρ cos2θ＝0. (1)求曲線C的直線坐標(biāo)方程； (2)寫出直線l與曲線C交點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)． 【答案】(1) y－x2＝0；(2) 4．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α<π.在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ. (1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)； (2)若C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值. 【答案】(1) (0,0)和；(2)4 【解析】：　(1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＝0， 聯(lián)立 解得或 所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和. 5．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(t為參數(shù)，a>0)．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝4cos θ. (1)說明C1是哪一種曲線，并將C1的方程化為極坐標(biāo)方程； (2)直線C3的極坐標(biāo)方程為θ＝α0，其中α0滿足tan α0＝2，若曲線C1與C2的公共點(diǎn)都在C3上，求a. 【答案】(1) ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0；(2) a＝1. 【解析】：　(1)消去參數(shù)t得到C1的普通方程為x2＋(y－1)2＝a2，則C1是以(0,1)為圓心，a為半徑的圓． 將x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中， 得到C1的極坐標(biāo)方程為 ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲線C1，C2的公共點(diǎn)的極坐標(biāo)滿足方程組 若ρ≠0，由方程組得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2， 得16cos2θ－8sin θcos θ＝0， 從而1－a2＝0， 解得a＝－1(舍去)或a＝1. 當(dāng)a＝1時(shí)， 極點(diǎn)也為C1，C2的公共點(diǎn)，且在C3上． 所以a＝1. 6．在以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2 sin θ，正方形ABCD的頂點(diǎn)都在C1上，且依次按逆時(shí)針方向排列，點(diǎn)A的極坐標(biāo)為. (1)求點(diǎn)C的直角坐標(biāo)； (2)若點(diǎn)P在曲線C2：x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，求|PB|2＋|PC|2的取值范圍. 【答案】(1) C(－1,1)；(2) [14－4，14＋4] 所以|PB|2＋|PC|2∈[14－4，14＋4]． 13．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t是參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝4cos. (1)求直線l的普通方程和圓心C的直角坐標(biāo)； (2)求圓C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值． 【答案】(1) l的普通方程為y＝x－6，圓心C的直角坐標(biāo)為(，－)； (2)2 【解析】：　(1)由題意得直線l的普通方程為y＝x－6. 因?yàn)棣眩?cos， 所以ρ2＝2ρcos θ－2ρsin θ， 所以圓C的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2x＋2y＝0， 即(x－)2＋(y＋)2＝4， 所以圓心C的直角坐標(biāo)為(，－)． (2)由(1)知，圓C的半徑為r＝2，且圓心到直線l的距離d＝＝4>2， 所以直線l與圓C相離， 所以圓C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值為d－r＝4－2＝2. 14．在平面直角坐標(biāo)系中，將曲線C1上的每一個(gè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)保持不變，縱坐標(biāo)縮短為原來的，得到曲線C2.以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線C1的極坐標(biāo)方程為ρ＝2. (1)求曲線C2的參數(shù)方程； (2)過原點(diǎn)O且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條直線l1與l2分別交曲線C2于A，C和B，D，且點(diǎn)A在第一象限，當(dāng)四邊形ABCD的周長最大時(shí)，求直線l1的普通方程. 【答案】(1) (θ為參數(shù))；(2) l1的普通方程為y＝x. 【解析】：　(1)依題意，可得C1的普通方程為x2＋y2＝4， 由題意可得C2的普通方程為＋y2＝1， 所以C2的參數(shù)方程為(θ為參數(shù))． 15,在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(a>0，β為參數(shù))．以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程ρcos＝. (1)若曲線C與l只有一個(gè)公共點(diǎn)，求a的值； (2)A，B為曲線C上的兩點(diǎn)，且∠AOB＝，求△OAB的面積最大值． 【答案】(1) a＝1；(2) (2)法一：曲線C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2acos θ(a>0)， 設(shè)A的極角為θ，B的極角為θ＋， 則S△OAB＝|OA||OB|sin ＝|2acos θ| ＝a2， ∵cos θcos＝cos2θ－sin θcos θ ＝－sin 2θ ＝＋ ＝cos＋， 所以當(dāng)θ＝－時(shí)， cos＋取得最大值. △OAB的面積最大值為. 法二：因?yàn)榍€C是以(a,0)為圓心，以a為半徑的圓，且∠AOB＝， 由正弦定理得＝2a，所以|AB|＝a. 由余弦定理得|AB|2＝3a2 ＝|OA|2＋|OB|2－|OA||OB| ≥|OA||OB|， 所以S△OAB＝|OA||OB|sin≤3a2＝， 所以△OAB的面積最大值為.