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2、 1 課時規(guī)范練44　雙曲線 一、選擇題 1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=3,則動點P的軌跡是(　　) A.雙曲線 B.雙曲線左邊一支 C.雙曲線右邊一支 D.一條射線 答案:C 解析:∵|PM|-|PN|=3<4,由雙曲線定義知,其軌跡為雙曲線的一支. 又∵|PM|>|PN|,故點P的軌跡為雙曲線的右支. 2.與橢圓+y2=1共焦點且過點

3、P(2,1)的雙曲線方程是(　　) A.-y2=1 B.-y2=1 C.=1 D.x2-=1 答案:B 解析:橢圓+y2=1的焦點為(±,0). 因為雙曲線與橢圓共焦點,所以排除A,C. 又雙曲線-y2=1經(jīng)過點(2,1),所以選B. 3.如圖,正六邊形ABCDEF的兩個頂點A,D為雙曲線的兩個焦點,其余4個頂點都在雙曲線上,則該雙曲線的離心率是(　　) A.+1 B.-1 C. D. 答案:A 解析:令正六邊形的邊長為m,則有AD=2m,AB=m,BD=m, 該雙曲線的離心率等于+1. 4.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的一個頂點與拋物線y2=20x的焦點重合

4、,該雙曲線的離心率為,則該雙曲線的漸近線斜率為(　　) A.±2 B.± C.± D.± 答案:C 解析:由拋物線y2=20x的焦點坐標為(5,0),可得雙曲線=1的一個頂點坐標為(5,0),即得a=5. 又由e=,可解得c=, 則b2=c2-a2=,即b=. 由此可得雙曲線的漸近線的斜率為k=±=±. 5.設F1,F2是雙曲線-y2=1的兩個焦點,點P在雙曲線上,當△F1PF2的面積為2時,的值為(　　) A.2 B.3 C.4 D.6 答案:B 解析:設點P(x0,y0),依題意得,|F1F2|=2=4, |F1F2||y0|=2|y0|=2,∴|y0|=1. 又∵

5、=1,∴=3(+1)=6, ·=(-2-x0,-y0)·(2-x0,-y0)=-4=3. 6.(20xx山東高考)拋物線C1:y=x2(p>0)的焦點與雙曲線C2:-y2=1的右焦點的連線交C1于第一象限的點M.若C1在點M處的切線平行于C2的一條漸近線,則p=(　　) A. B. C. D. 答案:D 解析:設M,y'='=,故在M點處的切線的斜率為,故M.由題意又可知拋物線的焦點為,雙曲線右焦點為(2,0),且,(2,0)三點共線,可求得p=,故選D. 二、填空題 7.(20xx江蘇高考)雙曲線=1的兩條漸近線的方程為　　　　　.? 答案:y=±x 解析:由題意可知所求雙

6、曲線的漸近線方程為y=±x. 8.已知雙曲線x2-=1的左頂點為A1,右焦點為F2,P為雙曲線右支上一點,則的最小值為　　　　　.? 答案:-2 解析:由題可知A1(-1,0),F2(2,0).設P(x,y)(x≥1), 則=(-1-x,-y),=(2-x,-y),·=(-1-x)(2-x)+y2=x2-x-2+y2=x2-x-2+3(x2-1)=4x2-x-5. ∵x≥1,函數(shù)f(x)=4x2-x-5的圖象的對稱軸為x=, ∴當x=1時,·取得最小值-2. 9.中心在原點的雙曲線,一個焦點為F(0,),一個焦點到最近頂點的距離是-1,則雙曲線的方程是　　　　　.? 答案:y2

7、-=1 10.設雙曲線x2-=1的兩個焦點為F1,F2,P是雙曲線上的一點,且|PF1|∶|PF2|=3∶4,則△PF1F2的面積等于　　　　　.? 答案:8 解析:依題意|F1F2|=6,|PF2|-|PF1|=2,又|PF1|∶|PF2|=3∶4,所以|PF1|=6,|PF2|=8,所以等腰△PF1F2的面積為S=×8×=8. 11.已知雙曲線=1(a>0,b>0)的左、右頂點分別是A1,A2,M是雙曲線上任意一點,若直線MA1,MA2的斜率之積等于2,則該雙曲線的離心率是　　　　　.? 答案: 解析:設點M(x0,y0),A1(-a,0),A2(a,0), 則直線MA1的斜

8、率是,直線MA2的斜率是,直線MA1,MA2的斜率之積是·,故=2,故該雙曲線的離心率e=. 三、解答題 12.已知雙曲線C1:=1(a>0,b>0)的離心率為2.若拋物線C2:x2=2py(p>0)的焦點到雙曲線C1的漸近線的距離為2,求拋物線C2的方程. 解:由于e==2,∴c=2a,即c2=4a2.又有c2=a2+b2,∴b2=3a2,即b=a.∴雙曲線的漸近線方程y=±x即為y=±x, 即±x+y=0. 又拋物線的焦點坐標為F,F到漸近線的距離為2, 即=2,解得p=8. ∴拋物線C2的方程為x2=16y. 13.已知雙曲線的中心在原點,焦點F1,F2在坐標軸上,離心率

