2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第1部分 第1章 常用邏輯用語 1.1 命題及其關(guān)系 1.1.2 充分條件和必要條件講義（含解析）蘇教版選修2-1.doc
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1．1.2 充分條件和必要條件 充分條件和必要條件 如圖：p：開關(guān)A閉合，q：燈泡B亮． 問題1：p與q有什么關(guān)系？ 提示：命題p成立，命題q一定成立． p：兩三角形相似，q：對應(yīng)角相等． 問題2：p與q有什么關(guān)系？ 提示：命題p成立，命題q一定成立． 一般地，如果p?q，那么稱p是q的充分條件，q是p的必要條件． 充要條件 已知p：整數(shù)x是6的倍數(shù)； q：整數(shù)x是2和3的倍數(shù)． 問題1：“若p，則q”是真命題嗎？ 提示：是． 問題2：“若q，則p”是真命題嗎？ 提示：是． 問題3：p是q的什么條件？ 提示：充要條件． 1．如果p?q，且q?p，那么稱p是q的充分必要條件．簡稱p是q的充要條件，記作p?q. 2．如果p?q，且q ?/ p，那么稱p是q的充分不必要條件． 3．如果p ?/ q，且q?p，那么稱p是q的必要不充分條件． 4．如果p ?/ q，且q ?/ p，那么稱p是q的既不充分又不必要條件． 原命題“若p，則q”，逆命題為“若q，則p”，則p與q的關(guān)系有以下四種情形： 原命題 逆命題 p、q的關(guān)系 真 假 p是q的充分不必要條件 q是p的必要不充分條件 假 真 p是q的必要不充分條件 q是p的充分不必要條件 真 真 p與q互為充要條件 假 假 p是q的既不充分也不必要條件 q是p的既不充分也不必要條件 充分條件和必要條件的判斷 [例1] 對于二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，下列結(jié)論正確的是________． ①Δ＝b2－4ac≥0是函數(shù)f(x)有零點的充要條件； ②Δ＝b2－4ac＝0是函數(shù)f(x)有零點的充分條件； ③Δ＝b2－4ac>0是函數(shù)f(x)有零點的必要條件； ④Δ＝b2－4ac<0是函數(shù)f(x)沒有零點的充要條件． [思路點撥] 逐一分析Δ，根據(jù)二次函數(shù)與Δ的關(guān)系，判斷結(jié)論是否正確． [精解詳析] ①是正確的，因為Δ＝b2－4ac≥0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根?f(x)＝ax2＋bx＋c有零點； ②是正確的，因為Δ＝b2－4ac＝0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根，因此函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零點，但是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零點時，有可能Δ>0； ③是錯誤的，因為函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零點時，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根，但未必有Δ＝b2－4ac>0，也有可能Δ＝0； ④是正確的，因為Δ＝b2－4ac<0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)無實根?函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)無零點． [答案] ①②④ [一點通] 充分、必要條件判斷的常用方法： (1)定義法：分清條件和結(jié)論，利用定義判斷． (2)等價法：將不易判斷的命題轉(zhuǎn)化為它的等價命題判斷． 1．從“?”、“ ?/ ”與“?”中選出適當(dāng)?shù)姆柼羁眨? (1)x>1________x>0； (2)a>b________a2>b2； (3)a2＋b2＝2ab________a＝b； (4)A??________A＝?. 解析：(1)由于命題“若x>1，則x>0”為真命題，則x>1?x>0； (2)由于命題“若a>b，則a2>b2”為假命題，則a>b?/ a2>b2； (3)由于命題“若a2＋b2＝2ab，則a＝b”為真命題，且逆命題也為真命題，故a2＋b2＝2ab?a＝b； (4)由于命題“若A??，則A＝?”為真命題，且逆命題也為真命題，故A???A＝?. 答案：(1)? (2) ?/ (3)? (4)? 2．(福建高考改編)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的________條件． 解析：因為A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，則A＝{1,3}，所以A?B；若A?B，則a＝2或a＝3，所以A?B ?/ a＝3，所以“a＝3”是“A?B”的充分不必要條件． 答案：充分不必要 3．指出下列各題中p是q的什么條件(在“充分不必要條件”“必要不充分條件”、“充要條件”、“既不充分又不必要條件”中選一個作答)： (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：兩個三角形相似，q：兩個三角形全等； (3)p：a>b，q：a＋c>b＋c； (4)p：a>b，q：ac>bc. 解：(1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0 ?/ x－3＝0，故p是q的充分不必要條件． (2)兩個三角形相似 ?/ 兩個三角形全等，但兩個三角形全等?兩個三角形相似，故p是q的必要不充分條件． (3)a>b?a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c?a>b，故p是q的充要條件． (4)a>b ?/ ac>bc，且ac>bc ?/ a>b，故p是q的既不充分又不必要條件. 充分條件、必要條件的應(yīng)用 [例2] 已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不必要條件，求實數(shù)a的取值范圍． [思路點撥] 先利用不等式的解法確定命題p、q成立的條件，再根據(jù)p是q的充分不必要條件確定a的不等式組，求得a的范圍． [精解詳析] 令M＝{x|2x2－3x－2≥0} ＝{x|(2x＋1)(x－2)≥0} ＝{x|x≤－或x≥2}， N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0} ＝{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0} ＝{x|x≤a－2或x≥a}． 由已知p?q且q ?/ p，得MN. ∴或 ?≤a<2或下載提示(請認(rèn)真閱讀)
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