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2019-2020年人教版高中數(shù)學(xué)必修三教案：3-2-1 古典概型 項(xiàng)目 內(nèi)容 課題 3.2.1 古典概型 （共 1 課時(shí)） 修改與創(chuàng)新 教學(xué) 目標(biāo) 1.根據(jù)本節(jié)課的內(nèi)容和學(xué)生的實(shí)際水平,通過模擬試驗(yàn)讓學(xué)生理解古典概型的特征：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的等可能性,觀察類比各個(gè)試驗(yàn),正確理解古典概型的兩大特點(diǎn)；樹立從具體到抽象、從特殊到一般的辯證唯物主義觀點(diǎn),培養(yǎng)學(xué)生用隨機(jī)的觀點(diǎn)來理性地理解世界,使得學(xué)生在體會(huì)概率意義的同時(shí),感受與他人合作的重要性以及初步形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和鍥而不舍的求學(xué)精神. 2.鼓勵(lì)學(xué)生通過觀察、類比,提高發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力,歸納總結(jié)出古典概型的概率計(jì)算公式,掌握古典概型的概率計(jì)算公式；注意公式：P（A）=的使用條件——古典概型,體現(xiàn)了化歸的重要思想.掌握列舉法,學(xué)會(huì)運(yùn)用分類討論的思想解決概率的計(jì)算問題,增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維情趣,形成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的積極態(tài)度. 教學(xué)重、 難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：理解古典概型的概念及利用古典概型求解隨機(jī)事件的概率. 教學(xué)難點(diǎn)：如何判斷一個(gè)試驗(yàn)是否是古典概型,分清在一個(gè)古典概型中某隨機(jī)事件包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù). 教學(xué) 準(zhǔn)備 多媒體課件 教學(xué)過程 導(dǎo)入新課 (1)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,結(jié)果只有2個(gè),即“正面朝上”或“反面朝上”,它們都是隨機(jī)事件. (2)一個(gè)盒子中有10個(gè)完全相同的球,分別標(biāo)以號(hào)碼1,2,3,…,10,從中任取一球,只有10種不同的結(jié)果,即標(biāo)號(hào)為1,2,3，…,10. 思考討論根據(jù)上述情況,你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同特點(diǎn)？ 為此我們學(xué)習(xí)古典概型,教師板書課題. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問題 試驗(yàn)一：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣,分別記錄“正面朝上”和“反面朝上”的次數(shù),要求每個(gè)數(shù)學(xué)小組至少完成20次（最好是整十?dāng)?shù)）,最后由學(xué)科代表匯總； 試驗(yàn)二：拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子,分別記錄“1點(diǎn)”“2點(diǎn)”“3點(diǎn)”“4點(diǎn)”“5點(diǎn)”和“6點(diǎn)”的次數(shù),要求每個(gè)數(shù)學(xué)小組至少完成60次（最好是整十?dāng)?shù)）,最后由學(xué)科代表匯總. （1）用模擬試驗(yàn)的方法來求某一隨機(jī)事件的概率好不好？為什么？ （2）根據(jù)以前的學(xué)習(xí),上述兩個(gè)模擬試驗(yàn)的每個(gè)結(jié)果之間都有什么特點(diǎn)？ （3）什么是基本事件？基本事件具有什么特點(diǎn)？ （4）什么是古典概型？它具有什么特點(diǎn)？ （5）對(duì)于古典概型,應(yīng)怎樣計(jì)算事件的概率？ 活動(dòng)：學(xué)生展示模擬試驗(yàn)的操作方法和試驗(yàn)結(jié)果,并與同學(xué)交流活動(dòng)感受,討論可能出現(xiàn)的情況,師生共同匯總方法、結(jié)果和感受. 討論結(jié)果：（1）用模擬試驗(yàn)的方法來求某一隨機(jī)事件的概率不好,因?yàn)樾枰M(jìn)行大量的試驗(yàn),同時(shí)我們只是把隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻率近似地認(rèn)為隨機(jī)事件的概率,存在一定的誤差. （2）上述試驗(yàn)一的兩個(gè)結(jié)果是“正面朝上”和“反面朝上”,它們都是隨機(jī)事件,出現(xiàn)的概率是相等的,都是0.5.上述試驗(yàn)二的6個(gè)結(jié)果是“1點(diǎn)”“2點(diǎn)”“3點(diǎn)”“4點(diǎn)”“5點(diǎn)”和“6點(diǎn)”,它們也都是隨機(jī)事件,出現(xiàn)的概率是相等的,都是. （3）根據(jù)以前的學(xué)習(xí),上述試驗(yàn)一的兩個(gè)結(jié)果“正面朝上”和“反面朝上”,它們都是隨機(jī)事件；上述試驗(yàn)二的6個(gè)結(jié)果“1點(diǎn)”“2點(diǎn)”“3點(diǎn)”“4點(diǎn)”“5點(diǎn)”和“6點(diǎn)”,它們都是隨機(jī)事件,像這類隨機(jī)事件我們稱為基本事件（elementary event）；它是試驗(yàn)的每一個(gè)可能結(jié)果. 基本事件具有如下的兩個(gè)特點(diǎn)： ①任何兩個(gè)基本事件是互斥的； ②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和. （4）在一個(gè)試驗(yàn)中如果 ①試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；（有限性） ②每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.（等可能性） 我們將具有這兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率模型（classical models of probability）,簡稱古典概型. 向一個(gè)圓面內(nèi)隨機(jī)地投射一個(gè)點(diǎn),如果該點(diǎn)落在圓內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的,你認(rèn)為這是古典概型嗎?為什么？ 因?yàn)樵囼?yàn)的所有可能結(jié)果是圓面內(nèi)所有的點(diǎn),試驗(yàn)的所有可能結(jié)果數(shù)是無限的,雖然每一個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的“可能性相同”,但這個(gè)試驗(yàn)不滿足古典概型的第一個(gè)條件. 如下圖,某同學(xué)隨機(jī)地向一靶心進(jìn)行射擊,這一試驗(yàn)的結(jié)果只有有限個(gè)：命中10環(huán)、命中9環(huán)……命中5環(huán)和不中環(huán).你認(rèn)為這是古典概型嗎？為什么？ 不是古典概型,因?yàn)樵囼?yàn)的所有可能結(jié)果只有7個(gè),而命中10環(huán)、命中9環(huán)……命中5環(huán)和不中環(huán)的出現(xiàn)不是等可能的,即不滿足古典概型的第二個(gè)條件. （5）古典概型,隨機(jī)事件的概率計(jì)算 對(duì)于實(shí)驗(yàn)一中,出現(xiàn)正面朝上的概率與反面朝上的概率相等,即 P（“正面朝上”）=P（“反面朝上”） 由概率的加法公式,得 P（“正面朝上”）+P（“反面朝上”）=P（必然事件）=1. 因此 P（“正面朝上”）=P（“反面朝上”）=. 即P（“出現(xiàn)正面朝上”)=. 試驗(yàn)二中,出現(xiàn)各個(gè)點(diǎn)的概率相等,即 P（“1點(diǎn)”）=P（“2點(diǎn)”）=P（“3點(diǎn)”）=P（“4點(diǎn)”）=P（“5點(diǎn)”）=P（“6點(diǎn)”）. 