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專題49 離心率及其范圍問題 【熱點(diǎn)聚焦與擴(kuò)展】 縱觀近幾年的高考試題，高考對(duì)圓錐曲線 離心率問題是熱點(diǎn)之一.從命題的類型看，有小題，也有大題.一把說來，小題大難度基本處于中低檔，而大題中則往往較為簡(jiǎn)單.小題中單純考查橢圓、雙曲線的離心率的確定較為簡(jiǎn)單，而將三種曲線結(jié)合考查，難度則大些.本文在分析研究近幾年高考題及各地模擬題的基礎(chǔ)上，重點(diǎn)說明離心率及其范圍問題的解法與技巧. 1、求離心率的方法：求橢圓和雙曲線的離心率主要圍繞尋找參數(shù)的比例關(guān)系（只需找出其中兩個(gè)參數(shù)的關(guān)系即可），方法通常有兩個(gè)方向： （1）利用幾何性質(zhì)：如果題目中存在焦點(diǎn)三角形（曲線上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線組成的三角形），那么可考慮尋求焦點(diǎn)三角形三邊的比例關(guān)系，進(jìn)而兩條焦半徑與有關(guān)，另一條邊為焦距.從而可求解 （2）利用坐標(biāo)運(yùn)算：如果題目中的條件難以發(fā)掘幾何關(guān)系，那么可考慮將點(diǎn)的坐標(biāo)用進(jìn)行表示，再利用條件列出等式求解 2、離心率的范圍問題：在尋找不等關(guān)系時(shí)通?？蓮囊韵聨讉€(gè)方面考慮： （1）題目中某點(diǎn)的橫坐標(biāo)（或縱坐標(biāo)）是否有范圍要求：例如橢圓與雙曲線對(duì)橫坐標(biāo)的范圍有要求.如果問題圍繞在“曲線上存在一點(diǎn)”，則可考慮該點(diǎn)坐標(biāo)用表示，且點(diǎn)坐標(biāo)的范圍就是求離心率范圍的突破口 （2）若題目中有一個(gè)核心變量，則可以考慮離心率表示為某個(gè)變量的函數(shù)，從而求該函數(shù)的值域即可 （3）通過一些不等關(guān)系得到關(guān)于的不等式，進(jìn)而解出離心率 注：在求解離心率范圍時(shí)要注意圓錐曲線中對(duì)離心率范圍的初始要求：橢圓：，雙曲線： 【經(jīng)典例題】 例1.【2017課標(biāo)3，理10】已知橢圓C：，（a>b>0）的左、右頂點(diǎn)分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 點(diǎn)睛：橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法： ①求出a，c，代入公式e＝ ；x/k**w ②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2＝a2－c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍). 例2.【2017課標(biāo)II，理9】若雙曲線（，）的一條漸近線被圓所截得的弦長(zhǎng)為2，則的離心率為（ ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【解析】 例3.【2018屆山東省濟(jì)南省二模】設(shè)橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為,點(diǎn).已知?jiǎng)狱c(diǎn)在橢圓上,且點(diǎn)不共線,若的周長(zhǎng)的最小值為,則橢圓的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】A ∴ 故選：A 例4.【2018屆云南省昆明第一中學(xué)第八次月考】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)是雙曲線底面右頂點(diǎn)，點(diǎn)是雙曲線上一點(diǎn)，平分，且，則雙曲線的離心率為（ ） A. B. C. D. 【答案】D 例5.【2017課標(biāo)1，理】已知雙曲線C：（a>0，b>0）的右頂點(diǎn)為A，以A為圓心，b為半徑作圓A，圓A與雙曲線C的一條漸近線交于M、N兩點(diǎn).若∠MAN=60，則C的離心率為________. 【答案】 【解析】試題分析： 例6.【2018屆重慶市江津中學(xué)校4月月考】如圖，雙曲線的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上，為雙曲線的頂點(diǎn)，為雙曲線虛軸的端點(diǎn)，為右焦點(diǎn)，延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，若是銳角，則該雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】試題分析：根據(jù)∠B1PB2為與夾角，并分別表示出與，由∠B1PB2為鈍角，.＜0，得ac﹣b2＜0，利用橢圓的性質(zhì)，可得到e2-e﹣1>0，即可解得離心率的取值范圍． 詳解： 如圖所示，∠B1PB2為與的夾角； 設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸、短半軸、半焦距分別為a，b，c， =（a，b），=（c，﹣b）， ∴1＜e＜， 故選：C． 點(diǎn)睛：本題主要考查雙曲線的定義及幾何性質(zhì)，以雙曲線為載體，通過利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力以及數(shù)形結(jié)合思想．雙曲線的離心率問題，主要是有兩類試題：一類是求解離心率的值，一類是求解離心率的范圍．基本的解題思路是建立橢圓和雙曲線中的關(guān)系式，求值問題就是建立關(guān)于的等式，求取值范圍問題就是建立關(guān)于的不等式． 例7.已知橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)，是它們的一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值是（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 化簡(jiǎn)得： 該式可變成： , 故選 點(diǎn)睛：本題綜合性較強(qiáng)，難度較大，運(yùn)用基本知識(shí)點(diǎn)結(jié)合本題橢圓和雙曲線的定義給出與、的數(shù)量關(guān)系，然后再利用余弦定理求出與的數(shù)量關(guān)系，最后利用基本不等式求得范圍. 