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專題32遞推數(shù)列 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 了解遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，掌握幾種簡單的將遞推數(shù)列問題轉(zhuǎn)化化歸為特殊數(shù)列(等差數(shù)列、等比數(shù)列等)的方法與途徑，從而培養(yǎng)并提升學(xué)生的轉(zhuǎn)化化歸思想和能力． 【知識(shí)要點(diǎn)】 1．遞推數(shù)列的概念 如果已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)(或前k項(xiàng))，且任一項(xiàng)an與它的前一項(xiàng)(或前若干項(xiàng))間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來表示，則這個(gè)公式就叫做這個(gè)數(shù)列的______________；由遞推公式確定的數(shù)列叫做遞推數(shù)列． 2．已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng) 一般有三種途徑：一是歸納、猜想，二是轉(zhuǎn)化化歸為等差、等比數(shù)列；三是逐項(xiàng)迭代． 【方法總結(jié)】 遞推數(shù)列求通項(xiàng)的特征歸納： (1)累加法：an＋1－an＝f(n). (2)累乘法：＝f(n). (3)化歸法：(常見)an＋1＝Aan＋B(A≠0，A≠1)?an＋1＋λ＝A(an＋λ)；an＋2＝pan＋1＋qan?an＋2＋λan＋1＝(p＋λ)(an＋1＋λan)；an＋1＝pan＋pn＋1?＝＋1. (4)歸納法：計(jì)算a2，a3，a4呈現(xiàn)關(guān)于項(xiàng)數(shù)2，3，4的規(guī)律特征. (5)迭代法：an＋1＝pan或an＋1＝a或an＋1＝pan＋f(n)等. 【高考模擬】一、單選題 1．已知數(shù)列滿足，，，，若恒成立，則的最小值為（ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 【答案】D 【解析】 【分析】 由，可得，利用裂項(xiàng)相消法可得結(jié)果. 【詳解】 由題意知，，由， 得， ， 恒成立，，故最小值為，故選D. 【點(diǎn)睛】 裂項(xiàng)相消法是最難把握的求和方法之一，其原因是有時(shí)很難找到裂項(xiàng)的方向，突破這一難點(diǎn)的方法是根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，常見的裂項(xiàng)技巧：(1)；（2） ； （3）；（4） ；此外，需注意裂項(xiàng)之后相消的過程中容易出現(xiàn)丟項(xiàng)或多項(xiàng)的問題，導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果錯(cuò)誤. 2．（2017保定市一模）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若數(shù)列滿足，且，則（ ） A． 2 B． -2 C． 6 D． -6 【答案】C 【解析】 【分析】 是周期數(shù)列且周期為，因此，利用題設(shè)的函數(shù)解析式可求函數(shù)值． 【點(diǎn)睛】 （1）當(dāng)從數(shù)列的遞推關(guān)系無法求通項(xiàng)時(shí)，可以從先計(jì)算數(shù)列的若干初始項(xiàng)，找出規(guī)律后可得通項(xiàng)（必要時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明）． （2）對(duì)于奇函數(shù)（或偶函數(shù)），若已知的解析式，則當(dāng)?shù)臅r(shí)的解析為（偶函數(shù)時(shí)為）． 3．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且滿足，則下列說法正確的是（ ） A． 數(shù)列的前項(xiàng)和為 B． 數(shù)列的通項(xiàng)公式為 C． 數(shù)列為遞增數(shù)列 D． 數(shù)列是遞增數(shù)列 【答案】C 【解析】 【分析】 方法一：根據(jù)數(shù)列的遞推公式可得{}是以5為首項(xiàng)，以5為等差的等差數(shù)列，可得Sn=，an=，即可判斷， 方法二：當(dāng)n=1時(shí)，分別代入A，B，可得A，B錯(cuò)誤，當(dāng)n=2時(shí)，a2+5a1（a1+a2）=0，即a2++a2=0，可得a2=﹣，故D錯(cuò)誤， 【詳解】 方法一：∵an+5Sn﹣1Sn=0， ∴Sn﹣Sn﹣1+5Sn﹣1Sn=0， ∵Sn≠0， ∴﹣=5， ∵a1=， ∴=5， ∴{}是以5為首項(xiàng)，以5為等差的等差數(shù)列， ∴=5+5（n﹣1）=5n， ∴Sn=， 當(dāng)n=1時(shí)，a1=， 當(dāng)n≥2時(shí)， ∴an=Sn﹣Sn﹣1=﹣=， ∴an=， 故只有C正確， 方法二：當(dāng)n=1時(shí)，分別代入A，B，可得A，B錯(cuò)誤， 當(dāng)n=2時(shí)，a2+5a1（a1+a2）=0，即a2++a2=0，可得a2=﹣，故D錯(cuò)誤， 故選：C． 