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第一章 導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用
章末檢測(cè)卷
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的)
1．下列各式正確的是( )
A．(sina)′＝cosa(a為常數(shù))
B．(cosx)′＝sinx
C．(sinx)′＝cosx
D．(x－5)′＝－x－6
解析：由導(dǎo)數(shù)公式知選項(xiàng)A中(sina)′＝0；選項(xiàng)B中(cosx)′＝－sinx；選項(xiàng)D中(x－5)′＝－5x－6.
答案：C
2．若曲線y＝x2＋ax＋b在點(diǎn)(0，b)處的切線方程是x－y＋1＝0，則( )
A．a(chǎn)＝1，b＝1 B．a(chǎn)＝－1，b＝1
C．a(chǎn)＝1，b＝－1 D．a(chǎn)＝－1，b＝－1
解析：y′＝2x＋a，∴y′|x＝0＝a＝1.將點(diǎn)(0，b)代入切線方程，得b＝1.
答案：A
3．已知某物體運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間的關(guān)系為s＝t3＋lnt，則該物體在t＝4時(shí)的速度為( )
A. B.
C. D.
解析：由s＝t3＋lnt，得s′＝t2＋，所以s′|t＝4＝42＋＝.
答案：C
4．設(shè)f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，則x0＝( )
A．e2 B．e
C. D．ln2
解析：f′(x)＝(xlnx)′＝lnx＋1，
f′(x0)＝lnx0＋1＝2?x0＝e.
答案：B
5．函數(shù)f(x)的圖象如圖所示，下列數(shù)值的排序正確的是( )
A．0
f′(3)>0，
設(shè)A(2，f(2))，B(3，f(3))，
則kAB＝，
由圖象知00；當(dāng)x>16時(shí)，T′<0，所以當(dāng)x＝16時(shí)，T取得最大值，故日產(chǎn)量應(yīng)定為16件．
答案：B
9．由函數(shù)y＝－x的圖象，直線x＝1，x＝0，y＝0所圍成的圖形的面積可表示為( )
A.(－x)dx B.|－x|dx
C.－1xdx D．－xdx
解析：由定積分的幾何意義可知所求圖形的面積為S＝|－x|dx.
答案：B
10．一物體在力F(x)＝4x－1(單位：N)的作用下，沿著與力F相同的方向，從x＝1處運(yùn)動(dòng)到x＝3處(單位：m)，則力F所作的功為( )
A．10 J B．14 J
C．7 J D．28 J
解析：W＝F(x)dx
＝(4x－1)dx＝(2x2－x)
＝(232－3)－(212－1)＝14 J.
答案：B
11．若兩曲線y＝x2與y＝cx3(c>0)圍成圖形的面積是，則c等于( )
A. B.
C．1 D.
解析：由得x＝0或x＝(c>0)，
∴∫0(x2－cx3)dx＝.解得c＝.
答案：B
12．若不等式2xlnx≥－x2＋ax－3對(duì)x∈(0，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )
A．(－∞，0) B．(－∞，4]
C．(0，＋∞) D．[4，＋∞)
解析：2xlnx≥－x2＋ax－3(x>0)恒成立，即a≤2lnx＋x＋(x>0)恒成立，設(shè)h(x)＝2lnx＋x＋(x>0)，則h′(x)＝.當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h′(x)<0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)>0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增，所以h(x)min＝h(1)＝4.所以a≤h(x)min＝4.故a的取值范圍是(－∞，4]．
答案：B
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．請(qǐng)把正確答案填在題中橫線上)
13．某物體做勻速運(yùn)動(dòng)，其運(yùn)動(dòng)方程是s＝vt＋b，則該物體在運(yùn)動(dòng)過程中，其平均速度與任何時(shí)刻的瞬時(shí)速度的關(guān)系是________．
解析：v0＝li ＝li
＝li ＝li ＝v.
答案：相等
14．函數(shù)f(x)＝(x∈[－2,2])的最大值是________．最小值是________．
解析：∵f′(x)＝＝，令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1.
又∵f(1)＝2，f(－1)＝－2，f(2)＝，f(－2)＝－，∴f(x)在[－2,2]上的最大值為2，最小值為－2.
答案：2?。?
15．若dx＝3＋ln2，則a的值是________．
解析：dx＝(x2＋lnx)
＝(a2＋lna)－(1＋ln1)＝(a2－1)＋lna＝3＋ln2.
∴∴a＝2.
答案：2
16．若函數(shù)f(x)＝x＋alnx不是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．
解析：由題意知x>0，f′(x)＝1＋，要使函數(shù)f(x)＝x＋alnx不是單調(diào)函數(shù)，則需方程1＋＝0在x>0上有解，即x＝－a，所以a<0.
