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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修二教案：4-2-2 圓與圓的位置關(guān)系 項(xiàng)目 內(nèi)容 課題 4.2.2 圓與圓的位置關(guān)系 （1課時(shí)） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 使學(xué)生理解并掌握?qǐng)A和圓的位置關(guān)系及其判定方法.培養(yǎng)學(xué)生自主探究的能力.通過用代數(shù)的方法分析圓與圓的位置關(guān)系,使學(xué)生體驗(yàn)幾何問題代數(shù)化的思想,深入了解解析幾何的本質(zhì),同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力,并進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想. 教學(xué)重、 難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：求弦長(zhǎng)問題,判斷圓和圓的位置關(guān)系. 教學(xué)難點(diǎn):判斷圓和圓的位置關(guān)系. 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 平面幾何中,圓與圓的位置關(guān)系有哪幾種呢？如何判斷圓與圓之間的位置關(guān)系呢？ 判斷兩圓的位置關(guān)系的步驟及其判斷方法如下:第一步：計(jì)算兩圓的半徑R,r；第二步：計(jì)算兩圓的圓心距O1O2,即d；第三步：根據(jù)d與R,r之間的關(guān)系,判斷兩圓的位置關(guān)系. 兩圓的位置關(guān)系： 外離 外切 相交 內(nèi)切 內(nèi)含 d＞R+r d=R+r |R-r|＜d＜R+r d=|R-r| d＜|R-r| 在解析幾何中,我們用代數(shù)的方法如何判斷圓與圓之間的位置關(guān)系呢？這就是我們本堂課研究的課題,教師板書課題圓與圓的位置關(guān)系. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 ①初中學(xué)過的平面幾何中,圓與圓的位置關(guān)系有幾種？ ②判斷兩圓的位置關(guān)系,你有什么好的方法嗎？ ③你能在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中畫出兩個(gè)方程所表示的圓嗎？ ④根據(jù)你所畫出的圖形,可以直觀判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系.如何把這些直觀的事實(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)語言呢？ ⑤如何判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系呢？ ⑥若將兩個(gè)圓的方程相減,你發(fā)現(xiàn)了什么？ ⑦兩個(gè)圓的位置關(guān)系是否可以轉(zhuǎn)化為一條直線與兩個(gè)圓中的一個(gè)圓的關(guān)系的判定呢？ 活動(dòng)： 教師引導(dǎo)學(xué)生回顧學(xué)過的知識(shí)、舉例,并對(duì)學(xué)生活動(dòng)進(jìn)行評(píng)價(jià)；學(xué)生回顧知識(shí)點(diǎn)時(shí),可互相交流.教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀教科書中的相關(guān)內(nèi)容,注意個(gè)別輔導(dǎo),解答學(xué)生疑難,并引導(dǎo)學(xué)生自己總結(jié)解題的方法.學(xué)生觀察圖形并思考,發(fā)表自己的解題方法.教師應(yīng)該關(guān)注并發(fā)現(xiàn)有多少學(xué)生利用“圖形”求解,對(duì)這些學(xué)生應(yīng)該給予表揚(yáng).同時(shí)強(qiáng)調(diào),解析幾何是一門數(shù)與形結(jié)合的學(xué)科.啟發(fā)學(xué)生利用圖形的特征,用代數(shù)的方法來解決幾何問題.