【點(diǎn)睛】 已知求的一般步驟：（1）當(dāng)時(shí)，由求的值；（2）當(dāng)時(shí)，由，求得的表達(dá)式；（3）檢驗(yàn)的值是否滿足（2）中的表達(dá)式，若不滿足則分段表示；（4）寫出的完整表達(dá)式. 4．設(shè)的三邊長分別為，的面積為…，若，，則（ ） A． 為遞減數(shù)列 B． 為遞增數(shù)列 C． 為遞增數(shù)列，為遞減數(shù)列 D． 為遞減數(shù)列，為遞增數(shù)列 【答案】B 【解析】 【詳解】 b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1， ∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1， 又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴， 由題意，+an，∴bn+1+cn+1﹣2an=（bn+cn﹣2an）， ∴bn+cn﹣2an=0，∴bn+cn=2an=2a1，∴bn+cn=2a1， 由此可知頂點(diǎn)An在以Bn、Cn為焦點(diǎn)的橢圓上， 又由題意，bn+1﹣cn+1=，∴=a1﹣bn， ∴bn+1﹣a1=，∴bn﹣a1=， ∴，cn=2a1﹣bn=， ∴[][] =[﹣]單調(diào)遞增（可證當(dāng)n=1時(shí)＞0） 故選：B． 【點(diǎn)睛】 本題主要考查由數(shù)列遞推式求數(shù)列通項(xiàng)、三角形面積海倫公式，綜合考查學(xué)生分析解決問題的能力，有較高的思維抽象度，屬于難題. 5．已知數(shù)列的首項(xiàng)，滿足，則 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 由 ,兩式相加可得，利用“累加法”可得結(jié)果. 【詳解】 , , 兩式相加有； 且，， ，故答案為C. 【點(diǎn)睛】 由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)常用的方法有：（1）等差數(shù)列、等比數(shù)列（先根據(jù)條件判定出數(shù)列是等差、等比數(shù)列）；（2）累加法，相鄰兩項(xiàng)的差成等求和的數(shù)列可利用累加求通項(xiàng)公式；（3）累乘法，相鄰兩項(xiàng)的商是能求出積的特殊數(shù)列時(shí)用累乘法求通項(xiàng)；（4）構(gòu)造法. 6．已知數(shù)列的任意連續(xù)三項(xiàng)的和是18，并且，那么（ ） A． 10 B． 9 C． 5 D． 4 【答案】D 【解析】 分析：由題 ，，可導(dǎo)出. 詳解：由題 ，則 由，可得 ，由此可得. 故 故選D. 點(diǎn)睛：本題考查由數(shù)列的遞推關(guān)系得到數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，是基礎(chǔ)題. 7．已知數(shù)列中，，，則等于（ ） A． B． C． -1 D． 2 【答案】C 【解析】 【分析】 根據(jù)前幾項(xiàng)，確定數(shù)列的周期，然后求解數(shù)列的項(xiàng)． 【詳解】 數(shù)列{an}滿足，， 可得a2=﹣1，a3=2，a4=，所以數(shù)列的周期為3， =a3672+2= a2=﹣1， 故選：C． 【點(diǎn)睛】 數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用的方法有：①求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納猜想出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；②將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項(xiàng)． 8．在數(shù)列中，若，，則的值 A． B． C． D． 【答案】A 點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)列的綜合問題，其中解答中涉及到利用疊加法求解數(shù)列的通項(xiàng)公式和利用裂項(xiàng)法求解數(shù)列的和，正確選擇方法和準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及推理與運(yùn)算能力. 9．在數(shù)列中，，，，依次計(jì)算，，后，猜想的表達(dá)式是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】分析：由題意，分別求解出，由此可以猜想，得到數(shù)列的表達(dá)式. 詳解：由題意，數(shù)列中，， 所以 由此可推測數(shù)列的表達(dá)式為，故選A. 點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，其中根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系式，準(zhǔn)確求解數(shù)列的的值是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力. 10．在數(shù)列中，，則等于 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分析：已知逐一求解。 