反復(fù)利用概率的加法公式,我們有P（“1點(diǎn)”）+P（“2點(diǎn)”）+P（“3點(diǎn)”）+P（“4點(diǎn)”）+P（“5點(diǎn)”）+P（“6點(diǎn)”）=P（必然事件）=1. 所以P（“1點(diǎn)”）=P（“2點(diǎn)”）=P（“3點(diǎn)”）=P（“4點(diǎn)”）=P（“5點(diǎn)”）=P（“6點(diǎn)”）=. 進(jìn)一步地,利用加法公式還可以計(jì)算這個(gè)試驗(yàn)中任何一個(gè)事件的概率,例如, P（“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”）=P（“2點(diǎn)”）+P（“4點(diǎn)”）+P（“6點(diǎn)”）=++==. 即P（“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”）=. 因此根據(jù)上述兩則模擬試驗(yàn),可以概括總結(jié)出,古典概型計(jì)算任何事件的概率計(jì)算公式為： P（A）=. 在使用古典概型的概率公式時(shí),應(yīng)該注意： ①要判斷該概率模型是不是古典概型； ②要找出隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和試驗(yàn)中基本事件的總數(shù). 下面我們看它們的應(yīng)用. 應(yīng)用示例 例1 從字母a,b,c,d中任意取出兩個(gè)不同字母的試驗(yàn)中,有哪些基本事件？ 活動(dòng)：師生交流或討論,我們可以按照字典排序的順序,把所有可能的結(jié)果都列出來. 解：基本事件共有6個(gè): A={a,b},B={a,c},C={a,d},D={b,c},E={b,d},F={c,d}. 點(diǎn)評(píng)：一般用列舉法列出所有基本事件的結(jié)果,畫樹狀圖是列舉法的基本方法. 分布完成的結(jié)果(兩步以上)可以用樹狀圖進(jìn)行列舉. 變式訓(xùn)練 用不同的顏色給下圖中的3個(gè)矩形隨機(jī)地涂色,每個(gè)矩形只涂一種顏色,求: (1)3個(gè)矩形顏色都相同的概率； (2)3個(gè)矩形顏色都不同的概率. 分析：本題中基本事件比較多,為了更清楚地枚舉出所有的基本事件,可以畫圖枚舉如下：（樹形圖） 解：基本事件共有27個(gè). (1)記事件A=“3個(gè)矩形涂同一種顏色”,由上圖可以知道事件A包含的基本事件有13=3個(gè),故P(A)=. (2)記事件B=“3個(gè)矩形顏色都不同”,由上圖可以知道事件B包含的基本事件有23=6個(gè),故P(B)=. 答：3個(gè)矩形顏色都相同的概率為；3個(gè)矩形顏色都不同的概率為. 例2 單選題是標(biāo)準(zhǔn)化考試中常用的題型,一般是從A,B,C,D四個(gè)選項(xiàng)中選擇一個(gè)正確答案.如果考生掌握了考查的內(nèi)容,他可以選擇唯一正確的答案.假設(shè)考生不會(huì)做,他隨機(jī)地選擇一個(gè)答案,問他答對(duì)的概率是多少？ 活動(dòng)：學(xué)生閱讀題目,搜集信息,交流討論,教師引導(dǎo),解決這個(gè)問題的關(guān)鍵,即討論這個(gè)問題什么情況下可以看成古典概型.如果學(xué)生掌握或者掌握了部分考查內(nèi)容,這都不滿足古典概型的第2個(gè)條件——等可能性,因此,只有在假定學(xué)生不會(huì)做,隨機(jī)地選擇了一個(gè)答案的情況下,才可以化為古典概型. 解：這是一個(gè)古典概型,因?yàn)樵囼?yàn)的可能結(jié)果只有4個(gè)：選擇A、選擇B、選擇C、選擇D,即基本事件共有4個(gè),考生隨機(jī)地選擇一個(gè)答案是選擇A,B,C,D的可能性是相等的.從而由古典概型的概率計(jì)算公式得：P（“答對(duì)”）==0.25. 點(diǎn)評(píng)：古典概型解題步驟: （1）閱讀題目,搜集信息； （2）判斷是否是等可能事件,并用字母表示事件； （3）求出基本事件總數(shù)n和事件A所包含的結(jié)果數(shù)m； （4）用公式P(A)=求出概率并下結(jié)論. 變式訓(xùn)練 1.兩枚均勻硬幣,求出現(xiàn)兩個(gè)正面的概率. 