教師指導(dǎo)學(xué)生利用兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)、半徑長(zhǎng)、連心線長(zhǎng)的關(guān)系來判別兩個(gè)圓的位置.學(xué)生互相探討、交流,尋找解決問題的方法,并能通過圖形的直觀性,利用平面直角坐標(biāo)系的兩點(diǎn)間距離公式尋求解題的途徑. 討論結(jié)果：①初中學(xué)過的平面幾何中,圓與圓的位置關(guān)系有五類,分別是外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含. ②判斷兩圓的位置關(guān)系,我們可以類比直線與圓的位置關(guān)系的判定,目前我們只有初中學(xué)過的幾何法,利用圓心距與兩圓半徑的和與差之間的關(guān)系判斷. ③略. ④根據(jù)所畫出的圖形,可以直觀判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系.用幾何的方法說就是圓心距(d)與兩圓半徑(r,R)的和與差之間的關(guān)系. ⑤判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系.一是可以利用幾何法,即兩個(gè)圓的圓心坐標(biāo)、半徑長(zhǎng)、連心線長(zhǎng)的關(guān)系來判別兩個(gè)圓的位置關(guān)系.設(shè)兩圓的連心線長(zhǎng)為l,則判別圓與圓的位置關(guān)系的依據(jù)有以下幾點(diǎn)： 1當(dāng)d＞R+r時(shí),圓C1與圓C2外離； 2當(dāng)d=R+r時(shí),圓C1與圓C2外切； 3當(dāng)|R-r|＜d＜R+r時(shí),圓C1與圓C2相交； 4當(dāng)d=|R-r|時(shí),圓C1與圓C2內(nèi)切； 5當(dāng)d＜|R-r|時(shí),圓C1與圓C2內(nèi)含； 二是看兩圓的方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的情況,解兩個(gè)圓的方程所組成的二元二次方程組.若方程組有兩組不同的實(shí)數(shù)解,則兩圓相交；若方程組有兩組相同的實(shí)數(shù)解,則兩圓相切；若無實(shí)數(shù)解,兩圓相離. 總結(jié)比較兩種方法的優(yōu)缺點(diǎn). 幾何方法：直觀,容易理解,但不能求出交點(diǎn)坐標(biāo). 代數(shù)方法： 1只能判斷交點(diǎn),并不能準(zhǔn)確的判斷位置關(guān)系(有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)不能判斷內(nèi)切還是外切,無交點(diǎn)時(shí)不能判斷內(nèi)含還是外離). 2優(yōu)點(diǎn)是可以求出公共點(diǎn). ⑥若將兩個(gè)圓的方程相減,得到一個(gè)一元一次方程,既直線方程,由于它過兩圓的交點(diǎn),所以它是相交兩圓的公共弦的方程. ⑦兩個(gè)圓的公共點(diǎn)的問題可以化歸為這條公共直線與兩個(gè)圓中的一個(gè)圓的公共點(diǎn)的判定問題.由點(diǎn)到直線的距離公式來判斷. 應(yīng)用示例 例1 已知圓C1：x2+y2+2x+8y-8=0,圓C2：x2+y2-4x-4y-2=0,判斷兩圓的位置關(guān)系. 活動(dòng):學(xué)生思考交流,教師引導(dǎo)提示,判斷兩圓的位置關(guān)系有兩種基本的方法,要合理使用.方法一看兩圓的方程組成的方程組的實(shí)數(shù)解的情況,方法二利用圓心距與兩圓半徑的和與差之間的關(guān)系判斷. 解:方法一:圓C1與圓C2的方程聯(lián)立得到方程組 ①-②得x+2y-1=0, ③ 由③得y=,把上式代入①并整理得x2-2x-3=0. ④ 方程④的判別式Δ=(-2)2-41(-3)=16＞0,所以方程④有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,即圓C1與圓C2相交. 方法二:把圓C1:x2+y2+2x+8y-8=0,圓C2:x2+y2-4x-4y-2=0,化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x+1)2+(y+4)2=25與(x-2)2+(y-2)2=10. 圓C1的圓心是點(diǎn)(-1,-4),半徑長(zhǎng)r1=5; 圓C2的圓心是點(diǎn)(2,2),半徑長(zhǎng)r2=. 