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專題17 直線方程 一、基礎過關題 1． (2016威海模擬)過點(2,1)且傾斜角比直線y＝－x－1的傾斜角小的直線方程是( ) A．x＝2 B．y＝1 C．x＝1 D．y＝2 【答案】 A 2．已知兩點M(2，－3)，N(－3，－2)，直線l過點P(1,1)且與線段MN相交，則直線l的斜率k的取值范圍是( ) A．k≥或k≤－4 B．－4≤k≤ C.≤k≤4 D．－≤k≤4 【答案】 A 【解析】 如圖所示， ∵kPN＝＝，kPM＝＝－4. ∴要使直線l與線段MN相交， 當l的傾斜角小于90時，k≥kPN； 當l的傾斜角大于90時，k≤kPM， 由已知得k≥或k≤－4. 3．已知A(3,0)，B(0,4)，直線AB上一動點P(x，y)，則xy的最大值是 ． 【答案】 3 【解析】 直線AB的方程為＋＝1， ∵動點P(x，y)在直線AB上，則x＝3－y， ∴xy＝3y－y2＝(－y2＋4y)＝[－(y－2)2＋4]≤3. 即當P點坐標為時，xy取最大值3. 4．(2016濰坊模擬)直線l過點(－2,2)且與x軸，y軸分別交于點(a,0)，(0，b)，若|a|＝|b|，則直線l的方程為 ． 【答案】 x＋y＝0或x－y＋4＝0 5．(2016山師大附中模擬)函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖象恒過定點A，若點A在mx＋ny－1＝0(mn>0)上，則＋的最小值為 ． 【答案】 4 【解析】 ∵函數(shù)y＝a1－x(a>0，a≠1)的圖象恒過定點A(1,1)． ∴把A(1,1)代入直線方程得m＋n＝1(mn>0)． ∴＋＝(＋)(m＋n)＝2＋＋≥4(當且僅當m＝n＝時取等號)， ∴＋的最小值為4. 6．(2017蘭州月考)一只蟲子從點O(0,0)出發(fā)，先爬行到直線l：x－y＋1＝0上的P點，再從P點出發(fā)爬行到點A(1，1)，則蟲子爬行的最短路程是( ) A. B．2 C．3 D．4 【答案】 B 【解析】 點O(0,0)關于直線x－y＋1＝0的對稱點為O′(－1,1)， 則蟲子爬行的最短路程為|O′A|＝＝2. 故選B. 7．(2016綿陽模擬)若P，Q分別為直線3x＋4y－12＝0與6x＋8y＋5＝0上任意一點，則|PQ|的最小值為( ) A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 因為＝≠，所以兩直線平行， 由題意可知|PQ|的最小值為這兩條平行直線間的距離， 即＝，所以|PQ|的最小值為，故選C. 8．(2016忻州訓練)已知兩直線l1：ax－by＋4＝0和l2：(a－1)x＋y＋b＝0，若l1∥l2，且坐標原點到這兩條直線的距離相等，則a＋b＝________. 【答案】 0或 9．(2016重慶模擬)在平面直角坐標系內(nèi)，到點A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距離之和最小的點的坐標是________． 【答案】 (2,4) 【解析】 如圖， 設平面直角坐標系中任一點P，P到點A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)的距離之和為 |PA|＋|PB|＋|PC|＋|PD|＝|PB|＋|PD|＋|PA|＋|PC|≥|BD|＋|AC|＝|QA|＋|QB|＋|QC|＋|QD|， 故四邊形ABCD對角線的交點Q即為所求距離之和最小的點． ∵A(1,2)，B(1,5)，C(3,6)，D(7，－1)， ∴直線AC的方程為y－2＝2(x－1)，直線BD的方程為y－5＝－(x－1)． 由得Q(2,4)． 10．(2016北京朝陽區(qū)模擬)已知△ABC的頂點A(5,1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，求直線BC的方程． 【答案】 6x－5y－9＝0. 11．