《全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析 蘇教版7》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題及解析 蘇教版7（6頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、1987年全國高中數(shù)學聯(lián)賽試題 一試題(10月11日上午8∶00——9∶30) 一．選擇題(每個小題選對得5分，不選得1分；選錯或選出的代號超過一個者得0分．本題滿分20分)： 1．對任意給定的自然數(shù)n，若n6+3a為正整數(shù)的立方，其中a為正整數(shù)，則( ) A．這樣的a有無窮多個 B．這樣的a存在，但只有有限個 C．這樣的a不存在 D．以上A、B、C的結論都不正確(上海供題) 2．邊長為5的菱形，它的一條對角線的長不大于6，另一條不小于6，則這個菱形兩條對角線長度之和的最大值是( )

2、A．10 B．14 C．5 D．12(天津供題) 3．在平面直角坐標系中縱橫坐標均為有理數(shù)的點稱為有理點，若a為無理數(shù)，則過(a，0)的所有直線中( ) A．有無窮多條直線，其中每條直線上至少存在兩個有理點 B．恰有n(2≤n<+∞)條直線，其中每條直線上至少存在兩個有理點 C．有且僅有一條直線至少通過兩個有理點 D．每條直線至多通過一個有理點(河南供題) 4．如圖，△ABC的頂點B在單位圓的圓心上，A、C在圓周上，∠ABC=2α (0<α<)，現(xiàn)將△ABC在圓內按逆時針方向依次作旋轉，具體

3、方法如下：第一次，以A為中心使B落到圓周上；第二次，以B為中心，使C落到圓周上；第三次，以C為中心，使A落到圓周上．如此旋轉直到100次．那么A點所走過的路程的總長度為( ) A．22π(1+sinα)－66α B．π C．22π+πsinα－66α D．33π－66α(北京供題) 二．填空題(每小題填寫結果完全正確者得8分，填寫錯誤或多填、少填者均得0分，本題滿分40分)： 1．已知集合 M={x，xy，lg(xy)} 及 N={0，|x|，y}， 并且M=N，那么 (x+

4、)+(x2+)+(x3+)+…+(x2001+)的值等于 ．(陜西供題) 2．已知集合 A={(x，y)| |x|+|y|=α，α>0} B={(x，y)| |xy|+1=|x|+|y|} 若A∩B是平面上正八邊形的頂點所構成的集合，則α的值為 ．(青海供題) 3．若k是大于1的整數(shù)，α是x2－kx+1=0的一個根，對于大于10的任意自然數(shù)n，α+α的個位數(shù)字總是7，則k的個位數(shù)字是 ．(河北供題) 4．現(xiàn)有邊長為3，4，5的三角形兩個，邊長為4，5，的三角形四個，邊

5、長為，4，5的三角形六個，用上述三角形為面，可以拼成 個四面體．(江西供題) 5．五對孿生兄妹參加k個組活動，若規(guī)定：⑴ 孿生兄妹不在同一組；⑵非孿生關系的任意兩個人都恰好共同參加過一個組的活動，⑶有一人只參加兩個組的活動，則k的最小值為 ．(命題組供題) 1987年全國高中數(shù)學聯(lián)賽二試題 一．如圖，△ABC和△ADE是兩個不全等的等腰直角三角形，現(xiàn)固定△ABC，而將△ADE繞A點在平面上旋轉，試證：不論△ADE旋轉到什么位置，線段EC上必存在點M，使△BMD為等腰直角三角形． 二．在坐標平面上，縱橫坐標都是整數(shù)的

6、點稱為整點．試證：存在一個同心圓的集合，使得 ⑴每個整點都在此集合的某個圓周上； ⑵此集合的每個圓周上，有且只有一個整點．(辛澤爾定理) 三．n(n>3)名乒乓球選手單打若干場后，任意兩個選手已賽過的對手恰好都不完全相同，試證明：總可以從中去掉一名選手，而使在余下的選手中，任意兩個選手已賽過的對手仍然都不完全相同． 1987年全國高中數(shù)學聯(lián)賽解答 一試題 一．選擇題(每個小題選對得5分，不選得1分；選錯或選出的代號超過一個者得0分．本題滿分20分)： 1．對任意給定的自然數(shù)n，若n6+3a為正整數(shù)的立方，其中a

