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微型專題2　共點(diǎn)力平衡條件的應(yīng)用 [目標(biāo)定位]　1.進(jìn)一步理解共點(diǎn)力作用下物體的平衡條件.2.掌握矢量三角形法解共點(diǎn)力作用下的平衡問題.3.掌握動(dòng)態(tài)平衡問題的分析方法.4.掌握整體法和隔離法分析連接體平衡問題． 一、矢量三角形法(合成法)求解共點(diǎn)力平衡問題 物體受多力作用處于平衡狀態(tài)時(shí)，可用正交分解法求解，但當(dāng)物體受三個(gè)力作用而平衡時(shí)，可用矢量三角形法，即其中任意兩個(gè)力的合力與第三個(gè)力大小相等、方向相反，且這三個(gè)力首尾相接構(gòu)成封閉三角形，通過解三角形求解相應(yīng)力的大小和方向，當(dāng)這三個(gè)力組成含有特殊角(60、53、45)的直角三角形時(shí)尤為簡(jiǎn)單． 例1　在科學(xué)研究中，可以用風(fēng)力儀直接測(cè)量風(fēng)力的大小，其原理如圖1所示．儀器中一根輕質(zhì)金屬絲，懸掛著一個(gè)金屬球．無風(fēng)時(shí)，金屬絲豎直下垂；當(dāng)受到沿水平方向吹來的風(fēng)時(shí)，金屬絲偏離豎直方向一個(gè)角度．風(fēng)力越大，偏角越大，通過傳感器，就可以根據(jù)偏角的大小指示出風(fēng)力的大小，那么風(fēng)力大小F跟金屬球的質(zhì)量m、偏角θ之間有什么樣的關(guān)系呢？(試用矢量三角形法和正交分解法兩種方法求解) 圖1 解析　取金屬球?yàn)檠芯繉?duì)象，有風(fēng)時(shí)，它受到三個(gè)力的作用：重力mg、水平方向的風(fēng)力F和金屬絲的拉力T，如圖甲所示． 甲 這三個(gè)力是共點(diǎn)力，在這三個(gè)共點(diǎn)力的作用下金屬球處于平衡狀態(tài)，則這三個(gè)力的合力為零，可以根據(jù)任意兩力的合力與第三個(gè)力等大、反向求解，也可以用正交分解法求解． 解法一　矢量三角形法 如圖乙所示，風(fēng)力F和拉力T的合力與重力等大反向，由矢量三角形可得：F＝mgtan θ. 解法二　正交分解法 以金屬球?yàn)樽鴺?biāo)原點(diǎn)，取水平方向?yàn)閤軸，豎直方向?yàn)閥軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖丙所示．有水平方向的合力Fx合和豎直方向的合力Fy合分別等于零，即 Fx合＝Tsin θ－F＝0，F(xiàn)y合＝Tcos θ－mg＝0， 解得F＝mgtan θ. 由所得結(jié)果可見，當(dāng)金屬球的質(zhì)量m一定時(shí)，風(fēng)力F只跟偏角θ有關(guān)． 因此，根據(jù)偏角θ的大小就可以指示出風(fēng)力的大?。? 答案　F＝mgtan θ 針對(duì)訓(xùn)練　如圖2所示，光滑半球形容器固定在水平面上，O為球心，一質(zhì)量為m的小滑塊，在水平力F的作用下靜止于P點(diǎn)，設(shè)滑塊所受支持力為N，OP與水平方向的夾角為θ，下列關(guān)系正確的是(　　) 圖2 A．F＝ B．F＝mgtan θ C．N＝ D．N＝mgtan θ 答案　A 解析　對(duì)滑塊進(jìn)行受力分析如圖，滑塊受到重力mg、支持力N、水平推力F三個(gè)力作用． 由共點(diǎn)力的平衡條件知，F(xiàn)與mg的合力F′與N等大、反向．根據(jù)平行四邊形定則可知N、mg和合力F′構(gòu)成直角三角形，解直角三角形可求得：F＝，N＝.