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專題20 雙曲線 一、基礎(chǔ)過關(guān)題 1. (2018高考北京卷)已知橢圓M：，雙曲線N：若雙曲線N的兩條漸近線與橢圓M的四個交點及橢圓M的兩個焦點恰為一個正六邊形的頂點，則橢圓M的離心率為______；雙曲線N的離心率為______． 【答案】；2 利用已知條件求出正六邊形的頂點坐標(biāo)，代入橢圓方程，求出橢圓的離心率；利用漸近線的夾角求解雙曲線的離心率即可． 本題考查橢圓以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計算能力． 2. (2018高考全國卷III)設(shè)是雙曲線（）的左，右焦點，是坐標(biāo)原點．過作的一條漸近線的垂線，垂足為．若，則的離心率為（ ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【解析】∵，，∴ ； 又因為，所以； 在中，； ∵在中，， ∴ . 3. (2018高考天津卷) 已知雙曲線的離心率為2，過右焦點且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A，B兩點設(shè)A，B到雙曲線的同一條漸近線的距離分別為和，且，則雙曲線的方程為　　 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】解：由題意可得圖象如圖， CD是雙曲線的一條漸近線 ，即，， ，，，ACDB是梯形， F是AB的中點，， ， 所以，雙曲線的離心率為2，可得， 可得：，解得． 則雙曲線的方程為：． 故選：C． 畫出圖形，利用已知條件，列出方程組轉(zhuǎn)化求解即可． 本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，雙曲線方程的求法，考查計算能力． 4．(2016廣州聯(lián)考)已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的焦距為10，點P(2,1)在C的一條漸近線上，則C的方程為(　　) A.－＝1 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 【答案】　A 5．(2016全國乙卷)已知方程－＝1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是(　　) A．(－1,3) B．(－1，) C．(0,3) D．(0，) 【答案】　A 【解析】　∵方程－＝1表示雙曲線， ∴(m2＋n)(3m2－n)>0，解得－m20，b>0)的左，右焦點，若在雙曲線的右支上存在一點M，使得(＋)＝0(其中O為坐標(biāo)原點)，且||＝||，則雙曲線的離心率為(　　) A.－1 B. C. D.＋1 【答案】　D 7．(2016廬江第二中學(xué)月考)已知橢圓＋＝1(a1>b1>0)的長軸長、短軸長、焦距成等比數(shù)列，離心率為e1；雙曲線－＝1(a2>0，b2>0)的實軸長、虛軸長、焦距也成等比數(shù)列，離心率為e2，則e1e2等于(　　) A. B．1 C. D．2 【答案】　B 【解析】　由b＝a1c1，得a－c＝a1c1，∴e1＝＝. 由b＝a2c2，得c－a＝a2c2，∴e2＝＝. ∴e1e2＝＝1. 8．(2015課標(biāo)全國Ⅰ)已知M(x0，y0)是雙曲線C：－y2＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，若<0，則y0的取值范圍是(　　) A. B. C. D. 【答案】　A 【解析】　由題意知a＝，b＝1，c＝，∴F1(－，0)，F(xiàn)2(，0)， ∴＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)． ∵<0，∴(－－x0)(－x0)＋y<0， 即x－3＋y<0.∵點M(x0，y0)在雙曲線上， ∴－y＝1，即x＝2＋2y， ∴2＋2y－3＋y<0，∴－0，b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若△ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍是(　　) A．(1，＋∞) B．(1,2) C．