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2019-2020年人教A版高中數(shù)學(xué)必修二 4-1-2 圓的一般方程 教案 教學(xué)目標(biāo) 1.知識(shí)與技能： （1）掌握?qǐng)A的一般方程的形式；； （2）能夠根據(jù)題目給定條件求圓的一般方程； （3）能夠根據(jù)圓的一般方程找到圓心和半徑。 2.過程與方法：加深對(duì)數(shù)形結(jié)合思想和待定系數(shù)法的理解；增強(qiáng)應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)。 從高考發(fā)展的趨勢(shì)看，高考越來越重視學(xué)生的分析問題、解決問題的能力。因此，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)中遇到問題時(shí)，不要急于求成，而要根據(jù)問題提供的信息回憶所學(xué)知識(shí)，涉及到轉(zhuǎn)化思想，數(shù)形結(jié)合的思想，應(yīng)用平面解析幾何的相關(guān)知識(shí)。 經(jīng)歷公理的推導(dǎo)過程，體驗(yàn)由特殊到一般、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法。使學(xué)生初步學(xué)會(huì)把一些實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為直線和平面的問題,關(guān)鍵是要使該問題是否滿足點(diǎn)、直線、平面以及它們之間的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力 3.情感態(tài)度價(jià)值觀： （1）空間教學(xué)的核心問題是讓學(xué)生了解圓的特征，加強(qiáng)與實(shí)際生活的聯(lián)系，以科學(xué)的態(tài)度評(píng)價(jià)身邊的一些現(xiàn)象； （2）用有現(xiàn)實(shí)意義的實(shí)例，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索，善于發(fā)現(xiàn)的創(chuàng)新思想。培養(yǎng)學(xué)生掌握“理論來源于實(shí)踐，并把理論應(yīng)用于實(shí)踐”的辨證思想 重點(diǎn)難點(diǎn) 1.教學(xué)重點(diǎn)：圓的一般方程的推導(dǎo)以及根據(jù)條件求圓的一般方程； 2.教學(xué)難點(diǎn)：根據(jù)條件求圓的一般方程 教學(xué)過程： 課題引入： 問題：求過三點(diǎn)A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程。 利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問題顯然有些麻煩，得用直線的知識(shí)解決又有其簡(jiǎn)單的局限性，那么這個(gè)問題有沒有其它的解決方法呢？帶著這個(gè)問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式——圓的一般方程。 探索研究： 請(qǐng)同學(xué)們寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程： (x－a)2＋(y－b)2=r2，圓心(a，b)，半徑r． 　　把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程展開，并整理： x2＋y2－2ax－2by＋a2＋b2－r2=0． 取得 ① 這個(gè)方程是圓的方程． 反過來給出一個(gè)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0的方程，它表示的曲線一定是圓嗎？ 把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F=0配方得 ② (配方過程由學(xué)生去完成)這個(gè)方程是不是表示圓？ (1)當(dāng)D2＋E2－4F＞0時(shí)，方程②表示（1）當(dāng)時(shí)，表示以（-，-）為圓心,為半徑的圓； （2）當(dāng)時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解，，即只表示一個(gè)點(diǎn)（-，-）; （3）當(dāng)時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因而它不表示任何圖形 綜上所述，方程表示的曲線不一定是圓 只有當(dāng)時(shí)，它表示的曲線才是圓，我們把形如的表示圓的方程稱為圓的一般方程 我們來看圓的一般方程的特點(diǎn)：(啟發(fā)學(xué)生歸納) (1)①x2和y2的系數(shù)相同，不等于0． 　②沒有xy這樣的二次項(xiàng)． (2)圓的一般方程中有三個(gè)特定的系數(shù)D、E、F，因之只要求出這三個(gè)系數(shù)，圓的方程就確定了． (3)、與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程相比較，它是一種特殊的二元二次方程，代數(shù)特征明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特征較明顯。 知識(shí)應(yīng)用與解題研究： 例1：判斷下列二元二次方程是否表示圓的方程？如果是，請(qǐng)求出圓的圓心及半徑。 學(xué)生自己分析探求解決途徑：①、用配方法將其變形化成圓的標(biāo)準(zhǔn)形式。②、運(yùn)用圓的一般方程的判斷方法求解。但是，要注意對(duì)于來說，這里的 . 例2：求過三點(diǎn)A（0，0），B（1，1），C（4，2）的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo)。 分析：據(jù)已知條件，很難直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而圓的一般方程則需確定三個(gè)系數(shù)，而條件恰給出三點(diǎn)坐標(biāo)，不妨試著先寫出圓的一般方程 解：設(shè)所求的圓的方程為： ∵在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上面的方程，可以得到關(guān)于的三元一次方程組， 即 解此方程組，可得： ∴所求圓的方程為： ； 得圓心坐標(biāo)為（4，-3）. 或?qū)⒆筮吪浞交癁閳A的標(biāo)準(zhǔn)方程，,從而求出圓的半徑，圓心坐標(biāo)為(4,-3) 學(xué)生討論交流，歸納得出使用待定系數(shù)法的一般步驟： ①、 根據(jù)提議，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程； ②、 根據(jù)條件列出關(guān)于a、b、r或D、E、F的方程組； ③、 解出a、b、r或D、E、F，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程。 例3、已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（4，3），端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程。 分析：如圖點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)引起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)A在已知圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程。建立點(diǎn)M與點(diǎn)A坐標(biāo)之間的關(guān)系，就可以建立點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足的條件，求出點(diǎn)M的軌跡方程。 解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是（x,y）,點(diǎn)A的坐標(biāo)是 ① 上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)滿足方程,即 ② 把①代入②，得 課堂練習(xí)：課堂練習(xí)第1、2、3題 達(dá)標(biāo)檢測(cè) 1,已知方程x2+y2+kx+(1-k)y+=0表示圓，則k的取值范圍 ( D ) A k>3 B C -23或k<-2 2.求下列各題的圓心坐標(biāo)、半徑長(zhǎng) （1）x2+y2-6x=0 (3,0); r=3 (2) x2+y2+2by=0 (0,-b) ; r= 3.下列各方程各表示什么圖形？ （1）x2+y2=0 (0,0) (2)x2+y2-2x+4y-6=0 以 (1,-2)為圓心，為半徑圓 (3) x2+y2+2ax-b2=0 以（-a,0）為圓心，為半徑圓 小結(jié) ： 1．對(duì)方程的討論(什么時(shí)候可以表示圓) 2．與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化 3．用待定系數(shù)法求圓的方程 4．求與圓有關(guān)的點(diǎn)的軌跡。 課后作業(yè)：習(xí)題4.1第2、3、6題