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1、 課時(shí)規(guī)范練35　空間幾何體的表面積與體積 一、選擇題 1.正六棱柱的高為6,底面邊長為4,則它的表面積為(　) A.48(3+) B.48(3+2) C.24() D.144 答案:A 2.如圖,一個(gè)簡(jiǎn)單組合體的正視圖和側(cè)視圖相同,是由一個(gè)正方形與一個(gè)正三角形構(gòu)成,俯視圖中,圓的半徑為.則該組合體的表面積為(　　) A.15π B.18π C.21π D.24π 答案:C 解析:由三視圖可知,該幾何體是由圓錐與等底面的圓柱組合而成的組合體,所以該幾何體的表面積是圓錐的側(cè)面積、圓柱的側(cè)面積和底面圓的面積的和,所以該幾何體的表面積為S=π××2+2π××

2、2+π×()2=21π. 3.一個(gè)幾何體按比例繪制的三視圖如圖所示(單位:m),則該幾何體的體積為(　) A. m3 B. m3 C. m3 D. m3 答案:C 解析:結(jié)合三視圖可知,該幾何體是由三個(gè)棱長為1 m的正方體和半個(gè)棱長為1 m的正方體組成的,所以該幾何體的體積V=3×1×1×1+×1×1×1=(m3). 4.圓臺(tái)的一個(gè)底面周長是另一個(gè)底面周長的3倍,母線長為3,圓臺(tái)的側(cè)面積為84π,則圓臺(tái)較小底面的半徑為(　　) A.7 B.6 C.5 D.3 答案:A 解析:設(shè)圓臺(tái)較小底面半徑為r,則另一底面半徑為3r.[來源:] 由S=π(r+3r)·3=84π,解得r

3、=7. 5.某幾何體的三視圖如圖所示,其中俯視圖是個(gè)半圓,則該幾何體的表面積為(　　) A.π B.π+ C.π+ D.π+ 答案:C 解析:由三視圖可知該幾何體為一個(gè)半圓錐,即由一個(gè)圓錐沿中軸線切去一半而得.∴S=×2××π+×2π×1=π+. 6.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,則該幾何體的表面積為(　) A.75+2 B.75+4 C.48+4 D.48+2 答案:B 解析:由三視圖可知該幾何體是一個(gè)四棱柱.兩個(gè)底面面積之和為2××3=27,四個(gè)側(cè)面的面積之和是(3+4+5+)×4=48+4,故表面積是75+4. 7.設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面,所有棱的長都為a,頂

4、點(diǎn)都在一個(gè)球面上,則該球的表面積為(　　) A.πa2 B.πa2 C.πa2 D.5πa2 答案:B 解析:如圖,O1,O分別為上、下底面的中心, D為O1O的中點(diǎn),則DB為球的半徑,有r=DB=, ∴S表=4πr2=4π×πa2. 二、填空題 8.四棱錐P-ABCD的頂點(diǎn)P在底面ABCD中的投影恰好是A,其三視圖如圖,則四棱錐P-ABCD的體積為　　　　　.? 答案:a3 解析:易知該四棱錐中,PA⊥底面ABCD,PA=a,底面是邊長為a的正方形,故體積V=a2×a=a3. 9.已知一個(gè)圓錐的展開圖如圖所示,其中扇形的圓心角為120°,底面圓的半徑為1,則

5、該圓錐的體積為　　　　　.? 答案: 解析:因?yàn)樯刃位￠L為2π,所以圓錐母線長為3,高為2,所求體積V=×π×12×2. 10.若一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是邊長為2的正方形,則此圓柱的體積為　　　　　.? 答案: 解析:設(shè)圓柱的底面半徑為r,高為h,底面積為S,體積為V,則有2πr=2?r=,故底面面積S=πr2=π×,故圓柱的體積V=Sh=×2=. 11.已知某幾何體的三視圖的正視圖和側(cè)視圖是全等的等腰梯形,俯視圖是兩個(gè)同心圓,如圖所示,則該幾何體的全面積為　　　　　.? 答案:26π 解析:由三視圖知該幾何體為上底直徑為2,下底直徑為6,高為2的圓臺(tái),則幾何體的全面積S=π

