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專題38 離散型隨機變量及其分布列、均值與方差 一、考綱要求： 1.理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性. 2.理解超幾何分布及其導(dǎo)出過程，并能進(jìn)行簡單的應(yīng)用． 3.理解取有限個值的離散型隨機變量的均值、方差的概念. 4.會求簡單離散型隨機變量的均值、方差，并能利用離散型隨機變量的均值、方差概念解決一些簡單實際問題． 二、概念掌握及解題上的注意點： 1.求離散型隨機變量X的分布列的步驟： (1）找出隨機變量X的所有可能取值xi(i＝1，2，3，…，n)； (2）求出各個取值的概率P(X＝xi)＝pi； (3）列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確. 2.超幾何分布描述的是不放回抽樣問題，超幾何分布的特征： (1）考察對象分兩類； (2）已知各類對象中個體的個數(shù)； (3）從中抽取若干個個體，考察抽取到的某類個體個數(shù)X的概率分布. 3.超幾何分布主要用于抽檢產(chǎn)品、摸不同類別的小球等概率模型，其實質(zhì)是古典概型. 4.求離散型隨機變量X的均值與方差的步驟 (1）理解X的意義，寫出X可能取的全部值. (2）求X取每個值時的概率. (3）寫出X的分布列. (4）由均值的定義求E(X). (5）由方差的定義求D(X). 5.利用均值、方差進(jìn)行決策的兩個方略 (1）當(dāng)均值不同時，兩個隨機變量取值的水平可見分歧，可對問題作出判斷. (2）若兩隨機變量均值相同或相差不大.則可通過分析兩變量的方差來研究隨機變量的離散程度或者穩(wěn)定程度，進(jìn)而進(jìn)行決策. 三、高考考題題例分析： 例1.（2018全國卷I） 某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗，如檢驗出不合格品，則更換為合格品．檢驗時，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗，再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p（0＜p＜1），且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨立． （1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（p），求f （p）的最大值點p0． （2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的p0作為p的值．已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用． （i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗，這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X，求EX； （ⅱ）以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗？ 【答案】見解析 （2）（i）由（1）知p=0.1， 令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品數(shù)，依題意知Y～B（180，0.1）， X=202+25Y，即X=40+25Y， ∴E（X）=E（40+25Y）=40+25E（Y）=40+251800.1=490． （ii）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗，由這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元， ∵E（X）=490＞400， ∴應(yīng)該對余下的產(chǎn)品進(jìn)行檢驗． 例2.（2018北京卷）電影公司隨機收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表： 電影類型 第一類 第二類 第三類 第四類 第五類 第六類 電影部數(shù) 140 50 300 200 800 510 好評率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好評率是指：一類電影中獲得好評的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值． 假設(shè)所有電影是否獲得好評相互獨立． （Ⅰ）從電影公司收集的電影中隨機選取1部，求這部電影是獲得好評的第四類電影的概率； （Ⅱ）從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率； （Ⅲ）假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評率相等．用“ξk=1”表示第k類電影得到人們喜歡．“ξk=0”表示第k類電影沒有得到人們喜歡（k=1，2，3，4，5，6）．寫出方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關(guān)系． 【答案】見解析 （Ⅱ）設(shè)事件B表示“從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，恰有1部獲得好評”， 第四類獲得好評的有：2000.25=50部， 第五類獲得好評的有：8000.2=160部， 則從第四類電影和第五類電影中各隨機選取1部，估計恰有1部獲得好評的概率： P（B）==0.35． （Ⅲ）由題意知，定義隨機變量如下： ξk=， 則ξk服從兩點分布，則六類電影的分布列及方差計算如下： 第一類電影： ξ1 1 0 P 0.4 0.6 E（ξ1）=10.4+00.6=0.4， D（ξ1）=（1﹣0.4）20.4+（0﹣0.4）20.6=0.24． 