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專題檢測（十四） 直線與圓 A組——“6＋3＋3”考點落實練 一、選擇題 1．“ab＝4”是“直線2x＋ay－1＝0與直線bx＋2y－2＝0平行”的(　　) A．充要條件　　　　 　　 　B．充分不必要條件 C．必要不充分條件 D．既不充分也不必要條件 解析：選C　因為兩直線平行，所以斜率相等，即－＝－，可得ab＝4，又當a＝1，b＝4時，滿足ab＝4，但是兩直線重合，故選C. 2．已知直線l1過點(－2,0)且傾斜角為30，直線l2過點(2,0)且與直線l1垂直，則直線l1與直線l2的交點坐標為(　　) A．(3，) B．(2，) C．(1，) D. 解析：選C　直線l1的斜率k1＝tan 30＝，因為直線l2與直線l1垂直，所以直線l2的斜率k2＝－＝－，所以直線l1的方程為y＝(x＋2)，直線l2的方程為y＝－(x－2)，聯立解得即直線l1與直線l2的交點坐標為(1，)． 3．已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長度是2，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關系是(　　) A．內切 B．相交 C．外切 D．相離 解析：選B　圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)可化為x2＋(y－a)2＝a2，由題意，M(0，a)到直線x＋y＝0的距離d＝，所以a2＝＋2，解得a＝2.所以圓M：x2＋(y－2)2＝4，所以兩圓的圓心距為，半徑和為3，半徑差為1，故兩圓相交． 4．(2018全國卷Ⅲ)直線x＋y＋2＝0分別與x軸，y軸交于A，B兩點，點P在圓(x－2)2＋y2＝2上，則△ABP面積的取值范圍是(　　) A．[2,6] B．[4,8] C．[，3] D．[2，3] 解析：選A　設圓(x－2)2＋y2＝2的圓心為C，半徑為r，點P到直線x＋y＋2＝0的距離為d， 則圓心C(2,0)，r＝， 所以圓心C到直線x＋y＋2＝0的距離為＝2， 可得dmax＝2＋r＝3，dmin＝2－r＝. 由已知條件可得|AB|＝2， 所以△ABP面積的最大值為|AB|dmax＝6， △ABP面積的最小值為|AB|dmin＝2. 綜上，△ABP面積的取值范圍是[2,6]． 5．已知圓O：x2＋y2＝4上到直線l：x＋y＝a的距離等于1的點至少有2個，則實數a的取值范圍為(　　) A．(－3，3) B．(－∞，－3)∪(3，＋∞) C．(－2，2) D．[－3，3 ] 解析：選A　由圓的方程可知圓心為(0,0)，半徑為2.因為圓O上到直線l的距離等于1的點至少有2個，所以圓心到直線l的距離d0，y1＋y2＝，x1＋x2＝k(y1＋y2)－2＝－，因為＝＋，故M，又點M在圓C上，故＋＝4，解得k＝0. 法二：由直線與圓相交于A，B兩點，＝＋，且點M在圓C上，得圓心C(0,0)到直線x－ky＋1＝0的距離為半徑的一半，為1，即d＝＝1，解得k＝0. 二、填空題 7．已知直線l：x＋my－3＝0與圓C：x2＋y2＝4相切，則m＝________. 解析：因為圓C：x2＋y2＝4的圓心為(0,0)，半徑為2，直線l：x＋my－3＝0與圓C： x2＋y2＝4相切，所以2＝，解得m＝ . 答案： 8．過點C(3,4)作圓x2＋y2＝5的兩條切線，切點分別為A，B，則點C到直線AB的距離為________． 解析：以OC為直徑的圓的方程為2＋(y－2)2＝2，AB為圓C與圓O：x2＋y2＝5的公共弦，所以AB的方程為x2＋y2－＝5－，化簡得3x＋4y－5＝0，所以C到直線AB的距離d＝＝4. 答案：4 9．