詳解：已知逐一求解。故選D 點(diǎn)睛：對(duì)于含有的數(shù)列，我們看作擺動(dòng)數(shù)列，往往逐一列舉出來觀察前面有限項(xiàng)的規(guī)律。 11．在數(shù)列中，，，則的值為（ ） A． B． 5 C． D． 以上都不對(duì) 【答案】B 【解析】分析：逐一寫出前面有限項(xiàng)觀察其規(guī)律。 詳解：，故以3為周期的擺動(dòng)數(shù)列， 故選B。 點(diǎn)睛：對(duì)于遞推表達(dá)式不好化簡的擺動(dòng)數(shù)列，我們往往逐一寫出前面有限項(xiàng)觀察其規(guī)律，若有周期，利用周期求解。 12．已知數(shù)列滿足：，.設(shè)，，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】分析：由a，可得數(shù)列 是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式；把數(shù)列的通項(xiàng)公式代入，結(jié)合數(shù)列{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列，可得 且對(duì)任意的恒成立，由此求得實(shí)數(shù)的取值范圍． 詳解：∵數(shù)滿足：，， 化為∴數(shù)列是等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為2， ∴ ， ∵ ，且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列， ∴ ，∴ ， 解得 ，由 ，可得 對(duì)于任意的*恒成立， ， 故答案為：. 故選B. 點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，訓(xùn)練了等比數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的函數(shù)特性，是中檔題． 13．一給定函數(shù)的圖象在下列四個(gè)選項(xiàng)中，并且對(duì)任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足.則該函數(shù)的圖象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由得，所以在上都成立， 即，，所以函數(shù)圖象都在的下方.故選D. 14．?dāng)?shù)列{an}滿足an+1＋(－1)n an ＝2n－1，則{an}的前64項(xiàng)和為（ ） A． 4290 B． 4160 C． 2145 D． 2080 【答案】D 【解析】分析：令a1=a，由遞推式，算出前幾項(xiàng)，得到相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和為2，偶數(shù)項(xiàng)中，每隔一項(xiàng)構(gòu)成公差為8的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的求和公式計(jì)算即可得到所求值． 詳解：令a1=a，由， 可得a2=1+a，a3=2﹣a，a4=7﹣a， a5=a，a6=9+a，a7=2﹣a，a8=15﹣a， a9=a，a10=17+a，a11=2﹣a，a12=24﹣a，… 可得（a1+a3）+（a5+a7）+（a9+a11）+…+（a61+a63） =2+2++2+…+2=216=32； a2+a6+a10+…+a62=（1+a）+（9+a）+…+（121+a） =16（1+a）+16158=976+16a； a4+a8+a12+…+a64=（7﹣a）+（15﹣a）+…+（127﹣a） =16（7﹣a）+16158=1072﹣16a； 即有前64項(xiàng)和為32+976+16a +1072﹣16a =2080． 故選：D． 點(diǎn)睛：數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用的方法有：①求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納猜想出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；②將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項(xiàng)． 15．已知數(shù)列滿足，，是數(shù)列的前項(xiàng)和，則（ ） A． B． C． 數(shù)列是等差數(shù)列 D． 數(shù)列是等比數(shù)列 【答案】B 【解析】分析：由，可知數(shù)列隔項(xiàng)成等比，再結(jié)合等比的有關(guān)性質(zhì)即可作出判斷. 詳解：數(shù)列滿足，， 當(dāng)時(shí)， 兩式作商可得：， ∴數(shù)列的奇數(shù)項(xiàng)，成等比， 偶數(shù)項(xiàng)，成等比， 對(duì)于A來說，，錯(cuò)誤； 對(duì)于B來說， ，正確； 對(duì)于C來說，數(shù)列是等比數(shù)列 ，錯(cuò)誤； 對(duì)于D來說，數(shù)列是等比數(shù)列，錯(cuò)誤， 故選：B 點(diǎn)睛：本題考查了由遞推關(guān)系求通項(xiàng)，常用方法有：累加法，累乘法，構(gòu)造等比數(shù)列法，取倒數(shù)法，取對(duì)數(shù)法等等，本題考查的是隔項(xiàng)成等比數(shù)列的方法，注意偶數(shù)項(xiàng)的首項(xiàng)與原數(shù)列首項(xiàng)的關(guān)系. 16．?dāng)?shù)列滿足，，則（ ） A． 