7、為正整數(shù)，則( ) A．這樣的a有無窮多個 B．這樣的a存在，但只有有限個 C．這樣的a不存在 D．以上A、B、C的結論都不正確(上海供題) 解：(n2+3k)3=n6+9n4k+27n2k2+27k3=n6+3(3n4+9n2k+9k2)k．取a=(3n4+9n2k+9k2)k，(k為任意正整數(shù))，則n6+3a為正整數(shù)的立方，由于k可任意取值，且當k增大時，a也隨之增大．即a有無數(shù)個．選A． 2．邊長為5的菱形，它的一條對角線的長不大于6，另一條不小于6，則這個菱形兩條對角線長度之和的最大值是(

8、 ) A．10 B．14 C．5 D．12(天津供題) 解：設x≥3，y≤3，且x2+y2=25．滿足要求的點構成直角坐標系中一段弧(圖中粗線部分)．令x+y=k，則當直線經(jīng)過點(4，3)時取得最大值7．即2x+2y≤14．選B． 3．在平面直角坐標系中縱橫坐標均為有理數(shù)的點稱為有理點，若a為無理數(shù)，則過(a，0)的所有直線中( ) A．有無窮多條直線，其中每條直線上至少存在兩個有理點 B．恰有n(2≤n<+∞)條直線，其中每條直線上至少存在兩個有理點 C．有且僅有一條直線至少通過兩個有理點 D．每條直線至

9、多通過一個有理點(河南供題) 解：若直線斜率為k，則當k=0時直線經(jīng)過x軸上所有有理點． 當k≠0時，直線方程為y=k(x－a)． 若k為有理數(shù)，則當x為有理數(shù)時，y為無理數(shù)； 若k為無理數(shù)，若此時直線經(jīng)過一個有理點A(x1，y1)，對于直線上與A不重合的點B(x2，y2)．由y1=k(x1－a)，y2=k(x2－a)，由于a為無理數(shù)，故y1≠0，x2－a≠0，==m，當y2為有理數(shù)時，m為有理數(shù)，當y2≠y1時，m≠1，此時x2=mx1+(1－m)a為無理數(shù)．即此直線上至多有一個有理點．選C． 4．如圖，△ABC的頂點B在單位圓的圓心上，A、C在圓周上，∠ABC=2α(0<α<

10、 )現(xiàn)將△ABC在圓內按逆時針方向依次作旋轉，具體方法如下：第一次，以A為中心使B落到圓周上；第二次，以B為中心，使C落到圓周上；第三次，以C為中心，使A落到圓周上．如此旋轉直到100次．那么A點所走過的路程的總長度為( ) A．22π(1+sinα)－66α B．π C．22π+ πsinα－66α D．33π－66α(北京供題) 解：點A每k(k≡1(mod 3))不動，第k(k≡2(mod 3))次走過路程π－2α，第k(k≡0(mod 3))走過路程(2sinα)，于是所求路程=33(π－2α+ πsinα)．

11、選A． 二．填空題(每小題填寫結果完全正確者得8分，填寫錯誤或多填、少填者均得0分，本題滿分40分)： 1．已知集合 M={x，xy，lg(xy)} 及 N={0，|x|，y}， 并且M=N，那么 (x+)+(x2+)+(x3+)+…+(x2001+)的值等于 ．(陜西供題) 解 0∈M，但xy10，故只有l(wèi)g(xy)=0，，xy=1． ∴ 1∈N，故|x|=1，或y=1，若y=1，則由xy=1得，x=1，與元素相異性矛盾．故y11． ∴ |x|=1，x=1或x=－1，其中x=1同上矛盾．故x=－1．y=－1． ∴

12、x2k+ = 2；x2k+1+ =－2(k∈N*)．故所求值=－2． 解：xy≠0，Tx≠0，y≠0．故xy=1．若y=1，則x=1，矛盾，故x=－1，y=－1．原式=－2． 2．已知集合 A={(x，y)| |x|+|y|=α，α>0} B={(x，y)| |xy|+1=|x|+|y|} 若A∩B是平面上正八邊形的頂點所構成的集合，則α的值為 ．(青海供題) 解：集合A的圖形是依次連(α，0)，(0，α)，(－α，0)，(0，－α)四點的線段． 集合B的圖形是直線x=1，x=－1，y=1，y=－1．它們交得一個正八邊