所以正確選項(xiàng)為A. 二、動(dòng)態(tài)平衡問題 所謂動(dòng)態(tài)平衡問題是指通過控制某些物理量，使物體的狀態(tài)發(fā)生緩慢變化，而在這個(gè)過程中物體又始終處于一系列的平衡狀態(tài)，這類問題的解決方法一般用圖解法和相似三角形法． 1．圖解法 (1)特征：物體受三個(gè)力作用，這三個(gè)力中，一個(gè)是恒力，大小、方向均不變化，另兩個(gè)是變力，其中一個(gè)是方向不變的力，另一個(gè)是大小、方向均變化的力． (2)處理方法：把這三個(gè)力平移到一個(gè)矢量三角形中，利用圖解法判斷兩個(gè)變力大小、方向的變化． 2．相似三角形法 (1)特征：物體一般也受三個(gè)力作用，這三個(gè)力中，一個(gè)是恒力，另兩個(gè)是大小、方向都變化的力． (2)處理方法：把這三個(gè)力平移到一個(gè)矢量三角形中，找到題目情景中的結(jié)構(gòu)三角形，這時(shí)往往三個(gè)力組成的力三角形與此結(jié)構(gòu)三角形相似．利用三角形的相似比判斷出這兩個(gè)變力大小的變化情況． 例2　如圖3所示，一個(gè)光滑的小球，放置在墻壁和斜木板之間，當(dāng)斜木板和豎直墻壁的夾角θ角緩慢增大時(shí)(θ＜90)，則(　　) 圖3 A．墻壁受到的壓力減小，木板受到的壓力減小 B．墻壁受到的壓力增大，木板受到的壓力減小 C．墻壁受到的壓力增大，木板受到的壓力增大 D．墻壁受到的壓力減小，木板受到的壓力增大 解析　以小球?yàn)檠芯繉?duì)象，處于平衡狀態(tài)， 根據(jù)受力平衡，有：由圖可知， 墻壁給球的壓力F2逐漸減小，斜木板給球的支持力F1逐漸減小， 根據(jù)牛頓第三定律可知墻壁受到的壓力減小，木板受到的壓力減小，故B、C錯(cuò)誤，A正確． 答案　A 例3　如圖4所示，固定在水平面上的光滑半球，球心O的正上方固定一個(gè)光滑小定滑輪，細(xì)繩一端拴一小球，小球置于半球面上的A點(diǎn)，另一端繞過定滑輪．今緩慢拉繩使小球從A點(diǎn)沿半球面滑到半球頂點(diǎn)，則此過程中，半球?qū)π∏虻闹С至Υ笮及細(xì)繩的拉力F大小的變化情況是(　　) 圖4 A．N變大，F(xiàn)變大 B．N變小，F(xiàn)變大 C．N不變，F(xiàn)變小 D．N變大，F(xiàn)變小 解析　小球受力如圖甲所示，F(xiàn)、N、G構(gòu)成一封閉三角形． 由圖乙可知＝＝ F＝G　N＝G AB變短，OB不變，OA不變， 故F變小，N不變． 答案　C 三、整體法與隔離法分析連接體平衡問題 1．隔離法：為了弄清系統(tǒng)(連接體)內(nèi)某個(gè)物體的受力和運(yùn)動(dòng)情況．一般要把這個(gè)物體隔離出來進(jìn)行受力分析，然后利用平衡條件求解． 2．整體法：當(dāng)只涉及系統(tǒng)而不涉及系統(tǒng)內(nèi)部某些物體的受力和運(yùn)動(dòng)時(shí)，一般可把整個(gè)系統(tǒng)看成一個(gè)物體，畫出系統(tǒng)整體的受力圖，然后利用平衡條件求解． 注意　隔離法和整體法常常需要交叉運(yùn)用，從而優(yōu)化解題思路和方法，使解題簡(jiǎn)捷明快． 例4　如圖5所示，傾角為α、質(zhì)量為M的斜面體靜止在水平桌面上，質(zhì)量為m的木塊靜止在斜面體上．下列結(jié)論正確的是(　　) 圖5 A．木塊受到的摩擦力大小是mgcos α B．木塊對(duì)斜面體的壓力大小是mgsin α C．桌面對(duì)斜面體的摩擦力大小是mgsin αcos α D．