2 B． C． D． -3 【答案】B 【解析】分析：由，得，求出前五項(xiàng)，可發(fā)現(xiàn)是周期為的周期數(shù)列，從而可得. 詳解：由，得， 由得，， ， 由是周期為的周期數(shù)列， 因?yàn)椋? ，故選B. 點(diǎn)睛：本題主要考查利用遞推公式求數(shù)列中的項(xiàng)，屬于中檔題.利用遞推關(guān)系求數(shù)列中的項(xiàng)常見思路為：（1）所求項(xiàng)的序號(hào)較小時(shí)，逐步遞推求出即可；（2）所求項(xiàng)的序數(shù)較大時(shí)，考慮證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列，或者是周期數(shù)列. 17．已知數(shù)列的任意連續(xù)三項(xiàng)的和是18，并且，那么（ ） A． 10 B． 9 C． 5 D． 4 【答案】D 點(diǎn)睛：本題考查由數(shù)列的遞推關(guān)系得到數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)，是基礎(chǔ)題. 18．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】分析：根據(jù)和項(xiàng)與通項(xiàng)關(guān)系求項(xiàng)之間遞推關(guān)系，再根據(jù)等比數(shù)列定義求通項(xiàng)，注意起始項(xiàng)是否滿足. 詳解：當(dāng)時(shí)，, 當(dāng)時(shí)，, 所以數(shù)列從第二項(xiàng)起成等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為3，所以當(dāng)時(shí)，, 所以， 選C. 點(diǎn)睛：給出與的遞推關(guān)系求，常用思路是：一是利用轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，再求其通項(xiàng)公式；二是轉(zhuǎn)化為的遞推關(guān)系，先求出與之間的關(guān)系，再求. 應(yīng)用關(guān)系式時(shí)，一定要注意分兩種情況，在求出結(jié)果后，看看這兩種情況能否整合在一起. 第II卷（非選擇題） 請(qǐng)點(diǎn)擊修改第II卷的文字說明 二、填空題 19．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，且，，則__________． 【答案】-601. 【解析】 【分析】 利用把題設(shè)中的遞推關(guān)系化為，由后者可以求出的通項(xiàng)． 【詳解】 ， 又，因此即， ， 因此，所以，故， 從而 即， 故，填． 【點(diǎn)睛】 一般地，數(shù)列的通項(xiàng)與前項(xiàng)和之間的關(guān)系式，利用它可把含的遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為只含或只含的遞推關(guān)系． 20．已知無窮數(shù)列具有如下性質(zhì)：①為正整數(shù)；②對(duì)于任意的正整數(shù)，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.在數(shù)列中，若當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則首項(xiàng)可取數(shù)值的個(gè)數(shù)為__________ 【答案】 【解析】 【分析】 我們用倒推的方式，當(dāng)時(shí)，，則或4，即2個(gè)；或6或7或8，即4個(gè)；或10或11或12或13或14或15或16，即8個(gè)，從而可得結(jié)論. 【詳解】 【點(diǎn)睛】 本題考查數(shù)列遞推式，考查學(xué)生分析解決問題的能力，以及歸納推理的運(yùn)用，屬于難題. 歸納推理的一般步驟: 一、通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì). 二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想）. 常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1) 數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2) 形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納. 21．意大利著名數(shù)學(xué)家斐波那契在研究兔子繁殖問題時(shí)，發(fā)現(xiàn)有這樣一列數(shù)；，其中從第三個(gè)數(shù)起，每一個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和，人們把這樣的一列數(shù)所組成的數(shù)列稱為“斐波那契數(shù)列”.那么是斐波那契數(shù)列中的第__________項(xiàng)． 【答案】2016 【解析】 【分析】 利用，結(jié)合疊加法，即可得出結(jié)論. 【詳解】 ， ， ， … ， ， . 故答案為：2016. 