(2018貴陽適應性考試)已知直線l：ax－3y＋12＝0與圓M：x2＋y2－4y＝0相交于A，B兩點，且∠AMB＝，則實數a＝________. 解析：直線l的方程可變形為y＝ax＋4，所以直線l過定點(0,4)，且該點在圓M上．圓的方程可變形為x2＋(y－2)2＝4，所以圓心為M(0，2)，半徑為2.如圖，因為∠AMB＝，所以△AMB是等邊三角形，且邊長為2，高為，即圓心M到直線l的距離為，所以＝，解得a＝. 答案： 三、解答題 10．已知圓(x－1)2＋y2＝25，直線ax－y＋5＝0與圓相交于不同的兩點A，B. (1)求實數a的取值范圍； (2)若弦AB的垂直平分線l過點P(－2,4)，求實數a的值． 解：(1)把直線ax－y＋5＝0代入圓的方程， 消去y整理，得(a2＋1)x2＋2(5a－1)x＋1＝0， 由于直線ax－y＋5＝0交圓于A，B兩點， 故Δ＝4(5a－1)2－4(a2＋1)>0， 即12a2－5a>0，解得a>或a<0， 所以實數a的取值范圍是(－∞，0)∪. (2)由于直線l為弦AB的垂直平分線，且直線AB的斜率為a，則直線l的斜率為－， 所以直線l的方程為y＝－(x＋2)＋4， 即x＋ay＋2－4a＝0，由于l垂直平分弦AB， 故圓心M(1,0)必在l上，所以1＋0＋2－4a＝0， 解得a＝，由于∈， 所以a＝. 11．已知以點A(－1,2)為圓心的圓與直線l1：x＋2y＋7＝0相切．過點B(－2,0)的動直線l與圓A相交于M，N兩點． (1)求圓A的方程； (2)當|MN|＝2時，求直線l的方程． 解：(1)設圓A的半徑為R. 因為圓A與直線l1：x＋2y＋7＝0相切， 所以R＝＝2. 所以圓A的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20. (2)當直線l與x軸垂直時，易知x＝－2符合題意； 當直線l與x軸不垂直時， 設直線l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0. 由于|MN|＝2，于是2＋()2＝20，解得k＝， 此時，直線l的方程為3x－4y＋6＝0. 所以所求直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0. 12．在平面直角坐標系xOy中，直線x－y＋1＝0截以原點O為圓心的圓所得的弦長為. (1)求圓O的方程； (2)若直線l與圓O相切于第一象限，且直線l與坐標軸交于點D，E，當線段DE的長度最小時，求直線l的方程． 解：(1)因為點O到直線x－y＋1＝0的距離為， 所以圓O的半徑為 ＝， 故圓O的方程為x2＋y2＝2. (2)設直線l的方程為＋＝1(a>0，b>0)，即bx＋ay－ab＝0， 由直線l與圓O相切，得＝，即＋＝，則|DE|2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)＝4＋＋≥8，當且僅當a＝b＝2時取等號，此時直線l的方程為x＋y－2＝0. B組——大題專攻補短練 1．已知點M(－1,0)，N(1,0)，曲線E上任意一點到點M的距離均是到點N的距離的 倍． (1)求曲線E的方程； (2)已知m≠0，設直線l1：x－my－1＝0交曲線E于A，C兩點，直線l2：mx＋y－m＝0交曲線E于B，D兩點．當CD的斜率為－1時，求直線CD的方程． 解：(1)設曲線E上任意一點的坐標為(x，y)， 由題意得 ＝， 整理得x2＋y2－4x＋1＝0，即(x－2)2＋y2＝3為所求． (2)由題意知l1⊥l2，且兩條直線均恒過點N(1，0)． 設曲線E的圓心為E，則E(2,0)，設線段CD的中點為P，連接EP，ED，NP，則直線EP：y＝x－2. 設直線CD：y＝－x＋t， 由解得點P， 由圓的幾何性質，知|NP|＝|CD|＝ ， 而|NP|2＝2＋2，|ED|2＝3， |EP|2＝2， 所以2＋2＝3－，整理得t2－3t＝0， 解得t＝0或t＝3， 所以直線CD的方程為y＝－x或y＝－x＋3. 