第二類電影： ξ2 1 0 P 0.2 0.8 E（ξ2）=10.2+00.8=0.2， D（ξ2）=（1﹣0.2）20.2+（0﹣0.2）20.8=0.16． 第三類電影： ξ3 1 0 P 0.15 0.85 E（ξ3）=10.15+00.85=0.15， D（ξ3）=（1﹣0.15）20.15+（0﹣0.85）20.85=0.1275． 第五類電影： ξ5 1 0 P 0.2 0.8 E（ξ5）=10.2+00.8=0.2， D（ξ5）=（1﹣0.2）20.2+（0﹣0.2）20.8=0.16． 第六類電影： ξ6 1 0 P 0.1 0.9 E（ξ6）=10.1+00.9=0.1， D（ξ5）=（1﹣0.1）20.1+（0﹣0.1）20.9=0.09． ∴方差Dξ1，Dξ2，Dξ3，Dξ4，Dξ5，Dξ6的大小關(guān)系為： Dξ6＜Dξ3＜Dξ2=Dξ5＜Dξ4＜Dξ1． 例6.　(2017山東卷節(jié)選)在心理學(xué)研究中，常采用對比試驗的方法評價不同心理暗示對人的影響，具體方法如下：將參加試驗的志愿者隨機分成兩組，一組接受甲種心理暗示，另一組接受乙種心理暗示，通過對比這兩組志愿者接受心理暗示后的結(jié)果來評價兩種心理暗示的作用．現(xiàn)有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，從中隨機抽取5人接受甲種心理暗示，另5人接受乙種心理暗示． (1)求接受甲種心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的概率； (2)用X表示接受乙種心理暗示的女志愿者人數(shù)，求X的分布列． 【答案】(1) ；(2)見解析 因此X的分布列為 X 0 1 2 3 4 P 例7. (2017天津卷)從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設(shè)各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為，，. (1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望； (2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率． 【答案】(1) ；(2) 【解析】　(1)隨機變量X的所有可能取值為0,1,2,3. P(X＝0)＝＝， P(X＝1)＝＋＋＝， P(X＝2)＝＋＋＝， P(X＝3)＝＝. 所以，隨機變量X的分布列為 X 0 1 2 3 P 隨機變量X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝0＋1＋2＋3＝. 例8. (2016四川卷)同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是________． 【答案】　 【解析】法一：先求出成功次數(shù)X的分布列，再求均值． 由題意可知每次試驗不成功的概率為，成功的概率為，在2次試驗中成功次數(shù)X的可能取值為0,1,2，則P(X＝0)＝，P(X＝1)＝C＝， P(X＝2)＝＝. 所以在2次試驗中成功次數(shù)X的分布列為 X 0 1 2 P 則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值為 E(X)＝0＋1＋2＝. 法二：此試驗滿足二項分布，其中p＝，所以在2次試驗中成功次數(shù)X的均值為E(X)＝np＝2＝. 離散型隨機變量及其分布列、均值與方差練習(xí)題 一、選擇題 1．設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2倍，用隨機變量X去描述1次試驗的成功次數(shù)，則P(X＝0)等于(　　) A．0　　　　 B． C． D． 【答案】C 2．若離散型隨機變量X的分布列為 X 0 1 P 9c2－c 3－8c 則常數(shù)c的值為(　　) A．或 B． C． D．1 【答案】C 【解析】根據(jù)離散型隨機變量分布列的性質(zhì)知 得c＝. 3．在15個村莊中有7個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10個村莊，用X表示這10個村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于的是(　　) A．P(X＝2) B．P(X≤2) C．P(X＝4) D．P(X≤4) 【答案】C 【解析】X服從超幾何分布，故P(X＝k)＝，k＝4. 4．若離散型隨機變量X的分布列為(　　) X 0 1 P 則X的數(shù)學(xué)期望E(X)＝(　　) A．2　　　　 B．2或 C． D．1 【答案】C 5．已知某一隨機變量X的分布列如下，且E(X)＝6.3，則a的值為(　　) X 4 a 9 P 0.5 0.1 b A．5　　　　　　　　　 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解析】由分布列性質(zhì)知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4， ∴E(X)＝40.5＋a0.1＋90.4＝6.3，∴a＝7. 6．已知隨機變量η滿足E(1－η)＝5，D(1－η)＝5，則下列說法正確的是(　　) A．E(η)＝－5，D(η)＝5 B．E(η)＝－4，D(η)＝－4 C．E(η)＝－5，D(η)＝－5 D．E(η)＝－4，D(η)＝5 【答案】D 【解析】因為E(1－η)＝1－E(η)＝5，所以E(η)＝－4.D(1－η)＝(－1)2D(η)＝5，所以D(η)＝5，故選D. 7．已知隨機變量X的分布列為P(X＝i)＝(i＝1,2,3,4)，則P(2＜X≤4)等于(　　) A． B． C． D． 【答案】B 8．若隨機變量X的分布列為 X －2 －1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 則當(dāng)P(Xx2)＝β，P(Xx2)－P(X，則P的取值范圍是_______ 【答案】. 　 