(2016太原模擬)已知兩點A(－1,2)，B(m,3)． (1)求直線AB的方程； (2)已知實數(shù)m∈[－－1，－1]，求直線AB的傾斜角α的取值范圍． 【答案】 (1) 當m＝－1時，直線AB的方程為x＝－1， 當m≠－1時，直線AB的方程為x－(m＋1)y＋2m＋3＝0. (2) 直線AB的傾斜角α∈[，]． 【解析】(1)當m＝－1時，直線AB的方程為x＝－1， 當m≠－1時，直線AB的方程為y－2＝(x＋1)．即x－(m＋1)y＋2m＋3＝0. (2)①當m＝－1時，α＝； ②當m≠－1時，m＋1∈[－，0)∪(0，]， ∴k＝∈(－∞，－]∪[，＋∞)，∴α∈[，)∪(，]． 綜合①②知，直線AB的傾斜角α∈[，]． 12．已知點P(2，－1)． (1)求過點P且與原點的距離為2的直線l的方程； (2)求過點P且與原點的距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？ (3)是否存在過點P且與原點的距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在，請說明理由． 【答案】 (1) 直線l的方程為x＝2或3x－4y－10＝0. (2) 直線2x－y－5＝0是過點P且與原點O的距離最大的直線，最大距離為. (3) 不存在過點P且到原點的距離為6的直線． (2)作圖可得過點P與原點O的距離最大的直線是過點P且與PO垂直的直線， 如圖所示． 由l⊥OP，得klkOP＝－1，所以kl＝－＝2. 由直線方程的點斜式，得y＋1＝2(x－2)，即2x－y－5＝0. 所以直線2x－y－5＝0是過點P且與原點O的距離最大的直線，最大距離為＝. (3)由(2)可知，過點P不存在到原點的距離超過的直線，因此不存在過點P且到原點的距離為6的直線． 二、能力提高題 1．(2016合肥檢測)已知點A在直線x＋2y－1＝0上，點B在直線x＋2y＋3＝0上，線段AB的中點為P(x0，y0)，且滿足y0>x0＋2，則的取值范圍為( ) A．(－，－) B．(－∞，－] C．(－，－] D．(－，0) 【答案】 A 2．(2016廈門模擬)將一張坐標紙折疊一次，使得點(0,2)與點(4,0)重合，點(7,3)與點(m，n)重合，則m＋n等于( ) A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 由題意可知，紙的折痕應是點(0,2)與點(4,0)連線的中垂線， 即直線y＝2x－3，它也是點(7,3)與點(m，n)連線的中垂線， 于是解得 故m＋n＝，故選A. 3.如圖，已知直線l1∥l2，點A是l1，l2之間的定點，點A到l1，l2之間的距離分別為3和2，點B是l2上的一動點，作AC⊥AB，且AC與l1交于點C，則△ABC的面積的最小值為________． 【答案】 6 4.如圖，射線OA、OB分別與x軸正半軸成45和30角，過點P(1,0)作直線AB分別交OA、OB于A、B兩點，當AB的中點C恰好落在直線y＝x上時，求直線AB的方程． 【答案】 直線AB的方程為(3＋)x－2y－3－＝0. 【解析】由題意可得kOA＝tan 45＝1，kOB＝tan(180－30)＝－， 所以直線lOA：y＝x，lOB：y＝－x. 設A(m，m)，B(－n，n)， 所以AB的中點C， 由點C在直線y＝x上，且A、P、B三點共線得 解得m＝，所以A(，)． 又P(1,0)，所以kAB＝kAP＝＝，所以lAB：y＝(x－1)， 即直線AB的方程為(3＋)x－2y－3－＝0. 5.已知三條直線：l1：2x－y＋a＝0(a＞0)；l2：－4x＋2y＋1＝0；l3：x＋y－1＝0，且l1與l2間的距離是. (1)求a的值； (2)能否找到一點P，使P同時滿足下列三個條件： ①點P在第一象限； ②點P到l1的距離是點P到l2的距離的； ③點P到l1的距離與點P到l3的距離之比是∶. 若能，求點P的坐標；若不能，說明理由． 【答案】 (1) a＝3. (2) 存在點P同時滿足三個條件． 【解析】(1)直線l2：2x－y－＝0，所以兩條平行線l1與l2間的距離為d＝2＝， 所以2＝，即＝，又a＞0，解得a＝3. 所以存在點P同時滿足三個條件．