答案：(－∞，0)
三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(10分)已知函數(shù)f(x)＝x3＋x－16.
(1)求曲線y＝f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線方程；
(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經(jīng)過原點(diǎn)，求直線l的方程及切點(diǎn)坐標(biāo)．
解析：(1)∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，
∴f(x)在點(diǎn)(2，－6)處的切線的斜率為
k＝f′(2)＝13，
∴切線的方程為y＝13(x－2)＋(－6)，
即y＝13x－32.
(2)方法一：設(shè)切點(diǎn)為(x0，y0)，
則直線l的斜率為f′(x0)＝3x＋1，
∴直線l的方程為
y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，
又∵直線l過點(diǎn)(0,0)，
∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，
整理得，x＝－8，∴x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3(－2)2＋1＝13.
∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26)．
方法二：由題意知，直線l的斜率存在．
設(shè)直線l的方程為y＝kx，切點(diǎn)為(x0，y0)，
則k＝＝，
又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，
∴＝3x＋1，
解之得x0＝－2，
∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，
k＝3(－2)2＋1＝13.
∴直線l的方程為y＝13x，切點(diǎn)坐標(biāo)為(－2，－26)．
18．(12分)物體A以速度v＝3t2＋1在一直線上運(yùn)動(dòng)，在此直線上與物體A出發(fā)的同時(shí)，物體B在物體A的正前方5 m處以v＝10t的速度與A同向運(yùn)動(dòng)，問兩物體何時(shí)相遇？相遇時(shí)物體A走過的路程是多少(時(shí)間單位為：s，速度單位為：m/s)?
解析：設(shè)A追上B時(shí)，所用的時(shí)間為t0，
依題意有sA＝sB＋5，
即∫t00(3t2＋1)dt＝∫t0010tdt＋5，
∴t＋t0＝5t＋5，
即t0(t＋1)＝5(t＋1)，t0＝5 s，
∴sA＝5t＋5＝130 (m)．
19．(12分)已知F(x)＝－1t(t－4)dt，x∈(－1，＋∞)．
(1)求 F(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求函數(shù)F(x)在[1,5]上的最值．
解析：F(x)＝－1(t2－4t)dt＝＝x3－2x2－＝x3－2x2＋(x>－1)．
(1)F′(x)＝x2－4x，由F′(x)>0，即x2－4x>0，得－14；由F′(x)<0，即x2－4x<0，得0400時(shí)，
Q(x)＝－210x＋114 000<30 000.
綜上所述，若要使得日銷售利潤最大，每天該公司生產(chǎn)400件產(chǎn)品，其最大利潤為30 000元．
21．(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝a2lnx－x2＋ax(a>0)．
(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；
(2)求所有使e－1≤f(x)≤e2對(duì)x∈[1，e]恒成立的a的值．
解析：(1)因?yàn)閒(x)＝a2lnx－x2＋ax，其中x>0，所以f′(x)＝－2x＋a＝－.由于a>0，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，a)，單調(diào)遞減區(qū)間為(a，＋∞)．
(2)由題意得f(1)＝a－1≥e－1，即a≥e.由(1)知f(x)在[1，e]內(nèi)單調(diào)遞增，要使e－1≤f(x)≤e2對(duì)x∈(1，e)恒成立．
只要
解得a＝e.
22．(12分)已知函數(shù)f(x)＝ax3＋cx＋d(a≠0)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極值－2.
(1)求函數(shù)f(x)的解析式；
(2)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極大值；
(3)證明：對(duì)任意x1，x2∈(－1,1)，不等式|f(x1)－f(x2)|<4恒成立．
解析：(1)∵f(x)是R上的奇函數(shù)，
∴f(－x)＝－f(x)，
即－ax3－cx＋d＝－ax3－cx－d.
∴d＝－d.
∴d＝0(或由f(0)＝0得d＝0)．
∴f(x)＝ax3＋cx，f′(x)＝3ax2＋c.
又當(dāng)x＝1時(shí)，f(x)取得極值－2，
∴即
解得
∴f(x)＝x3－3x.
(2)f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．令f′(x)＝0，得x＝1.
當(dāng)－11時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．
∴函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間是(－∞，－1)，(1，＋∞)，遞減區(qū)間為(－1,1)．
因此，f(x)在x＝－1處取得極大值，
且極大值為f(－1)＝2.
(3)證明：由(2)知，函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1,1]上單調(diào)遞減，且f(x)在區(qū)間[－1,1]上的最大值為M＝f(－1)＝2，最小值為m＝f(1)＝－2.
∴對(duì)任意x1，x2∈(－1,1)，
|f(x1)－f(x2)|
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