例8.【2018屆福建省漳州市5月測(cè)試】已知直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，與圓交于、兩點(diǎn)．若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】分析：先根據(jù)直線的方程判定該直線過定點(diǎn)，且該點(diǎn)是圓的圓心，再利用判定點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，再利用點(diǎn)差法進(jìn)行求解． 詳解：將化為， 即直線恒過定點(diǎn)，且該點(diǎn)為圓的圓心， 由，得是的中點(diǎn)， 點(diǎn)睛：1.判定直線過定點(diǎn)的方法： 法一：化為點(diǎn)斜式方程； 法二：分別令，得，解得； 法三：化為，則； 2.在處理圓錐曲線的中點(diǎn)弦問題時(shí)，利用點(diǎn)差法，可減少運(yùn)算量，提高解題速度． 例9.【2018屆河南省名校壓軸第二次考試】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，點(diǎn)到直線的距離不小于，則橢圓的離心率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 解得，所以， 所以橢圓的離心率的取值范圍是，故選A． 例10.【2018屆河南省名校壓軸第二次考試】過雙曲線的右焦點(diǎn)且垂直于軸的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，為虛軸的一個(gè)端點(diǎn)，且為鈍角三角形，則此雙曲線離心率的取值范圍為__________． 【答案】 【解析】分析：設(shè)出雙曲線的左焦點(diǎn)，令x=﹣c，代入雙曲線的方程，解得A，B的坐標(biāo)，討論∠DAB為鈍角，可得＜0，或∠ADB為鈍角，可得＜0，運(yùn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示，再由離心率公式和范圍，即可得到所求范圍． 詳解：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)F1（﹣c，0）， 令x=﹣c，可得y==， 可得A（﹣c，），B（﹣c，﹣）， 又設(shè)D（0，b），可得=（c，b﹣）， =（0，﹣），=（﹣c，﹣b﹣）， 由△ABD為鈍角三角形，可能∠DAB為鈍角，可得＜0， 化為c4﹣4a2c2+2a4＞0， 由e=，可得e4﹣4e2+2＞0， 又e＞1，可得e＞． 綜上可得，e的范圍為（1，）∪（．+∞）． 故答案為： 點(diǎn)睛：(1) 本題考查雙曲線的離心率的范圍及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示. 意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的掌握能力和分析推理運(yùn)算能力.（2）本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為鈍角三角形，這里是利用數(shù)量積＜0轉(zhuǎn)化的，比較簡(jiǎn)潔高效. 【精選精練】 1．已知橢圓的半焦距為，左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，拋物線與橢圓交于兩點(diǎn)，若四邊形是菱形，則橢圓的離心率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 詳解： 由題意得，橢圓，為半焦距）， 的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，則， 拋物線于橢圓交于兩點(diǎn)， 兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，可設(shè)， 四邊形是菱形，，則， 將代入拋物線方程得，， ，則不妨設(shè)，再代入橢圓方程， 化簡(jiǎn)得，由，即有， 解得或（舍去），故選C. 2.【2018屆湖南師范大學(xué)附屬中學(xué)月考（六）】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,橢圓上的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，則橢圓的離心率的取值范圍是( ) A. B. C. D. 【答案】A 整理得，令，得， 又由，得，所以， 所以離心率的取值范圍是，故選A. 3．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，過作的垂線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，過、分別作、的垂線，兩垂線交于點(diǎn)，若到直線的距離小于， 則雙曲線的離心率的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 為，到直線的距離小于，，，則，即，即，則雙曲線的離心率的取值范圍是，故選A. 4．【2018屆河南省鄭州市第三次預(yù)測(cè)】已知雙曲線的右焦點(diǎn)為為坐標(biāo)原點(diǎn)，若存在直線過點(diǎn)交雙曲線的右支于兩點(diǎn)，使，則雙曲線離心率的取值范圍是__________． 【答案】 【解析】分析：先求出當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)的離心率，再求出當(dāng)直線與漸近線平行時(shí)這一極端情況下的離心率，由此可得所求的范圍． 若直線平行于漸近線時(shí)，直線的斜率為，直線方程為， 代入雙曲線方程可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為， ∴的斜率為， 又此時(shí)有， ∴， 整理得，解得． 但此時(shí)直線與雙曲線的右支只有一個(gè)交點(diǎn)，不合題意． ∴雙曲線離心率的取值范圍是． 5．