13、形． 若此4條直線為圖中的4條實線，則α=tan°+1= ．或此正八邊形各邊與原點距離相等，知直線x+y=α與原點距離=1．α= ． 若此4條直線為圖中的4條虛線，則α=2+2，Tα=2+． ∴ α=2或2+ ． 3．若k是大于1的整數(shù)，α是x2－kx+1=0的一個根，對于大于10的任意自然數(shù)n，α+α的個位數(shù)字總是7，則k的個位數(shù)字是 ．(河北供題) 解：另一根=α－1，α+α－1=k，記α+α≡kn(mod 10)，0≤kn<10． 由α+α=(α+α)2－2得，kn≡kn－12+8(mod 10)．若k為偶數(shù)，則kn為偶數(shù)，不等于7． 若kn－1≡±1(m

14、od 10)，則kn≡9，Tkn+1≡9(mod 10)； 若kn－1≡±3(mod 10)，則kn≡7，Tkn+1≡7(mod 10)； 若kn－1≡5(mod 10)，則kn≡9，Tkn+1≡9(mod 10)； 故k的個位數(shù)字為3，5，7． 4．現(xiàn)有邊長為3，4，5的三角形兩個，邊長為4，5，的三角形四個，邊長為，4，5的三角形六個，用上述三角形為面，可以拼成 個四面體．(江西供題) 解：用四個三角形拼成四面體，每種邊長至少要在兩個三角形中出現(xiàn)．因此以上三種三角形如果要用，就用偶數(shù)個．由于第①類邊長為3，4，5的三角形與第②類邊長為4，5，的三角形都是直角三

15、角形，而第③類邊長為，4，5的三角形為鈍角三角形．因此，用4個后兩種三角形都不能單獨拼成四面體(四個面全等的四面體是等腰四面體，其各面都是銳角三角形)． 情況⑴：4個三角形中有兩個②類三角形，如圖，取兩個②類三角形，BC=，則斜邊BC上的高AE=DF=h=．且BE=CF=x=，則EF=－2×=． 于是AD2=AE2+EF2+FD2－2AE·DFcosθ=(881－810cosθ) ∈(，41)． (*) 若再取兩個①類三角形時，由于AD=3，滿足(*)式，故可以構成四面體． 若再取兩個③類三角形時，由于AD=，不滿足(*)式，故不可以構成四面體．

16、情況⑵：兩個①類，兩個③類．此時取BC=5，AB=CD=3，于是斜邊BC上的高AE=DF=h=．且BE=CF=x=，則EF=5－2×=． 于是AD2=AE2+EF2+FD2－2AE·DFcosθ= (337－288cosθ)∈(，25)． 由于AD=，不滿足(*)式，故不可以構成四面體． ∴ 只能構成1個四面體． 5．五對孿生兄妹參加k個組活動，若規(guī)定：⑴ 孿生兄妹不在同一組；⑵非孿生關系的任意兩個人都恰好共同參加過一個組的活動，⑶有一人只參加兩個組的活動，則k的最小值為 ．(命題組供題) 解：設此10人為A，a；B，b；C，c；D，d；E，e． A只參加2組，故

17、除a外其余8人應分成2組，每組人數(shù)都不超過4人（否則有孿生兄妹同組)．記第一組為{B，C，D，E}，第二組為{b，c，d，e}．于是其余8人中大寫字母不再同組，小寫字母也不再同組．即除a外其余組中人數(shù)不超過2人．每人都再參加3組，故至少還要3×4=12組．a(chǎn)可參加其中4組．即至少要14組．又{a，B，c}，{B，d}，{B，e}，{a，C，b}，{C，d}，{C，e}，{D，b}，{D，c}，{a，D，e}，{E，b}，{E，c}，{a，E，d}滿足要求．故所求最小值為14． 1987年全國高中數(shù)學聯(lián)賽二試題 一．如圖，△ABC和△ADE是兩個不全等的等腰直角三角形，現(xiàn)固定△ABC

18、，而將△ADE繞A點在平面上旋轉，試證：不論△ADE旋轉到什么位置，線段EC上必存在點M，使△BMD為等腰直角三角形． 證明：以A為原點，AC為x軸正方向建立復平面．設C表示復數(shù)c，點E表示復數(shù)e(c、e∈R)．則點B表示復數(shù)b=c+ci，點D表示復數(shù)d=e－ei． 把△ADE繞點A旋轉角θ得到△AD￠E￠， 則點E￠表示復數(shù)e￠=e(cosθ+isinθ)．點D￠表示復數(shù)d￠=d(cosθ+isinθ) 表示E￠C中點M的復數(shù)m=(c+e￠)． ∴ 表示向量的復數(shù)：z1=b－(c+e￠)=c+ci－c－e(cosθ+isinθ)=－ecosθ+(c－esinθ)i． 表示向量