9、為,且過點(4,-),點M(3,m)在雙曲線上. (1)求雙曲線方程; (2)求證:=0; (3)求△F1MF2的面積. (1)解:因為e=,所以可設雙曲線方程為x2-y2=λ. 因為雙曲線過點(4,-), 所以16-10=λ,即λ=6. 所以雙曲線方程為x2-y2=6. (2)證明:由(1)可知a=b=,所以c=2. 所以F1(-2,0),F2(2,0). 所以=-. 因為點(3,m)在雙曲線上,所以9-m2=6,即m2=3. 故·=-1,所以MF1⊥MF2.所以·=0. (3)解:△F1MF2的底邊長|F1F2|=4, △F1MF2的高h=|m|=,所以=6.

10、 [來源:] 14.如圖所示,雙曲線的中心在坐標原點,焦點在x軸上,F1,F2分別為左、右焦點,雙曲線的左支上有一點P,∠F1PF2=,且△PF1F2的面積為2,又雙曲線的離心率為2,求該雙曲線的方程. 解:設雙曲線方程為=1(a>0,b>0),[來源:數(shù)理化網(wǎng)] F1(-c,0),F2(c,0),P(x0,y0). 在△PF1F2中,由余弦定理,得[來源:] |F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos =(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|, 即4c2=4a2+|PF1|·|PF2|, 又∵=2, ∴|PF1|·|PF2|·

11、sin=2, ∴|PF1|·|PF2|=8. ∴4c2=4a2+8,即b2=2. 又∵e==2,∴a2=, ∴雙曲線的方程為=1. 15.直線l:y=(x-2)和雙曲線C:=1(a>0,b>0)交于A,B兩點,且|AB|=,又l關于直線l1:y=x對稱的直線l2與x軸平行. (1)求雙曲線C的離心率; (2)求雙曲線C的方程.[來源:] 解:(1)設雙曲線C:=1過一、三象限的漸近線l1:=0的傾斜角為α. 因為l和l2關于l1對稱,記它們的交點為P. 而l2與x軸平行,記l2與y軸交點為Q點. 依題意有∠QPO=∠POM=∠OPM=α. 又l:y=(x-2)的傾斜

12、角為60°,則2α=60°, 所以tan 30°=.于是e2==1+=1+, 所以e=. (2)由,可設雙曲線方程為=1,即x2-3y2=3k2. 將y=(x-2)代入x2-3y2=3k2中得x2-3·3(x-2)2=3k2.化簡得8x2-36x+36+3k2=0. 設A(x1,y1),B(x2,y2),則|AB|=|x1-x2| =2=2 =,求得k2=1. 故所求雙曲線C的方程為-y2=1. 四、選做題 1.已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點F恰為雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點,且兩曲線交點的連線過點F,則雙曲線的離心率為(　　) A.2+ B.1+ C.2

13、 D. 答案:B 解析:拋物線y2=2px(p>0)的焦點F,故雙曲線=1(a>0,b>0)的右焦點為,根據(jù)圖形的性質可知兩曲線交點的連線AB垂直于x軸,故AB為雙曲線的通徑,則有=2p,∴p2=,又A在雙曲線上,故=1,整理得=1. 設=t,∴t2-4t-4=0,∴t=2+2. ∵e2==1+2+2=3+2=(1+)2, ∴e=1+. 2.已知雙曲線x2-y2=1,點F1,F2為其兩個焦點,點P為雙曲線上一點,若PF1⊥PF2,則|PF1|+|PF2|的值為　　　　　.? 答案:2 解析:不妨設點P在雙曲線的右支上,因為PF1⊥PF2, 所以(2)2=|PF1|2+|PF2

14、|2,又因為|PF1|-|PF2|=2,所以(|PF1|-|PF2|)2=4,可得2|PF1|·|PF2|=4,則(|PF1|+|PF2|)2=|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|·|PF2|=12,所以|PF1|+|PF2|=2. 3.已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0),右頂點為(,0). (1)求雙曲線C的方程;[來源:數(shù)理化網(wǎng)] (2)若直線l:y=kx+與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B,且>2(其中O為原點),求k的取值范圍. 解:(1)設雙曲線C的方程為=1(a>0,b>0). 由已知得a=,c=2,再由c2=a2+b2得b2=1, 所以雙曲線C的方程為-y2=1. (2)將y=kx+代入-y2=1中, 整理得(1-3k2)x2-6kx-9=0, 由題意得 故k2≠且k2<1.① 設A(xA,yA),B(xB,yB), 則xA+xB=,xAxB=, 由·>2得xAxB+yAyB>2, xAxB+yAyB=xAxB+(kxA+)(kxB+)=(k2+1)xAxB+k(xA+xB)+2=(k2+1)·k·+2=, 于是>2,即>0,解得