【2018屆山東省煙臺(tái)市高考練習(xí)（二）】已知點(diǎn)是拋物線：與橢圓：的公共焦點(diǎn)，是橢圓的另一焦點(diǎn)，是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)取得最小值時(shí)，點(diǎn)恰好在橢圓上，則橢圓的離心率為_______. 【答案】 【解析】分析：由題意可知與拋物線相切時(shí)，取得最小值，求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)，代入橢圓方程求出的值，即可求解其離心率． 詳解：拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為， 因?yàn)樵跈E圓上，且為橢圓的焦點(diǎn)， 所以，解得或（舍去）， 所以，所以離心率為． 6．已知， 是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)， 是它們的一個(gè)公共點(diǎn)，且為直角，橢圓的離心率為，雙曲線的離心率，則的值為_________． 【答案】2. 故答案為：2. 7．【2018屆江西省上饒市三?！恳阎獌啥c(diǎn)和，動(dòng)點(diǎn)在直線：上移動(dòng)，橢圓以，為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)，則橢圓的離心率的最大值為__________． 【答案】 【解析】分析：作出直線y=x+2，過A作直線y=x+2的對(duì)稱點(diǎn)C，2a=|PA|+|PB|≥|CD|+|DB|=|BC|，即可得到a的最大值，由于c=1，由離心率公式即可得到． 詳解：由題意知c=1，離心率e=，橢圓C以A，B為焦點(diǎn)且經(jīng)過點(diǎn)P，則c=1， 對(duì)應(yīng)的離心率e有最大值． 故答案為： 點(diǎn)睛：（1）本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)和點(diǎn)線對(duì)稱問題，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和數(shù)形結(jié)合的分析轉(zhuǎn)化能力. (2)解答本題的關(guān)鍵是求a的最小值.本題求|PA|+|PB|的最小值，利用了對(duì)稱的思想.求點(diǎn)P關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)，直線l實(shí)際上是線段垂直平分線，根據(jù)垂直平分得到一個(gè)方程組，即可求出點(diǎn)的坐標(biāo). 8．【2018屆福建省三明市5月測(cè)試】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，是右支上的一點(diǎn)，是的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，若，則的離心率的取值范圍是______________． 【答案】 又 即，得： ∴方程有大于的根 ∴ 得，又 ∴ 故答案為： 9．如圖所示， 橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，為左焦點(diǎn)，分別為橢圓的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，其離心率為，此類橢圓被稱為“黃金橢圓”，類比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線”的離心率等于___________. 【答案】. 則， ， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴黃金雙曲線”的離心率e等于． 點(diǎn)睛：本題考查類比推理和雙曲線離心率的求法，解題的關(guān)鍵是得到“黃金雙曲線”的特征，得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)后將這一特征轉(zhuǎn)化為的關(guān)系式，構(gòu)造出關(guān)于離心率的方程，解方程可得所求，解題時(shí)要注意雙曲線的離心率大于1這一條件． 10．【2018屆5月第三次全國(guó)大聯(lián)考】已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)作軸的垂線，在第一象限與雙曲線交于點(diǎn)．設(shè)直線的斜率為，若，則雙曲線的離心率的取值范圍為______________． 【答案】 11．【百校聯(lián)盟TOP202018屆高三四月聯(lián)考】已知是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)，使得直線斜率的絕對(duì)值之和為1，則橢圓的離心率的取值范圍是______. 【答案】 【解析】分析：由是橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，易知斜率之積為定值，結(jié)合均值不等式即可建立關(guān)于的不等式，從而得到橢圓的離心率的取值范圍. 詳解：不妨設(shè)橢圓C的方程為,,則， 所以，,兩式相減得，所以，所以直線斜率的絕對(duì)值之和為，由題意得，，所以=4，即，所以，所以. 故答案為：. 12．【2018屆云南省曲靖市第一中學(xué)4月監(jiān)測(cè)卷（七）】已知橢圓的右焦點(diǎn)為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為，直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，點(diǎn)到直線的距離不小于，則橢圓離心率的取值范圍是__________． 【答案】 則， 即， 設(shè)，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離不小于， 所以，即， 即，即， 即橢圓離心率的取值范圍是． 點(diǎn)睛：（1）在處理涉及橢圓或雙曲線的點(diǎn)和焦點(diǎn)問題時(shí)，往往利用橢圓或雙曲線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，可起到事半功倍的效果； （2）在求橢圓的離心率時(shí)，往往用到如下轉(zhuǎn)化： ．