桌面對(duì)斜面體的支持力大小是(M＋m)g 解析　先選木塊和斜面整體為研究對(duì)象，由于兩者都處于平衡狀態(tài)，故斜面不受到地面的摩擦力，且地面對(duì)斜面體的支持力等于總重力，C項(xiàng)錯(cuò)誤，D項(xiàng)正確；再選木塊為研究對(duì)象，木塊受到重力、支持力和斜面對(duì)它的滑動(dòng)摩擦力，木塊的重力平行于斜面方向的分力為mgsin α，垂直于斜面方向的分力為mgcos α.由平衡條件可得木塊受到的摩擦力大小是f＝ mgsin α，支持力N＝mgcos α，由牛頓第三定律，木塊對(duì)斜面體的壓力大小是mgcos α，選項(xiàng)A、B錯(cuò)誤． 答案　D 1．矢量三角形法(合成法)． 2．動(dòng)態(tài)平衡問題：(1)圖解法；(2)相似三角形法． 3．整體法與隔離法分析連接體平衡問題. 1．(矢量三角形法)用三根輕繩將質(zhì)量為m的物塊懸掛在空中，如圖6所示．已知ac和bc與豎直方向的夾角分別為30和60，則ac繩和bc繩中的拉力分別為(　　) 圖6 A.mg，mg B.mg，mg C.mg，mg D.mg，mg 答案　A 解析　分析結(jié)點(diǎn)c的受力情況如圖，設(shè)ac繩受到的拉力為F1、bc繩受到的拉力為F2，根據(jù)平衡條件知F1、F2的合力F與重力mg等大、反向，由幾何知識(shí)得 F1＝Fcos 30＝mg F2＝Fsin 30＝mg 選項(xiàng)A正確． 2．(動(dòng)態(tài)平衡問題)(多選)用細(xì)繩OA、OB懸掛一重物，OB水平，O為半圓形支架的圓心，懸點(diǎn)A和B在支架上．懸點(diǎn)A固定不動(dòng)，將懸點(diǎn)B從圖7所示位置逐漸移到C點(diǎn)的過程中，試分析OA繩和OB繩中的拉力變化情況為(　　) 圖7 A．OA繩中的拉力逐漸減小 B．OA繩中的拉力逐漸增大 C．OB繩中的拉力逐漸減小 D．OB繩中的拉力先減小后增大 答案　AD 解析　如圖所示，在支架上選取三個(gè)點(diǎn)B1、B2、B3，當(dāng)懸點(diǎn)B分別移動(dòng)到B1、B2、B3各點(diǎn)時(shí)，OA、OB中的拉力分別為TA1、TA2、TA3和TB1、TB2、TB3，從圖中可以直觀地看出，TA逐漸變小，且方向不變；而TB先變小后變大，且方向不斷改變；當(dāng)TB與TA垂直時(shí)，TB最小，然后TB又逐漸增大．故A、D正確． 3．(整體法與隔離法)(多選)如圖8所示，質(zhì)量分別為m1、m2的兩個(gè)物體通過輕彈簧連接，在力F的作用下一起沿水平方向做勻速直線運(yùn)動(dòng)(m1在地面上，m2在空中)，力F與水平方向成θ角．則m1所受支持力N和摩擦力f正確的是(　　) 圖8 A．N＝m1g＋m2g－Fsin θ B．N＝m1g＋m2g－Fcos θ C．f＝Fcos θ D．f＝Fsin θ 答案　AC 解析　將m1、m2和彈簧看做一個(gè)整體，受力分析如圖所示． 根據(jù)平衡條件得f＝Fcos θ N＋Fsin θ＝(m1＋m2)g 則N＝(m1＋m2)g－Fsin θ 故選項(xiàng)A、C正確． 4．(矢量三角形法)如圖9所示，電燈的重力為20 N，繩AO與天花板間的夾角為45，繩BO水平，求繩AO、BO上的拉力的大?。?請(qǐng)分別用兩種方法求解) 圖9 答案　20 N　20 N 解析　解法一　矢量三角形法(力的合成法) O點(diǎn)受三個(gè)力作用處于平衡狀態(tài)，如圖所示， 可得出FA與FB的合力F合方向豎直向上，大小等于FC. 