解：樣本空間：{甲正乙正,甲正乙反,甲反乙正,甲反乙反}. 這里四個(gè)基本事件是等可能發(fā)生的,故屬古典概型. n=4,m=1,P=. 2.一次投擲兩顆骰子,求出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)的概率. 解法一:設(shè)表示“出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為奇數(shù)”,用(i,j)記“第一顆骰子出現(xiàn)i點(diǎn), 第二顆骰子出現(xiàn)j點(diǎn)”,i,j=1,2,…6.顯然出現(xiàn)的36個(gè)基本事件組成等概樣本空間,其中A包含的基本事件個(gè)數(shù)為k=33+33=18,故P(A)=. 解法二:若把一次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果取為：（奇,奇）,（奇,偶）,（偶,奇）,（偶,偶）,則它們也組成等概率樣本空間.基本事件總數(shù)n=4,A包含的基本事件個(gè)數(shù)k=2,故P(A)=. 解法三:若把一次試驗(yàn)的所有可能結(jié)果取為：{點(diǎn)數(shù)和為奇數(shù)},{點(diǎn)數(shù)和為偶數(shù)},也組成等概率樣本空間,基本事件總數(shù)n=2,A所含基本事件數(shù)為1,故P(A)=. 注：找出的基本事件組構(gòu)成的樣本空間,必須是等概率的.解法2中倘若解為：（兩個(gè)奇）,（一奇一偶）,（兩個(gè)偶）當(dāng)作基本事件組成樣本空間,則得出P(A)=,錯(cuò)的原因就是它不是等概率的.例如P（兩個(gè)奇）=,而P（一奇一偶）=.本例又告訴我們,同一問題可取不同的樣本空間解答. 例3 同時(shí)擲兩個(gè)骰子,計(jì)算： (1)一共有多少種不同的結(jié)果? (2)其中向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的結(jié)果有多少種? (3)向上的點(diǎn)數(shù)之和是5的概率是多少? 解：(1)擲一個(gè)骰子的結(jié)果有6種.我們把兩個(gè)骰子標(biāo)上記號(hào)1,2以便區(qū)分,由于1號(hào)骰子的每一個(gè)結(jié)果都可與2號(hào)骰子的任意一個(gè)結(jié)果配對(duì),組成同時(shí)擲兩個(gè)骰子的一個(gè)結(jié)果,因此同時(shí)擲兩個(gè)骰子的結(jié)果共有36種. (2)在上面的所有結(jié)果中,向上的點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果有(1,4),(2,3),(3,2),(4,1),其中第一個(gè)數(shù)表示1號(hào)骰子的結(jié)果,第二個(gè)數(shù)表示2號(hào)骰子的結(jié)果. (3)由于所有36種結(jié)果是等可能的,其中向上點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果(記為事件A)有4種,因此,由古典概型的概率計(jì)算公式可得P(A)=. 例4 假設(shè)儲(chǔ)蓄卡的密碼由4個(gè)數(shù)字組成,每個(gè)數(shù)字可以是0,1,2,…,9十個(gè)數(shù)字中的任意一個(gè).假設(shè)一個(gè)人完全忘記了自己的儲(chǔ)蓄卡密碼,問他到自動(dòng)取款機(jī)上隨機(jī)試一次密碼就能取到錢的概率是多少? 解：一個(gè)密碼相當(dāng)于一個(gè)基本事件,總共有10 000個(gè)基本事件,它們分別是0000,0001,0002,…,9998,9999.隨機(jī)地試密碼,相當(dāng)于試到任何一個(gè)密碼的可能性都是相等的,所以這是一個(gè)古典概型.事件“試一次密碼就能取到錢”由1個(gè)基本事件構(gòu)成,即由正確的密碼構(gòu)成.所以P(“試一次密碼就能取到錢”)=. 發(fā)生概率為的事件是小概率事件,通常我們認(rèn)為這樣的事件在一次試驗(yàn)中是幾乎不可能發(fā)生的,也就是通過隨機(jī)試驗(yàn)的方法取到儲(chǔ)蓄卡中的錢的概率是很小的.但我們知道,如果試驗(yàn)很多次,比如100 000次,那么這個(gè)小概率事件是可能發(fā)生的.