《2018高中數(shù)學 初高中銜接讀本 專題5.2 三角形的重心、垂心、外心和內心高效演練學案.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018高中數(shù)學 初高中銜接讀本 專題5.2 三角形的重心、垂心、外心和內心高效演練學案.doc（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第2講 三角形的重心、垂心、外心和內心 三角形是最重要的基本平面圖形，它包含了豐富的知識，也蘊含了深刻的思想，很多較復雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題。三角形與高中三角函數(shù)、向量、解三角形及立體幾何等部分都有密切的聯(lián)系，因而扎實掌握三角形的相關知識是進一步學習的基礎。 初中階段大家已經學習了三角形邊上中線、高線、垂直平分線及內角平分線的一些性質。如三角形角平分線上的點到這個角兩邊的距離相等；三角形邊的垂直平分線上的點到這條邊兩個端點的距離相等，諸如此類。 在高中學習中，還會涉及到三角形三條中線交點（重心）、三條高線交點（垂心）、三條邊的垂直平分線交點（外心）及三條內角平分線交點（內心）的問題，因而有必要進一步了解它們的性質。 【知識梳理】 三角形的四心 (1)角平分線：三角形的三條角平分線交于一點，這點叫做三角形的內心，它到三角形各邊的距離相等． (2)高線：三角形的三條高線交于一點，這點叫做三角形的垂心． (3)中線：三角形的三條中線交于一點，這點叫做三角形的重心． (4)垂直平分線：三角形的三條垂直平分線交于一點，這點叫做三角形的外心，外心到三角形三個頂點的距離相等． 【高效演練】 1．如圖所示，在△ABC中，點P是△ABC的內心，則∠PBC＋∠PCA＋∠PAB＝ 　 度． 2．設為的重心，且，，，則的面積為 　 ． 【解析】由，，，有， 知兩中線，垂直． 于是． 【答案】18 3．已知、分別為銳角的垂心和外心，，垂足為，則________． 【解析】可延長交的外接圓于，證明四邊形為平行四邊形即可． 【答案】2∶1 4. 如圖，正方形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，在OB上任取一點P，連結AP，過D作AP垂線 交OA于Q點． 求證：OP＝OQ． 【解析】 在△APD中，由AO⊥PD，DQ⊥AP可知，點Q是△APD的垂心，連結PQ，必有PQ⊥AD． ∵AB⊥AD，∴PQ∥BA， ∴ 又∵OA＝OB，∴OP＝OQ． 5. 如圖3，在△ABC中，AB＝AC，過BC的中點D作DE⊥AC于點E，G是DE的中點， 求證：AG⊥BE． 6.求證：三角形的三條高交于一點. 已知 中，AD與BE交于H點. 求證 . 證明 以CH為直徑作圓， 在以CH為直徑的圓上， . 同理，E、D在以AB為直徑的圓上，可得. ， 又與有公共角，，即. 7.（1）設G是△ABC的重心，證明：△GBC，△GAC，△GAB的面積相等． （2）利用（1）的結論，證明：三角形頂點到重心的距離，等于重心到對邊中點的距離的2倍． 【分析】（1）設三條中線為AD，BE，CF，三中線交于G點，G是重心，由同底等高得到S△GBC=2S△GCD，S△GAC=2S△GCD，由此能證明△GBC，△GAC，△GAB的面積相等． （2）設三條中線為AD，BE，CF，三中線交于G點，G是重心，由S△GBC=S△GAC，S△GBC=2S△GCD，得到S△GAC=2S△GCD，由此能證明三角形頂點到重心的距離，等于重心到對邊中點的距離的2倍． （2）證明：設三條中線為AD，BE，CF，三中線交于G點，G是重心， ∵△GBC，△GAC，△GAB的面積相等， ∴S△GBC=S△GAC， ∵BD=CD，∴S△GBC=2S△GCD， ∴S△GAC=2S△GCD， ∵△AGC和△DGC在分別以AG和DG為底時，高都是點C到邊AD的距離， ∴AG=2GD，同理可證CG=2GF，BG=2GE， ∴三角形頂點到重心的距離，等于重心到對邊中點的距離的2倍． 【點評】本題考查三角形面積相等的證明，考查三角形重心定理的證明，解題時要注意三角形面積公式的合理運用 8.已知三角形的三邊a，b，c，三角形的重心到外接圓的距離為d，外接圓半徑為R，求證：a2+b2+c2+9d2=9R2． 【分析】以△ABC的外心為原點建立坐標系，可令A、B、C的坐標依次是：（Rcosα，Rsinα）、（Rcosβ，Rsinβ）、（Rcosγ，Rsinγ）．令AB中點為D、△ABC的重心為G（m，n），求出m，n，進而可證明a2+b2+c2+9d2=9R2． 于是： a2=（Rcosβ﹣Rcosγ）2+（Rsinβ﹣Rsinγ）2=R2（2﹣2cosβcosγ﹣2sinβsinγ） b2=（Rcosα﹣Rcosγ）2+（Rsinα﹣Rsinγ）2=R2（2﹣2cosαcosγ﹣2sinαsinγ）， c2=（Rcosα﹣Rcosβ）2+（Rsinα﹣Rsinβ）2=R2（2﹣2cosαcosβ﹣2sinαsinβ）． 9d2=9[（m﹣0）2+（n﹣0）2]=9{[R（cosα+cosβ+cosγ）﹣0]2+[R（sinα+sinβ+sinγ）﹣0]2} =R2[（cosα+cosβ+cosγ）2+（sinα+sinβ+sinγ）2] =R2（3+2cosαcosβ+2cosβcosγ+2cosαcosγ+2sinαsinβ+2sinβsinγ+2sinαsinγ）． ∴a2+b2+c2+9d2=9R2． 9.一條直線截三角形，把周長與面積分為對應的兩部分：與，與． 求證：直線過三角形內心的充要條件是． 【解析】證明： 必要性：如圖1，設是的內心，過的直線交于，交于． 記，， ，，， 內切圓半徑為，則， ． 由，有． 充分性：設直線把的周長與面積分為對應的兩部分成等比， 且與交于，與交，與的平分線交于． 記，，，，， 到，的距離為，到的距離為． 由得 注意到，從而有，即， 故為的內心，即直線過內心．