(1,1＋) D．(2,1＋) 【答案】　B 10．(2016北京)已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一條漸近線為2x＋y＝0，一個焦點為(，0)，則a＝________；b＝________. 【答案】　1　2 【解析】　由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2. 又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2. 11．中心在原點，焦點在x軸上的一橢圓與一雙曲線有共同的焦點F1，F(xiàn)2，且|F1F2|＝2，橢圓的長半軸與雙曲線實半軸之差為4，離心率之比為3∶7. (1)求這兩曲線方程； (2)若P為這兩曲線的一個交點，求cos∠F1PF2的值． 【答案】(1) 橢圓方程為＋＝1，雙曲線方程為－＝1； (2) 二、能力提高題 1．(2016浙江)設(shè)雙曲線x2－＝1的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若點P在雙曲線上，且△F1PF2為銳角三角形，則|PF1|＋|PF2|的取值范圍是________． 【答案】　(2，8) 【解析】　如圖， 由已知可得a＝1，b＝，c＝2，從而|F1F2|＝4， 由對稱性不妨設(shè)P在右支上，設(shè)|PF2|＝m， 則|PF1|＝m＋2a＝m＋2， 由于△PF1F2為銳角三角形， 結(jié)合實際意義需滿足 解得－1＋＜m＜3，又|PF1|＋|PF2|＝2m＋2，∴2＜2m＋2＜8. 2．已知雙曲線－＝1(a>0，b>0)的左，右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且|PF1|＝4|PF2|，則此雙曲線的離心率e的最大值為________． 【答案】　 3．(2015課標(biāo)全國Ⅰ)已知F是雙曲線C：x2－＝1的右焦點，P是C的左支上一點，A(0,6)．當(dāng)△APF的周長最小時，該三角形的面積為________． 【答案】　12 【解析】　設(shè)左焦點為F1，|PF|－|PF1|＝2a＝2， ∴|PF|＝2＋|PF1|，△APF的周長為|AF|＋|AP|＋|PF|＝|AF|＋|AP|＋2＋|PF1|， △APF周長最小即為|AP|＋|PF1|最小， 當(dāng)A、P、F1在一條直線時最小，過AF1的直線方程為＋＝1，與x2－＝1聯(lián)立， 解得P點坐標(biāo)為(－2,2)，此時S△APF＝S△AF1F－S△F1PF＝12. 4．(2016湖北部分重點中學(xué)第一次聯(lián)考)在面積為9的△ABC中，tan∠BAC＝－，且＝2，現(xiàn)建立以A點為坐標(biāo)原點，以∠BAC的平分線所在直線為x軸的平面直角坐標(biāo)系，如圖所示 . (1)求AB，AC所在直線的方程； (2)求以AB，AC所在直線為漸近線且過點D的雙曲線的方程； (3)過D分別作AB，AC所在直線的垂線DF，DE(E，F(xiàn)為垂足)，求的值． 【答案】(1) AC所在直線方程為y＝2x，AB所在直線方程為y＝－2x.； (2) 雙曲線的方程為－＝1. (3) (3)由題意知〈，〉＝π－∠BAC， ∴cos〈，〉＝－cos∠BAC＝， 設(shè)D(x0，y0)，則－＝1. 又∵點D到AB，AC所在直線距離分別為||＝，||＝， ∴＝||||cos〈，〉 ＝＝. 5.已知雙曲線C：－＝1(a>0，b>0)的一個焦點是F2(2,0)，且b＝a. (1)求雙曲線C的方程； (2)設(shè)經(jīng)過焦點F2的直線l的一個法向量為(m,1)，當(dāng)直線l與雙曲線C的右支交于不同的兩點A，B時，求實數(shù)m的取值范圍，并證明AB中點M在曲線3(x－1)2－y2＝3上； (3)設(shè)(2)中直線l與雙曲線C的右支交于A，B兩點，問是否存在實數(shù)m，使得∠AOB為銳角？若存在，請求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由． 【答案】(1) 雙曲線C的方程為x2－＝1； (2) m∈(－∞，－)∪(，＋∞),證明見【解析】。 (3) 不存在實數(shù)m，使得∠AOB為銳角． 【解析】(1)c＝2，c2＝a2＋b2， ∴4＝a2＋3a2，∴a2＝1，b2＝3， ∴雙曲線C的方程為x2－＝1.