由三角函數(shù)關(guān)系可得 F合＝FAsin 45＝FC＝G燈 FB＝FAcos 45 解得FA＝20 N，F(xiàn)B＝20 N 故繩AO、BO上的拉力分別為20 N、20 N. 解法二　正交分解法 如圖所示，將FA進(jìn)行正交分解，根據(jù)物體的平衡條件知 FAsin 45＝FC FAcos 45＝FB FC＝G燈 代入數(shù)據(jù)解得：FA＝20 N，F(xiàn)B＝20 N. 題組一　動(dòng)態(tài)平衡問題 1．如圖1，電燈懸掛于兩墻之間，更換水平繩OA使連結(jié)點(diǎn)A向上移動(dòng)而保持O點(diǎn)的位置不變，則A點(diǎn)向上移動(dòng)時(shí)(　　) 圖1 A．繩OA的拉力逐漸增大 B．繩OA的拉力逐漸減小 C．繩OA的拉力先增大后減小 D．繩OA的拉力先減小后增大 答案　D 解析　對(duì)點(diǎn)O受力分析，如圖所示，通過作圖，可以看出繩OA的張力先變小后變大，故A、B、C錯(cuò)誤，D正確． 2．(多選)如圖2所示，用豎直擋板將光滑小球夾在擋板和斜面之間，若逆時(shí)針緩慢轉(zhuǎn)動(dòng)擋板，使其由豎直轉(zhuǎn)至水平的過程中，以下說法正確的是(　　) 圖2 A．擋板對(duì)小球的壓力先增大后減小 B．擋板對(duì)小球的壓力先減小后增大 C．斜面對(duì)小球的支持力先減小后增大 D．斜面對(duì)小球的支持力一直逐漸減小 答案　BD 解析　取小球?yàn)檠芯繉?duì)象，小球受到重力G、擋板對(duì)小球的支持力N1和斜面對(duì)小球的支持力N2三個(gè)力作用，如圖所示，N1和N2的合力與重力大小相等，方向相反，N2總垂直接觸面(斜面)，方向不變，根據(jù)圖解可以看出，在N1方向改變時(shí)，其大小(箭頭)只能沿PQ線變動(dòng)．顯然在擋板移動(dòng)過程中，N1先變小后變大，N2一直減?。? 3.一輕桿BO，其O端用光滑鉸鏈鉸于固定豎直桿AO上，B端掛一重物，且系一細(xì)繩，細(xì)繩跨過桿頂A處的光滑小滑輪，用力F拉住，如圖3所示．現(xiàn)將細(xì)繩緩慢往左拉，使輕桿BO與桿AO間的夾角θ逐漸減小，則在此過程中，拉力F及輕桿BO對(duì)繩的支持力N的大小變化情況是(　　) 圖3 A．N先減小，后增大 B．N始終不變 C．F先減小，后增大 D．F始終不變 答案　B 解析　取BO桿的B端為研究對(duì)象，受到繩子拉力(大小為F)、BO桿的支持力N和懸掛重物的繩子的拉力(大小為G)，如圖所示，得到一個(gè)力三角形(如圖中畫斜線 部分)，此力三角形與幾何三角形OBA相似，可利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例來解． 如圖所示，力三角形與幾何三角形OBA相似， 設(shè)AO高為H，BO長(zhǎng)為L(zhǎng)，繩長(zhǎng)為l，則由對(duì)應(yīng)邊成比例可得： ＝＝ 式中G、H、L均不變，l逐漸變小，所以可知N不變，F(xiàn)逐漸變?。蔬xB. 4．(多選)如圖4所示，用細(xì)繩懸掛一個(gè)小球，小球在水平拉力F的作用下從平衡位置P點(diǎn)緩慢地沿圓弧移動(dòng)到Q點(diǎn)，在這個(gè)過程中，繩的拉力F′和水平拉力F的大小變化情況是(　　) 圖4 A．F′不斷增大 B．F′不斷減小 C．F不斷減小 D．F不斷增大 答案　AD 解析　如圖所示，利用圖解法可知F′不斷增大，F(xiàn)不斷增大． 5．