圓C1與圓C2的連心線的長(zhǎng)為=3,圓C1與圓C2的半徑長(zhǎng)之和為r1+r2=5+, 半徑長(zhǎng)之差為r1-r2=5-. 而5-＜3＜5+,即r1-r2＜3＜r1+r2, 所以圓C1與圓C2相交,它們有兩個(gè)公共點(diǎn)A、B. 點(diǎn)評(píng):判斷兩圓的位置關(guān)系,一般情況下,先化為標(biāo)準(zhǔn)方程,利用幾何法判斷較為準(zhǔn)確直觀. 變式訓(xùn)練 判斷下列兩圓的位置關(guān)系,如果兩圓相交,請(qǐng)求出公共弦的方程. (1)(x+2)2+(y-2)2=1與(x-2)2+(y-5)2=16, (2)x2+y2+6x-7=0與x2+y2+6y-27=0. 解:(1)根據(jù)題意,得兩圓的半徑分別為r1=1和r2=4,兩圓的圓心距 d==5. 因?yàn)閐=r1+r2,所以兩圓外切. (2)將兩圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,得(x+3)2+y2=16,x2+(y+3)2=36. 故兩圓的半徑分別為r1=4和r2=6, 兩圓的圓心距d=. 因?yàn)閨r1-r2|＜d＜r1+r2,所以兩圓相交. 例2 已知圓C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圓C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長(zhǎng). 活動(dòng)：學(xué)生審題,思考并交流,探討解題的思路,教師及時(shí)提示引導(dǎo),因兩圓的交點(diǎn)坐標(biāo)同時(shí)滿足兩個(gè)圓方程,聯(lián)立方程組,消去x2項(xiàng)、y2項(xiàng),即得兩圓的兩個(gè)交點(diǎn)所在的直線方程,利用勾股定理可求出兩圓公共弦長(zhǎng). 解:設(shè)兩圓交點(diǎn)為A(x1,y1)、B(x2,y2),則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)滿足方程組 ①-②,得3x-4y+6=0. 因?yàn)锳、B兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足此方程,所以3x-4y+6=0即為兩圓公共弦所在的直線方程. 易知圓C1的圓心(-1,3),半徑r=3. 又點(diǎn)C1到直線的距離為d==. 所以AB=2,即兩圓的公共弦長(zhǎng)為. 點(diǎn)評(píng):處理圓有關(guān)的問題,利用圓的幾何性質(zhì)往往比較簡(jiǎn)單,要注意體會(huì)和應(yīng)用. 知能訓(xùn)練 課堂練習(xí)P141練習(xí)題 課堂小結(jié) 本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了圓與圓的位置關(guān)系，判斷方法：幾何方法和代數(shù)方法. 作業(yè) 習(xí)題4.2 A組8、9、10、11. 板書設(shè)計(jì) 4.2.2 圓與圓的位置關(guān)系 圓與圓的位置關(guān)系： 例1 相離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含 變式 例2 教學(xué)反思 本節(jié)課研究圓與圓的位置關(guān)系,重點(diǎn)是研究?jī)蓤A位置關(guān)系的判斷方法,并應(yīng)用這些方法解決有關(guān)的實(shí)際問題.教材是在初中平面幾何對(duì)圓與圓的位置關(guān)系的初步分析的基礎(chǔ)上得到圓與圓的位置關(guān)系的幾何方法,但用代數(shù)的方法來解決幾何問題是解析幾何的精髓,是平面幾何問題的深化,它將是以后處理圓錐曲線的基本方法..前一堂課學(xué)習(xí)過直線與圓的位置關(guān)系,圓與圓的位置關(guān)系的研究和直線與圓的位置關(guān)系的研究方法是類似的,所以可以用類比的思想來引導(dǎo)學(xué)生自主地探究圓與圓的位置關(guān)系.作為解析幾何的一堂課,判斷圓與圓的位置關(guān)系,體現(xiàn)的正是解析幾何的思想：用代數(shù)方法處理幾何問題,用幾何方法處理代數(shù)問題.所以在教材處理上,對(duì)判斷兩圓位置關(guān)系用了代數(shù)和幾何兩種方法,兩種方法貫穿始終,使學(xué)生對(duì)解析幾何的本質(zhì)有所了解