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課時28 直線與圓錐曲線的位置關系 模擬訓練（分值：60分 建議用時：30分鐘） 1．拋物線C的頂點為原點，焦點在x軸上，直線x－y＝0與拋物線C交于A，B兩點，若P(1,1)為線段AB的中點，則拋物線C的方程為(　　) A．y＝2x2 B．y2＝2x C．x2＝2y D．y2＝－2x 【答案】B 【解析】設A(x1，y1)，B(x2，y2)，拋物線方程為y2＝2px，則，兩式相減可得2p＝(y1＋y2)＝kAB2＝2，即可得p＝1，∴拋物線C的方程為y2＝2x，故應選B. 2．已知橢圓＋＝1的長軸的左、右端點分別為A、B，在橢圓上有一個異于點A、B的動點P，若直線PA的斜率kPA＝，則直線PB的斜率kPB為(　　) A.　　　　　　　　　　　B. C．－ D．－ 【答案】D 3．如圖，過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點F的直線交拋物線于點A、B，交其準線l于點C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，則此拋物線的方程為(　　) A．y2＝x B．y2＝9x C．y2＝x D．y2＝3x 【答案】D 【解析】分別過點A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分別為A1、B1，由已知條件|BC|＝2|BF|得|BC|＝2|BB1|，∴∠BCB1＝30，又|AA1|＝|AF|＝3，∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3＝3，∴F為線段AC的中點．故點F到準線的距離為p＝|AA1|＝，故拋物線的方程為y2＝3x. 4．斜率為1的直線l與橢圓＋y2＝1相交于A、B兩點，則|AB|的最大值為(　　) A．2 B. C. D. 【答案】C 【解析】設直線l的方程為y＝x＋t，代入＋y2＝1，消去y得x2＋2tx＋t2－1＝0，由題意得Δ＝(2t)2－5(t2－1)＞0，即t2＜5.弦長|AB|＝4≤. 5．如圖，拋物線C1：y2＝2px和圓C2：2＋y2＝， 其中p>0，直線l經過拋物線C1的焦點，依次交拋物線C1， 圓C2于A，B，C，D四點，則的值為(　　) A. B. C. D．p2 【答案】A 6．已知橢圓＋＝1，若在此橢圓上存在不同的兩點A、B關于直線y＝4x＋m對稱，則實數(shù)m的取值范圍是(　　) A．(－，) B．(－，) C．(－，) D．(－，) 【答案】B 【解析】設A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中點M(x，y)，kAB＝＝－，x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y,3x＋4y＝12　①，3x＋4y＝12?、冢佗趦墒较鄿p得3(x－x)＋4(y－y)＝0，即y1＋y2＝3(x1＋x2)，即y＝3x，與y＝4x＋m聯(lián)立得x＝－m，y＝－3m，而M(x，y)在橢圓的內部，則＋<1，即－b>0)的離心率為，橢圓C上任意一點到橢圓C兩個焦點的距離之和為6. (1)求橢圓C的方程； (2)設直線l：y＝kx－2與橢圓C交于A，B兩點，點P(0,1)，且|PA|＝|PB|，求直線l的方程． 【解析】(1)由已知2a＝6，e＝＝， 解得a＝3，c＝，所以b2＝a2－c2＝3， 所以橢圓C的方程為＋＝1. (2)由得，(1＋3k2)x2－12kx＋3＝0， 10．橢圓G：＋＝1(a>b>0)的左、右兩個焦點分別為F1(－c,0)、F2(c,0)，M是橢圓G上一點，且滿足＝0. (1)求離心率e的取值范圍； (2)當離心率e取得最小值時，點N(0,3)到橢圓上的點的最遠距離為5. (ⅰ)求此時橢圓G的方程； (ⅱ)設斜率為k(k≠0)的直線l與橢圓G相交于不同的兩點A、B，Q為AB的中點，問A、B兩點能否關于過點P(0，)、Q的直線對稱？若能，求出k的取值范圍；若不能，請說明理由． 【解析】(1)設M(x0，y0)， ∵M在橢圓G上，∴＋＝1，① 又＝0， ∴(x0＋c，y0)(x0－c，y0)＝0.② 由②得y＝c2－x，代入①整理得x＝a2(2－)． 又0≤x≤a2，∴0≤a2(2－)≤a2， 解得()2≥，即e2≥， 又01時，直線y＝ax－a恒在拋物線y＝x2的下方，則a的取值范圍是________． 【答案】(－∞，4) 【解析】由題可知，聯(lián)立，整理可得x2－ax＋a＝0，當Δ＝a2－4a＝0，解得a＝0或a＝4，此時直線與拋物線相切，因為直線橫過定點(1,0)，結合圖形可知當a∈(－∞，4)，x>1時直線y＝ax－a恒在拋物線y＝x2的下方． 12．（10分）如圖，已知點D(0，－2)，過點D作拋物線C1：x2＝2py(p>0)的切線l，切點A在第二象限，如圖16－3. (1)求切點A的縱坐標； (2)若離心率為的橢圓＋＝1(a>b>0)恰好經過切點A，設切線l交橢圓的另一點為B，記切線l，OA，OB的斜率分別為k，k1，k2，若k1＋2k2＝4k，求橢圓方程． 【解析】 (1)設切點A(x0，y0)，且y0＝，由切線l的斜率為k＝，得l的方程為y＝x－，又點D(0，－2)在l上， k1＋2k2＝＋＝＝