置于水平地面上的物體受到水平作用力F處于靜止?fàn)顟B(tài)，如圖5所示，保持作用力F大小不變，將其沿逆時(shí)針方向緩緩轉(zhuǎn)過180，物體始終保持靜止，則在此過程中地面對(duì)物體的支持力N和地面給物體的摩擦力f的變化情況是(　　) 圖5 A．N先變小后變大，f不變 B．N不變，f先變小后變大 C．N、f都是先變大后變小 D．N、f都是先變小后變大 答案　D 解析　力F與水平方向的夾角θ先增大后減小，水平方向上，F(xiàn)cos θ－f＝0，f＝Fcos θ；豎直方向上，N＋Fsin θ－mg＝0，N＝mg－Fsin θ，故隨θ變化，f、N都是先減小后增大． 題組二　整體法與隔離法 6.兩剛性球a和b的質(zhì)量分別為ma和mb、直徑分別為da和db(da＞db)將a、b球依次放入一豎直放置、平底的圓筒內(nèi)，如圖6所示．設(shè)a、b兩球靜止時(shí)圓筒側(cè)面對(duì)兩球的彈力大小分別為F1和F2，筒底對(duì)球a的支持力大小為F.已知重力加速度大小為g.若所有接觸都是光滑的，則(　　) 圖6 A．F＝(ma＋mb)g　F1＝F2 B．F＝(ma＋mb)g　F1≠F2 C．mag＜F＜(ma＋mb)g D．mag＜F＜(ma＋mb)g，F(xiàn)1≠F2 答案　A 解析　對(duì)兩剛性球a和b整體受力分析，由豎直方向受力平衡可知F＝(ma＋mb)g、水平方向受力平衡有F1＝F2. 7．(多選)如圖7所示，測(cè)力計(jì)、繩子和滑輪的質(zhì)量都不計(jì)，摩擦力不計(jì)．物體A重40 N，物體B重10 N，以下說法正確的是(　　) 圖7 A．地面對(duì)A的支持力是30 N B．物體A受到的合力是30 N C．測(cè)力計(jì)示數(shù)20 N D．測(cè)力計(jì)示數(shù)30 N 答案　AC 8．(多選)在粗糙水平面上放著一個(gè)質(zhì)量為M的三角形木塊abc，在它的兩個(gè)粗糙斜面上分別放有質(zhì)量為m1和m2的兩個(gè)物體，m1>m2，如圖8所示，若三角形木塊和兩物體都是靜止的，則粗糙水平面對(duì)三角形木塊(　　) 圖8 A．無摩擦力的作用 B．有摩擦力的作用，摩擦力的方向水平向左 C．有摩擦力的作用，但摩擦力的方向不能確定，因m1、m2、θ1、θ2的數(shù)值均未給出 D．地面對(duì)三角形木塊的支持力大小為(m1＋m2＋M)g 答案　AD 解析　由于三角形木塊和斜面上的兩物體都靜止， 可以把它們看成一個(gè)整體，如圖所示， 整體豎直方向受到重力(m1＋m2＋M)g和支持力N作用處于平衡狀態(tài)， 故地面對(duì)整體的支持力大小為(m1＋m2＋M)g，故D選項(xiàng)正確． 水平方向無任何滑動(dòng)趨勢(shì)，因此不受地面的摩擦力作用．故A選項(xiàng)正確． 9．(多選)如圖9所示，在粗糙水平地面上放著一個(gè)截面為四分之一圓弧的柱狀物體A，A的左端緊靠豎直墻，A與豎直墻壁之間放一光滑球B，整個(gè)裝置處于靜止?fàn)顟B(tài)．若把A向右移動(dòng)少許后，它們?nèi)蕴幱陟o止?fàn)顟B(tài)，則(　　) 圖9 A．B對(duì)墻的壓力減小 B．A與B之間的作用力增大 C．地面對(duì)A的摩擦力減小 D．A對(duì)地面的壓力不變 答案　ACD 解析　設(shè)物體A對(duì)球B的支持力為F1，豎直墻對(duì)球B的彈力為F2，F(xiàn)1與豎直方向的夾角θ因物體A右移而減?。