2017-2018學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式 一 二維形式的柯西不等式優(yōu)化練習 新人教A版選修4-5.doc
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一 二維形式的柯西不等式 [課時作業(yè)] [A組 基礎(chǔ)鞏固] 1.若a,b∈R,且a2+b2=10,則a+b的取值范圍是( ) A.[-2,2 ] B.[-2,2 ] C.[-, ] D.(-, ] 解析:∵a2+b2=10,∴(a2+b2)(12+12)≥(a+b)2, 即20≥(a+b)2,∴-2 ≤a+b≤2. 答案:A 2.函數(shù)y=2+的最大值是( ) A.3 B. C. D.4 解析:y2=2 ≤[22+()2]=6=3, 當且僅當2=, 即x=時等號成立. ∴y的最大值為. 答案:C 3.如果實數(shù)m,n,x,y滿足m2+n2=a,x2+y2=b,其中a,b為常數(shù),那么mx+ny的最大值為( ) A. B. C. D. 解析:由柯西不等式,得(mx+ny)2≤(m2+n2)(x2+y2)=ab,當m=n=, x=y(tǒng)=時,(mx+ny)max=. 答案:B 4.若a+b=1,則2+2的最小值為( ) A.1 B.2 C. D. 解析:2+2 =a2+2++b2+2+. ∵a+b=1, ∴a2+b2=(a2+b2)(1+1) ≥(a+b)2=, 又+≥≥=8, 以上兩個不等式都是當且僅當a=b=時,等號成立 ∴2+2 ≥+2+2+8=, 當且僅當a=b=時等號成立,取到最小值. 答案:C 5.若長方形ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接長方形,則長方形ABCD周長的最大值為( ) A.2R B.2R C.4R D.4R 解析:如圖,設(shè)內(nèi)接長方形ABCD的長為x,則寬為,于是ABCD的周長l=2(x+)=2(1x+1). 由柯西不等式得 l≤2[x2+()2](12+12) =22R=4R. 當且僅當x1=1, 即x=R時等號成立. 此時= =R, 即四邊形ABCD為正方形,故周長為最大的內(nèi)接長方形是正方形,其周長為4R. 答案:D 6.若存在實數(shù)x使+>a成立,常數(shù)a的取值范圍為________. 解析:+=+1, 由柯西不等式得(+1)2≤(3+1)(x+2+14-x)=64, 所以+≤8,當且僅當x=10時取“=”, 于是,常數(shù)a的取值范圍是(-∞,8). 答案:(-∞,8) 7.設(shè)xy>0,則(x2+)(y2+)的最小值為________. 解析:原式= ≥2=9. 答案:9 8.設(shè)實數(shù)x, y滿足3x2+2y2=6,則2x+y的最大值為________. 解析:∵[(x)2+(y)2]≥(2x+y)2, ∴|2x+y|≤ =, 當且僅當y=x, 即3x=4y且3x2+2y2=6時,等號成立,而此方程組有解. ∴2x+y的最大值為. 答案: 9.已知θ為銳角,a,b>0,求證:(a+b)2≤+. 證明:設(shè)m=,n=(cos θ,sin θ), 則|a+b|=|cos θ+sin θ| =|mn|≤|m||n|==, ∴(a+b)2≤+. 10.設(shè)a,b∈R+,若a+b=2,求+的最小值. 解析:∵(a+b) =[()2+()2] ≥2=(1+1)2=4. ∴2≥4,即≥2. 當且僅當=,即a=b時取等號, ∴當a=b=1時,+的最小值為2. [B組 能力提升] 1.設(shè)a1、a2、b1、b2∈R,則下列不等式中,柯西不等式用錯的是( ) A.(a+b)(a+b)≥(a1a2+b1b2)2 B.(a+b)(a+b)≥(a1b2+b1a2)2 C.(a+b)(a+b)≥(a1b1+a2b2)2 D.(a+a)(b+b)≥(a1b1+a2b2)2 答案:C 2.設(shè)xy>0,則的最小值為________. 解析:原式=[x2+()2][()2+y2]≥(x+y)2=9. 答案:9 3.已知a,b∈R+,且a+b=1,則(+)2的最大值是________. 解析:(+)2=(1+1)2≤( 12+12)(4a+1+4b+1)=2[4(a+b)+2]=2|41+2|=12. 答案:12 4.已知a,b,c為正數(shù),且滿足acos2θ+bsin2θ- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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