19、的復數(shù)：z2=d￠－m=(e－ei)(cosθ+isinθ)－c－e(cosθ+isinθ) =(esinθ－c)－iecosθ． 顯然：z2=z1i．于是|MB|=|MD￠|，且∠BMD￠=90°．即△BMD￠為等腰直角三角形．故證． 二．在坐標平面上，縱橫坐標都是整數(shù)的點稱為整點．試證：存在一個同心圓的集合，使得 ⑴每個整點都在此集合的某個圓周上； ⑵此集合的每個圓周上，有且只有一個整點．(辛澤爾定理) 證明 取一點，其兩個坐標都是無理數(shù)，例如W(，)，先證明，以W為圓心，任意長為半徑作的圓，至多通過一個格點． 設某個以W為圓心的圓通過兩個格點(m，n)，(p

20、，q)(m，n，p，q∈Z)， 則(m－)2+(n－)2=(p－)2+(q－)2． 展開整理得，m2+n2－p2－q2=2(p－m)+2(q－n)． 左邊是有理數(shù)，右邊當且僅當p=m，q=n時為有理數(shù)．故證． 于是可知以W為圓心的圓至多通過一個格點． 現(xiàn)考慮，平面上所有的點與W的距離，這些距離沒有兩個相等．故可以把所有的距離按從小到大排隊0=r0

21、圓上，且每個圓上都有且只有一個整點． 三．n(n>3)名乒乓球選手單打若干場后，任意兩個選手已賽過的對手恰好都不完全相同，試證明：總可以從中去掉一名選手，而使在余下的選手中，任意兩個選手已賽過的對手仍然都不完全相同． 證明1：用A、B、……表示選手，而用α(A)、α(B)表示A、B已賽過的對手集合． 設A是對手集中元素最多的的選手． 若命題不成立，則存在兩個選手B、C使去掉A后，B、C的對手集相同，由于α(B)≠α(C)，故A必屬于α(B)與α(C)之一．不妨設B∈α(A)，C?α(A)． 同樣存在D、E，使D∈α(C)，E?α(C)，去掉C后，α(D)=α(E)，由于A?α(C)，

22、故D≠A：又D∈α(C)，故D∈α(B)，即B∈α(D)=α(E)∪{C}，從而B∈α(E)，C?α(E)，而去掉A后，B、C的對手集相同，從而E=A． 于是α(A)=α(E)=α(D)\{C}，即α(A)比α(D)少一個元素C，這與A是“對手集中元素最多的”矛盾．故證． 又證：把這些選手編為1至n號，以n個點表示這n個人，各點也相應編為1至n號． 反設去掉任何一各選手后都有兩個選手的已賽過的對手完全相同．于是先去掉1號選手，則有兩個選手的已賽過的對手完全相同，設為第i號與第j號，在表示此二人的點間連一條線，并在線上注上“1號”．這說明，此二人在去掉1號選手之前必是一人與1號賽過，另

23、一人與1號沒有賽過．而且不可能在去掉1號后有三人都相同，否則，此三人與1號選手比賽的情況只有兩種：賽過或沒有賽過，如果去掉1號后，此三人的情況完全相同，則去掉1號之前必有2人賽過的對手完全相同．如果去掉1號后有不止一對選手的已賽過對手完全相同，則只任取其中的一對連線，其余的對則不連線． 連線后把1號選手放回來，再依次去掉2號、3號，……，直至n號，每去掉1個選手，都會在某兩點之間連出1條線．這樣，就在n個選手之間連了n條線．且這些線上分別注了1至n號，每條線注了1個號碼，每個號碼只注在1條線上． 在這10個點中，總能找到一點，從這點出發(fā)，沿線前進，最后必能回到此點，否則，每到1點后，經(jīng)過的點數(shù)都比線數(shù)多1．而圖中的點數(shù)與線數(shù)相等，矛盾．現(xiàn)不妨設從點i出發(fā)，經(jīng)過點j、k、……最后回到點i．注意到點i與點j所代表的兩各選手中1個是與1號比賽的，另一個是沒有與1號比賽的，不妨設i號沒有與1號比賽過，j號與1號比賽過．而j與k所連線上注的號碼不是1，故j與k與1號比賽的情況相同，即k號與1號比賽過，……，這樣沿線走一圈后回到i，就應該得出i號與1號比賽過，矛盾．故證．