畬?duì)球B受力分析如圖所示， 由平衡條件得：F1cos θ＝mBg，F(xiàn)1sin θ＝F2，解得F1＝，F(xiàn)2＝mBgtan θ， θ減小，F(xiàn)1減小，F(xiàn)2減小，選項(xiàng)A對(duì)，B錯(cuò)；對(duì)A、B整體受力分析可知，豎直方向，地面對(duì)整體的支持力N＝(mA＋mB)g，與θ無關(guān)，即A對(duì)地面的壓力不變，選項(xiàng)D對(duì)；水平方向，地面對(duì)A的摩擦力f＝F2，因F2減小，故f減小，選項(xiàng)C對(duì)． 題組三　矢量三角形法求解共點(diǎn)力的平衡問題 10．一個(gè)物體受到三個(gè)力的作用，三力構(gòu)成的矢量圖如圖所示，則能夠使物體處于平衡狀態(tài)的是(　　) 答案　A 11．(多選)如圖10所示，兩根等長(zhǎng)的輕繩將日光燈懸掛在天花板上，兩繩與豎直方向的夾角都為45，日光燈保持水平，所受重力為G.則(　　) 圖10 A．兩繩對(duì)日光燈拉力的合力大小為G B．兩繩的拉力和重力不是共點(diǎn)力 C．兩繩的拉力大小分別為G和G D．兩繩的拉力大小分別為和 答案　AC 解析　如圖，兩繩拉力的作用線與重力作用線的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，這三個(gè)力為共點(diǎn)力，B選項(xiàng)錯(cuò)誤； 由于日光燈在兩繩拉力和重力作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)，所以兩繩的拉力的合力與重力G等大反向，A選項(xiàng)正確； 由于兩個(gè)拉力的夾角成直角， 且都與豎直方向成45角， 則由力的平行四邊形定則可知 G＝，F(xiàn)1＝F2， 故F1＝F2＝G，C選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)錯(cuò)誤． 12.如圖11所示，一個(gè)重為100 N、質(zhì)量分布均勻的小球被夾在豎直的墻壁和A點(diǎn)之間，已知球心O與A點(diǎn)的連線與豎直方向成θ角，且θ＝60，所有接觸點(diǎn)和面均不計(jì)摩擦．試求墻面對(duì)小球的支持力F1和A點(diǎn)對(duì)小球的壓力F2. 圖11 答案　100 N，方向垂直墻壁向左　200 N，方向由A指向O 解析　如圖，小球受重力mg、豎直墻面對(duì)球的彈力F1和A點(diǎn)對(duì)球的彈力F2作用． 由三力平衡條件知F1與F2的合力與mg等大反向， 解直角三角形得F1＝mgtan θ＝100 N， 方向垂直墻壁向左F2＝＝200 N，方向由A指向O 13．滑板運(yùn)動(dòng)是一項(xiàng)非常刺激的水上運(yùn)動(dòng)．研究表明，在進(jìn)行滑板運(yùn)動(dòng)時(shí)，水對(duì)滑板的作用力N垂直于板面，大小為kv2，其中v為滑板速率(水可視為靜止)．某次運(yùn)動(dòng)中，在水平牽引力作用下，當(dāng)滑板和水面的夾角θ＝37時(shí)(如圖12)，滑板做勻速直線運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)的k＝54 kg/m，人和滑板的總質(zhì)量為108 kg，試求：(重力加速度g取10 m/s2，sin 37取，忽略空氣阻力) 圖12 (1)水平牽引力的大??； (2)滑板的速率． 答案　(1)810 N　(2)5 m/s 解析　(1)以滑板和運(yùn)動(dòng)員整體為研究對(duì)象，其受力如圖所示(三力組成矢量三角形) 由共點(diǎn)力平衡條件可得 Ncos θ＝mg ① Nsin θ＝F ② 聯(lián)立①②得F＝810 N (2)N＝，N＝kv2，解得v＝ ＝5 m/s