所以,為了安全,自動(dòng)取款機(jī)一般允許取款人最多試3次密碼,如果第4次鍵入的號(hào)碼仍是錯(cuò)誤的,那么取款機(jī)將“沒收”儲(chǔ)蓄卡.另外,為了使通過隨機(jī)試驗(yàn)的方法取到儲(chǔ)蓄卡中的錢的概率更小,現(xiàn)在儲(chǔ)蓄卡可以使用6位數(shù)字作密碼. 人們?yōu)榱朔奖阌洃?通常用自己的生日作為儲(chǔ)蓄卡的密碼.當(dāng)錢包里既有身份證又有儲(chǔ)蓄卡時(shí),密碼泄密的概率很大.因此用身份證上的號(hào)碼作密碼是不安全的. 例5 某種飲料每箱裝6聽,如果其中有2聽不合格,問質(zhì)檢人員從中隨機(jī)抽出2聽,檢測出不合格產(chǎn)品的概率有多大? 解：我們把每聽飲料標(biāo)上號(hào)碼,合格的4聽分別記作:1,2,3,4,不合格的2聽分別記作a,b,只要檢測的2聽中有1聽不合格,就表示查出了不合格產(chǎn)品. 依次不放回地從箱中取出2聽飲料,得到的兩個(gè)標(biāo)記分別記為x和y,則(x,y)表示一次抽取的結(jié)果,即基本事件.由于是隨機(jī)抽取,所以抽取到任何基本事件的概率相等.用A表示“抽出的2聽飲料中有不合格產(chǎn)品”,A1表示“僅第一次抽出的是不合格產(chǎn)品”,A2表示“僅第二次抽出的是不合格產(chǎn)品”,A12表示“兩次抽出的都是不合格產(chǎn)品”,則A1,A2和A12是互不相容的事件,且A=A1∪A2∪A12,從而P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A12). 因?yàn)锳1中的基本事件的個(gè)數(shù)為8,A2中的基本事件的個(gè)數(shù)為8,A12中的基本事件的個(gè)數(shù)為2,全部基本事件的總數(shù)為30,所以P(A)==0.6. 知能訓(xùn)練 本節(jié)練習(xí)1、2、3. 拓展提升 一個(gè)各面都涂有色彩的正方體,被鋸成1 000個(gè)同樣大小的小正方體,將這些正方體混合后,從中任取一個(gè)小正方體,求：（1）有一面涂有色彩的概率；（2）有兩面涂有色彩的概率；（3）有三面涂有色彩的概率. 解：在1 000個(gè)小正方體中,一面涂有色彩的有826個(gè),兩面涂有色彩的有812個(gè),三面涂有色彩的有8個(gè),∴（1）有一面涂有色彩的概率為P1==0.384； （2）有兩面涂有色彩的概率為P2==0.096； （3）有三面涂有色彩的概率為P3==0.008. 答：（1）一面涂有色彩的概率為0.384；（2）有兩面涂有色彩的概率為0.096；（3）有三面涂有色彩的概率為0.008. 課堂小結(jié) 1.古典概型 我們將具有 （1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的基本事件只有有限個(gè)；（有限性） （2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.（等可能性） 這樣兩個(gè)特點(diǎn)的概率模型稱為古典概率概型,簡稱古典概型. 2.古典概型計(jì)算任何事件的概率計(jì)算公式 P（A）=. 3.求某個(gè)隨機(jī)事件A包含的基本事件的個(gè)數(shù)和實(shí)驗(yàn)中基本事件的總數(shù)的常用方法是列舉法（畫樹狀圖和列表）,應(yīng)做到不重不漏. 作業(yè) 習(xí)題3.2 A組1、2、3、4. 板書設(shè)計(jì) 教學(xué)反思 本節(jié)課的教學(xué)通過提出問題,引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題,經(jīng)歷思考交流概括歸納后得出古典概型的概念,由兩個(gè)問題的提出進(jìn)一步加深對(duì)古典概型的兩個(gè)特點(diǎn)的理解；再通過學(xué)生觀察類比推導(dǎo)出古典概型的概率計(jì)算公式.這一過程能夠培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力. 在解決概率的計(jì)算上,教師鼓勵(lì)學(xué)生嘗試列表和畫出樹狀圖,讓學(xué)生感受求基本事件個(gè)數(shù)的一般方法,從而化解由于沒有學(xué)習(xí)排列組合而學(xué)習(xí)概率這一教學(xué)困惑.由此,整個(gè)教學(xué)設(shè)計(jì)可以在教師的期盼中實(shí)施.