【點(diǎn)睛】 本題考查斐波那契數(shù)列，考查疊加法，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題. 22．已知數(shù)列與滿足，且，則__________． 【答案】 【解析】分析：令和，得，令，得①，令，得,②①-②得：，利用累加求通項(xiàng)即可. 詳解：由， 當(dāng),； 當(dāng),. 由， 令，得：,① 令，得：,② ①-②得： . 從而得：， ， …… . 上述個(gè)式子相加得：. 由①式可得：，得 . 所以. 故答案為：. 點(diǎn)睛：本題主要考慮數(shù)列的遞推關(guān)系求通項(xiàng)，關(guān)鍵在于找到數(shù)列與的隔項(xiàng)特征，屬于難題. 23．已知數(shù)列的首項(xiàng)，且，則數(shù)列的前項(xiàng)的和為__________． 【答案】. 【解析】分析：先證明為等比數(shù)列，求得，，利用等比數(shù)列求和公式可得結(jié)果. 詳解：由，得， 為等比數(shù)列，， ，，故答案為. 點(diǎn)睛：本題主要考查等比數(shù)列的定義以及已知數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)，屬于中檔題.由數(shù)列的遞推公式求通項(xiàng)常用的方法有：（1）等差數(shù)列、等比數(shù)列（先根據(jù)條件判定出數(shù)列是等差、等比數(shù)列）；（2）累加法，相鄰兩項(xiàng)的差成等求和的數(shù)列可利用累加求通項(xiàng)公式；（3）累乘法，相鄰兩項(xiàng)的商是能求出積的特殊數(shù)列時(shí)用累乘法求通項(xiàng)；（4）構(gòu)造法，形如的遞推數(shù)列求通項(xiàng)往往用構(gòu)造法，即將利用待定系數(shù)法構(gòu)造成的形式，再根據(jù)等比數(shù)例求出的通項(xiàng)，進(jìn)而得出的通項(xiàng)公式. 24．表示不超過的最大整數(shù).若 ， ， ， …， 則__________． 【答案】 【解析】分析：先根據(jù)條件，觀察，，…的起始數(shù)，項(xiàng)數(shù)的規(guī)律，再根據(jù)規(guī)律歸納推理，得到的起始數(shù)，項(xiàng)數(shù)，從而求得 詳解：第一個(gè)等式，起始數(shù)為，項(xiàng)數(shù)為， 第二個(gè)等式，起始數(shù)為，項(xiàng)數(shù)為， 第三個(gè)等式，起始數(shù)為，項(xiàng)數(shù)為， … 第個(gè)等式，起始數(shù)為，項(xiàng)數(shù)為， 故答案為， 點(diǎn)睛：本題是一道歸納推理的題目，需要結(jié)合題中的式子正確分析得出解題方法，本題的解題關(guān)鍵是得到的起始數(shù)，項(xiàng)數(shù)，即可求出答案 25．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，，且滿足，若，，則的最小值為__________． 【答案】-14 【解析】分析：由，即 利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得： 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．即可得出結(jié)論． 詳解：由由，即． ∴數(shù)列 為等差數(shù)列，首項(xiàng)為-5，公差為1． 可得：， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，． 已知 ， 則最小值為 即答案為-14. 點(diǎn)睛：本題考查了數(shù)列遞推關(guān)系、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式、數(shù)列的單調(diào)性，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 26．一牧羊人趕著一群羊通過4個(gè)關(guān)口，每過一個(gè)關(guān)口，守關(guān)人將拿走當(dāng)時(shí)羊的一半，然后退還一只給牧羊人，過完這些關(guān)口后，牧羊人只剩下3只羊，則牧羊人在過第1個(gè)關(guān)口前有_________只羊. 【答案】18 【解析】分析：根據(jù)題意，記此牧羊人通過第一個(gè)關(guān)口前、通過第二個(gè)關(guān)口前、…、通過第四個(gè)關(guān)口前剩下的羊只數(shù)能組成數(shù)列{an}（n=1，2，3，4），則問題轉(zhuǎn)化為求a1； 結(jié)合題中信息可得a2=a1+1，a3=a2+1，a4=a3+1，結(jié)合“過完這些關(guān)口后，只剩下3只羊”求出a4，進(jìn)而求出a1. 點(diǎn)晴：認(rèn)真讀題，根據(jù)牧羊人過關(guān)口剩下的羊的只數(shù)的特點(diǎn)可以建立數(shù)學(xué)模型，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)列問題進(jìn)行解答； 27．在數(shù)列中，，則數(shù)列的前10項(xiàng)的和等于_________。 【答案】 【解析】分析：先根據(jù)累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再根據(jù)裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前10項(xiàng)和． 