2．在平面直角坐標系xOy中，點A(0,3)，直線l：y＝2x－4，設圓C的半徑為1，圓心 在l上． (1)若圓心C也在直線y＝x－1上，過點A作圓C的切線，求切線的方程； (2)若圓C上存在點M，使|MA|＝2|MO|，求圓心C的橫坐標a的取值范圍． 解：(1)因為圓心在直線l：y＝2x－4上，也在直線y＝x－1上， 所以解方程組得圓心C(3,2)， 又因為圓的半徑為1， 所以圓的方程為(x－3)2＋(y－2)2＝1， 又因為點A(0,3)，顯然過點A，圓C的切線的斜率存在， 設所求的切線方程為y＝kx＋3，即kx－y＋3＝0， 所以＝1，解得k＝0或k＝－， 所以所求切線方程為y＝3或y＝－x＋3， 即y－3＝0或3x＋4y－12＝0. (2)因為圓C的圓心在直線l：y＝2x－4上， 所以設圓心C為(a,2a－4)， 又因為圓C的半徑為1， 則圓C的方程為(x－a)2＋(y－2a＋4)2＝1. 設M(x，y)，又因為|MA|＝2|MO|，則有 ＝2， 整理得x2＋(y＋1)2＝4，其表示圓心為(0，－1)，半徑為2的圓，設為圓D， 所以點M既在圓C上，又在圓D上，即圓C與圓D有交點， 所以2－1≤ ≤2＋1， 解得0≤a≤， 所以圓心C的橫坐標a的取值范圍為. 3．在直角坐標系xOy中，曲線y＝x2＋mx－2與x軸交于A，B兩點，點C的坐標為(0,1)，當m變化時，解答下列問題： (1)能否出現AC⊥BC的情況？說明理由； (2)證明過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值． 解：(1)不能出現AC⊥BC的情況，理由如下： 設A(x1,0)，B(x2,0)，則x1，x2滿足x2＋mx－2＝0， 所以x1x2＝－2. 又C的坐標為(0,1)， 故AC的斜率與BC的斜率之積為＝－， 所以不能出現AC⊥BC的情況． (2)證明：由(1)知BC的中點坐標為， 可得BC的中垂線方程為y－＝x2. 由(1)可得x1＋x2＝－m， 所以AB的中垂線方程為x＝－. 聯立可得 所以過A，B，C三點的圓的圓心坐標為，半徑r＝. 故圓在y軸上截得的弦長為2＝3，即過A，B，C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值． 4．(2018廣州高中綜合測試)已知定點M(1,0)和N(2,0)，動點P滿足|PN|＝|PM|. (1)求動點P的軌跡C的方程； (2)若A，B為(1)中軌跡C上兩個不同的點，O為坐標原點．設直線OA，OB，AB的斜率分別為k1，k2，k.當k1k2＝3時，求k的取值范圍． 解：(1)設動點P的坐標為(x，y)， 因為M(1,0)，N(2,0)，|PN|＝|PM|， 所以 ＝. 整理得，x2＋y2＝2. 所以動點P的軌跡C的方程為x2＋y2＝2. (2)設點A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為y＝kx＋b. 由消去y，整理得(1＋k2)x2＋2bkx＋b2－2＝0.(*) 由Δ＝(2bk)2－4(1＋k2)(b2－2)>0，得b2<2＋2k2.① 由根與系數的關系，得x1＋x2＝－，x1x2＝.② 由k1k2＝＝＝3， 得(kx1＋b)(kx2＋b)＝3x1x2， 即(k2－3)x1x2＋bk(x1＋x2)＋b2＝0.③ 將②代入③，整理得b2＝3－k2.④ 由④得b2＝3－k2≥0，解得－≤k≤.⑤ 由①和④，解得k<－或k>.⑥ 要使k1，k2，k有意義，則x1≠0，x2≠0， 所以0不是方程(*)的根， 所以b2－2≠0，即k≠1且k≠－1.⑦ 由⑤⑥⑦，得k的取值范圍為[－，－1)∪∪∪(1， ]．