【解析】由已知得P(Y＝1)＝p，P(Y＝2)＝(1－p)p，P(Y＝3)＝(1－p)2， 則E(Y)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，解得p>或p<， 又p∈(0,1)，所以p∈. 三、解答題 17．有編號為1,2,3，…，n的n個學(xué)生，入坐編號為1,2,3，…，n的n個座位，每個學(xué)生規(guī)定坐一個座位，設(shè)學(xué)生所坐的座位號與該生的編號不同的學(xué)生人數(shù)為X，已知X＝2時，共有6種坐法． (1)求n的值． (2)求隨機變量X的概率分布列. 【答案】(1)4；(2)見解析 所以X的概率分布列為： X 0 2 3 4 P 18.端午節(jié)吃粽子是我國的傳統(tǒng)習(xí)俗．設(shè)一盤中裝有10個粽子，其中豆沙粽2個，肉粽3個，白粽5個，這三種粽子的外觀完全相同．從中任意選取3個． (1)求三種粽子各取到1個的概率； (2)設(shè)X表示取到的豆沙粽個數(shù)，求X的分布列. 【答案】(1) ；(2)見解析 綜上知，X的分布列為 X 0 1 2 P 19．PM2.5是指懸浮在空氣中的直徑小于或等于2.5微米的顆粒物，也稱為可入肺顆粒物．根據(jù)現(xiàn)行國家標(biāo)準(zhǔn)GB3 095—2 012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空氣質(zhì)量為一級；在35微克/立方米～75微克/立方米之間空氣質(zhì)量為二級；在75微克/立方米以上空氣質(zhì)量為超標(biāo)． 從某自然保護(hù)區(qū)2015年全年每天的PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)中隨機地抽取10天的數(shù)據(jù)作為樣本，監(jiān)測值頻數(shù)如下表所示： PM2.5日均值 (微克/立方米) [25,35] (35,45] (45,55] (55,65] (65,75] (75,85] 頻數(shù) 3 1 1 1 1 3 (1)從這10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，求恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級的概率； (2)從這10天的數(shù)據(jù)中任取3天數(shù)據(jù)，記ξ表示抽到PM2.5監(jiān)測數(shù)據(jù)超標(biāo)的天數(shù)，求ξ的分布列． 【答案】(1) ；(2)見解析。 【解析】　(1)記“從10天的PM2.5日均值監(jiān)測數(shù)據(jù)中，隨機抽出3天，恰有一天空氣質(zhì)量達(dá)到一級”為事件A，則 P(A)＝＝. (2)依據(jù)條件，ξ服從超幾何分布，其中N＝10，M＝3，n＝3，且隨機變量ξ的可能取值為0,1,2,3. P(ξ＝k)＝(k＝0,1,2,3)． ∴P(ξ＝0)＝＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝. 因此ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 20．在一袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)，現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號． (1)求X的分布列、期望和方差； (2)若Y＝aX＋b，E(Y)＝1，D(Y)＝11，試求a，b的值． 【答案】(1)見解析；(2) 或 21．為吸引顧客，某公司在商場舉辦電子游戲活動．對于A，B兩種游戲，每種游戲玩一次均會出現(xiàn)兩種結(jié)果，而且每次游戲的結(jié)果相互獨立，具體規(guī)則如下：玩一次游戲A，若綠燈閃亮，獲得50分，若綠燈不閃亮，則扣除10分(即獲得－10分)，綠燈閃亮的概率為；玩一次游戲B，若出現(xiàn)音樂，獲得60分，若沒有出現(xiàn)音樂，則扣除20分(即獲得－20分)，出現(xiàn)音樂的概率為.玩多次游戲后累計積分達(dá)到130分可以兌換獎品． (1)記X為玩游戲A和B各一次所得的總分，求隨機變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望； (2)設(shè)某人玩5次游戲B，求該人能兌換獎品的概率． 【答案】(1)見解析；(2) 所以X的分布列為 X 110 50 30 －30 P 故E(X)＝110＋50＋30－30＝32. (2)設(shè)某人玩5次游戲B的過程中，出現(xiàn)音樂n次(0≤n≤5，n∈N*)，則沒出現(xiàn)音樂5－n次， 依題意得60n－20(5－n)≥130，解得n≥， 所以n＝3或4或5. 設(shè)“某人玩5次游戲B能兌換獎品”為事件M， 則P(M)＝C＋C＋＝. 22.為迎接2022年北京冬奧會，推廣滑雪運動，某滑雪場開展滑雪促銷活動．該滑雪場的收費標(biāo)準(zhǔn)是：滑雪時間不超過1小時免費，超過1小時的部分每小時收費標(biāo)準(zhǔn)為40元(不足1小時的部分按1小時計算)．有甲、乙兩人相互獨立地來該滑雪場運動，設(shè)甲、乙不超過1小時離開的概率分別為，；1小時以上且不超過2小時離開的概率分別為，；兩人滑雪時間都不會超過3小時． (1)求甲、乙兩人所付滑雪費用相同的概率； (2)設(shè)甲、乙兩人所付的滑雪費用之和為隨機變量ξ，求ξ的分布列與數(shù)學(xué)期望E(ξ)，方差D(ξ). 【答案】(1) ；(2)80， (2)設(shè)甲、乙所付費用之和為ξ，ξ可能取值為0,40,80,120,160，則： P(ξ＝0)＝＝； P(ξ＝40)＝＋＝； P(ξ＝80)＝＋＋＝； P(ξ＝120)＝＋＝； P(ξ＝160)＝＝. ξ的分布列為 ξ 0 40 80 120 160 P E(ξ)＝0＋40＋80＋120＋160＝80. D(ξ)＝(0－80)2＋(40－80)2＋(80－80)2＋(120－80)2＋(160－80)2＝.