詳解：∵， ∴， ∴ ． ∴， ∴數(shù)列的前10項(xiàng)的和． 點(diǎn)睛：使用裂項(xiàng)相消法求和時(shí)，要注意相消時(shí)消去了哪些項(xiàng)，保留了哪些項(xiàng)，切不可漏寫未被消去的項(xiàng)，另外相消后剩余的項(xiàng)有前后對(duì)稱的特點(diǎn)． 28．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知，猜想__________． 【答案】 【解析】分析：令，可求得，由，得， 兩式相減，得，可依次求出，觀察前四項(xiàng)，找出規(guī)律，從而可得結(jié)果. 詳解： 中令可求得 由，得， 兩式相減，得， 即， 可得 … 歸納可得，故答案為. 點(diǎn)睛：歸納推理的一般步驟: 一、通過觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì). 二、從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想）. 常見的歸納推理分為數(shù)的歸納和形的歸納兩類：(1) 數(shù)的歸納包括數(shù)的歸納和式子的歸納，解決此類問題時(shí)，需要細(xì)心觀察，尋求相鄰項(xiàng)及項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系，同時(shí)還要聯(lián)系相關(guān)的知識(shí)，如等差數(shù)列、等比數(shù)列等；(2) 形的歸納主要包括圖形數(shù)目的歸納和圖形變化規(guī)律的歸納. 29．已知數(shù)列的前項(xiàng)的和為，，，滿足，則__________． 【答案】 【解析】分析：由，得，即，則，說明數(shù)列是以2為公差的等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式，然后利用累加法求出的通項(xiàng)公式得答案. 詳解：由， 得， 即，則， 數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列， 則， ； ； ； … ， 累加得：， 則， . 故答案為：. 點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，把已知數(shù)列遞推式變形是關(guān)鍵，是中檔題. 30．已知數(shù)列滿足，且，則__________． 【答案】 【解析】分析：由已知條件得，從而得到是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，由此能求出. 詳解：數(shù)列滿足，且， ， ，又， 是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列， ， ， 故答案為：. 點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用. 三、解答題 31．設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知. （1）證明：為等比數(shù)列； （2）求的通項(xiàng)公式，并判斷是否成等差數(shù)列？ 【答案】（1）見解析；（2）見解析 【解析】 【分析】 （1）由已知可得：a3=7，a3=3a2﹣2，解得a2=3，可得an=2an﹣1+1，可得，即可證明． （2）由（1）知，，可得Sn，an．只要計(jì)算n+Sn﹣2an=0即可． 【點(diǎn)睛】 本題考查了等比數(shù)列與等差數(shù)列的定義通項(xiàng)公式與求和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 32．對(duì)任意函數(shù)，，可按如圖所示的程序框圖構(gòu)造一個(gè)數(shù)列發(fā)生器，記由數(shù)列發(fā)生器產(chǎn)生數(shù)列，. （Ⅰ）若定義函數(shù)，且輸入，請(qǐng)寫出數(shù)列的所有項(xiàng)； （Ⅱ）若定義函數(shù)，且輸入，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【答案】（1）數(shù)列只有三項(xiàng)：，，. (2）. 【解析】分析：（Ⅰ）把代入可得；把代入可得；把代入可得，即可得到數(shù)列的所有項(xiàng)； （Ⅱ）根據(jù)題意，由，求得，又由，化簡得，則數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，即可求解數(shù)列的通過公式. 詳解：（Ⅰ）函數(shù)的定義域，把代入可得； 把代入可得；把代入可得. 所以數(shù)列只有三項(xiàng)：，，. （Ⅱ）的定義域?yàn)?，若，則， 則，所以，即. 所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，所以， 即數(shù)列的通項(xiàng)公式. 點(diǎn)睛：本題主要考查了數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，以及等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式的應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理應(yīng)用，著重考查了分析問題和解答問題的能力，以及轉(zhuǎn)化思想方法的應(yīng)用，試題屬于中檔試題. 33．已知正項(xiàng)數(shù)列的前項(xiàng)和滿足. （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和； （Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，若對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【答案】（1） （2） 【解析】分析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)， 即是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，求出，得到，即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，利用錯(cuò)位相減法可求數(shù)列的前項(xiàng)和； （Ⅲ）由得，則， 利用基本不等式可求實(shí)數(shù)的取值范圍. 詳解： （Ⅰ）當(dāng)時(shí)， 當(dāng)時(shí)， 即是以為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，則 ∴. （Ⅱ）由（Ⅰ）知， 則 從而 兩式相減得 所以 （Ⅲ）由得，則， 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，有最大值， ∴. 點(diǎn)睛：補(bǔ)充庫存數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查錯(cuò)位相減法，考查基本不等式的應(yīng)用，是中檔題. 34．已知數(shù)列滿足， ． （Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （Ⅱ）設(shè)，求． 【答案】（1） （2）6 【解析】分析：（Ⅰ）利用累加法可求數(shù)列的通項(xiàng)公式，注意驗(yàn)證是否符合； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 由，由 則 由此可求． 詳解： （Ⅰ）由 有時(shí)， 化簡得到 而也滿足，故. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 由，由 . 點(diǎn)睛：本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，以及等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題. 35．?dāng)?shù)列滿足. （1）計(jì)算，并由此猜想通項(xiàng)公式； （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想. 【答案】（1）；（2）見解析 （2）當(dāng)時(shí)，，結(jié)論成立； 假設(shè)（為大于等于1的正整數(shù)）時(shí)，結(jié)論成立，即， 那么當(dāng)（大于等于1的正整數(shù)）時(shí) ，∴， ∴，即時(shí)，結(jié)論成立， 則. 點(diǎn)睛：此題主要考查歸納法的證明，歸納法一般三個(gè)步驟：（1）驗(yàn)證n=1成立；（2）假設(shè)n=k成立；（3）利用已知條件證明n=k+1也成立，從而求證，這是數(shù)列的通項(xiàng)一種常用求解的方法 36．?dāng)?shù)列滿足. （1）計(jì)算，并猜想的通項(xiàng)公式； （2）用數(shù)學(xué)歸納法證明（1）中的猜想. 【答案】(1) ；；；. (2)證明見解析. 【解析】分析：（1）將n進(jìn)行賦值，分別求得前三項(xiàng)的數(shù)值，猜想歸納處通項(xiàng)；（2）利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，證明猜想即可. 詳解： （1）當(dāng)時(shí)，， ∴； 當(dāng)時(shí)，， ∴； 當(dāng)時(shí)，， ∴； 由此猜想； （2）證明：①當(dāng)時(shí)，結(jié)論成立， ②假設(shè)（，且）時(shí)結(jié)論成立，即， 當(dāng)時(shí)， ， ∴，∴， ∴當(dāng)時(shí)結(jié)論成立， 由①②可知對(duì)于一切的自然數(shù)，成立. 點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是數(shù)列通項(xiàng)公式的求法；數(shù)列通項(xiàng)的求法中有常見的已知和的關(guān)系，求表達(dá)式，一般是寫出做差得通項(xiàng)，但是這種方法需要檢驗(yàn)n=1時(shí)通項(xiàng)公式是否適用；數(shù)列求和常用法有：錯(cuò)位相減，裂項(xiàng)求和，分組求和等 37．?dāng)?shù)列滿足. （1）計(jì)算； （2）并猜想的通項(xiàng)公式. 【答案】(1) ,,,,. (2) . 【解析】分析：（1）利用Sn=2n﹣an，代入計(jì)算，可得結(jié)論； （2）根據(jù)（1）中的特例猜想an=（n∈N*）． 詳解：（1）當(dāng)時(shí)，，∴； 當(dāng)時(shí)，，∴； 當(dāng)時(shí)，，∴； 當(dāng)時(shí)，，∴； 當(dāng)時(shí)，，∴； （2）由此猜想. 點(diǎn)睛：數(shù)列的遞推關(guān)系是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)給出的初始值和遞推關(guān)系可以依次寫出這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)，由遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，常用的方法有：①求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，再歸納猜想出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式；②將已知遞推關(guān)系式整理、變形，變成等差、等比數(shù)列，或用累加法、累乘法、迭代法求通項(xiàng)． 38．已知各項(xiàng)為正的數(shù)列滿足，. （1）若，求，，的值； （2）若，證明：. 【答案】(1) (2)見解析 【解析】分析：(1)由與遞推關(guān)系逐一求得各項(xiàng)；（2）分兩步：先證明，由易證明，再證明，易證，進(jìn)而由可得，從而得證. （2）時(shí)，. （i）先證：. ∵，∴， ∴與同號(hào)，又，∴，∴. （ii）再證：. ∵，∴，∴， 當(dāng)時(shí)，， ∴， ∴.又，∴. 點(diǎn)睛：證明數(shù)列型不等式手段多樣，本題利用循環(huán)遞縮的方式即，，由相鄰的關(guān)系循環(huán)利用此關(guān)系得到第n項(xiàng)與首相的關(guān)系. 39．已知數(shù)列滿足. （1）若（且），數(shù)列為遞增數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）若（且），數(shù)列為遞增數(shù)列，數(shù)列為遞減數(shù)列，且，求數(shù)列的通項(xiàng)公式. 【答案】（1）；（2）. 【解析】分析：（1）因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，故可得，轉(zhuǎn)化為，結(jié)合，可得數(shù)列是首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列，進(jìn)而可得結(jié)果；（2）利用和（1）前半部分相同的思想可得和成立，緊接著分為為奇數(shù)或者為偶數(shù)即可. 詳解：（1）因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列，所以，即， ，由條件，， 所以， 即數(shù)列是首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列， 則. （2）因?yàn)閿?shù)列為遞增數(shù)列， 所以，即， ，由條件， ， 得（絕對(duì)值大的必為正數(shù)），， 同理，數(shù)列為遞減數(shù)列，所以，即， ，由條件， ， ， 得（絕對(duì)值大的必為負(fù)數(shù)），， 而，則， 綜上可知，當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)，； 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，. 當(dāng)為奇數(shù)且時(shí)， ， 當(dāng)時(shí)，也成立， 即當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，， 當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，， 所以. 點(diǎn)睛：本題主要考查了通過數(shù)列的遞推式求其通項(xiàng)公式，解題的關(guān)鍵是充分運(yùn)用數(shù)列的單調(diào)性，難點(diǎn)在于等價(jià)構(gòu)造以及去絕對(duì)值分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情形，難度較大. 40．已知數(shù)列｛an｝的首項(xiàng)（a是常數(shù)），（）. （1）求，，，并判斷是否存在實(shí)數(shù)a使成等差數(shù)列.若存在，求出的通項(xiàng)公式；若不存在，說明理由； （2）設(shè)，（），為數(shù)列的前n項(xiàng)和，求 【答案】(1)見解析(2) 【解析】分析：（1）由及（）. 可分別求出，，，由及可知無解，從而得到結(jié)論； 詳解： （1）∵ ∴　　　　 　 　 　若是等差數(shù)列，則　但由，得a=0,矛盾. 　∴不可能是等差數(shù)列 (2)∵ ∴ (n≥2) ∴ 當(dāng)a=－1時(shí)，（n≥3）,得（n≥2） ∴ 當(dāng)a≠－1時(shí), b1≠0,從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列,時(shí) 當(dāng) 滿足上式，。 點(diǎn)睛：本題主要考查了等差數(shù)列等比數(shù)列的定義在數(shù)列中應(yīng)用，數(shù)列的遞推公式在數(shù)列的通項(xiàng)求解中的應(yīng)用，考查分類討論思想，屬于數(shù)列知識(shí)的綜合應(yīng)用．