6、×1+π×9+π×(1+3)×=26π. 12.如圖是一個(gè)空間幾何體的三視圖,則這個(gè)幾何體的外接球的體積是　　　　　.? 答案:π cm3 解析:由題意可知,該幾何體是一個(gè)有同一頂點(diǎn)的三條棱兩兩垂直的三棱錐,該三棱錐的底面是直角三角形,它的兩條直角邊的長度分別為4,3,三棱錐的高為5,以長4、寬3、高5補(bǔ)成一個(gè)長方體,可知外接球的大圓直徑就等于該長方體的體對(duì)角線的長,從而有2R==5(cm),故球的體積為V=πR3=π(cm3). 三、解答題 13. 已知某幾何體的俯視圖是如圖所示的矩形,正視圖是一個(gè)底邊長為8,高為4的等腰三角形,側(cè)視圖是一個(gè)底邊長為6,高為4的等腰三角形

7、. (1)求該幾何體的體積V; (2)求該幾何體的側(cè)面積S. 解:由已知可得該幾何體是一個(gè)底面為矩形,高為4,頂點(diǎn)在底面的射影是矩形中心的四棱錐. (1)V=×(8×6)×4=64. (2)該四棱錐有兩個(gè)側(cè)面PAD,PBC是全等的等腰三角形,且BC邊上的高為h1==4,另兩個(gè)側(cè)面PAB,PCD也是全等的等腰三角形,AB邊上的高為h2==5,因此S=2=40+24. 14.如圖所示,在邊長為5+的正方形ABCD中,以A為圓心畫一個(gè)扇形,以O(shè)為圓心畫一個(gè)圓,M,N,K為切點(diǎn),以扇形為圓錐的側(cè)面,以圓O為圓錐底面,圍成一個(gè)圓錐,求圓錐的全面積與體積. 解:設(shè)圓錐的母線長為l,底面

8、半徑為r,高為h, 由已知條件 解得r=,l=4, S全面積=πrl+πr2=10π,h=,V=πr2h=2π. 15.一個(gè)多面體的直觀圖和三視圖如圖所示,其中M,N分別是AB,AC的中點(diǎn),G是DF上的一動(dòng)點(diǎn). [來源:] (1)求該多面體的體積與表面積; (2)求證:GN⊥AC; (3)當(dāng)FG=GD時(shí),在棱AD上確定一點(diǎn)P,使得GP∥平面FMC,并給出證明. (1)解:由題中三視圖可知該多面體為直三棱柱, AD⊥DF,DF=AD=DC=a, ∴該多面體的體積為a3, 表面積為a2×2+a2+a2+a2=(3+)a2. (2)證明:連接DB,由四邊形ABCD為正方

9、形,且N為AC的中點(diǎn)知B,N,D三點(diǎn)共線,且AC⊥DN.[來源:] ∵GD⊥AD,GD⊥CD,AD∩CD=D, ∴GD⊥平面ABCD. ∵AC?平面ABCD, ∴GD⊥AC. 又DN∩GD=D, ∴AC⊥平面GDN,∴GN⊥AC. (3)解:點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),GP∥平面FMC. 證明:取FC的中點(diǎn)H,連接GH,GA,MH. ∵G是DF的中點(diǎn),∴GH􀰿CD. 又M是AB的中點(diǎn),∴AM􀰿CD. ∴GH􀰿AM,∴四邊形GHMA是平行四邊形. ∴GA∥MH. ∵M(jìn)H?平面FMC,GA?平面FMC, ∴GA∥平面FMC,

10、 即當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A重合時(shí),GP∥平面FMC. 四、選做題 1.過四面體一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的中點(diǎn)可以確定一個(gè)平面,這樣的平面有4個(gè),用這樣的四個(gè)平面截去4個(gè)小棱錐后,剩下的幾何體的表面積與原四面體的表面積之比為(　　) A.1∶2 B.3∶2 C.4∶3 D.1∶3 答案:A 解析:如圖所示,設(shè)四面體四個(gè)面的面積分別為S1,S2,S3,S4,則依題意截去四個(gè)小棱錐后,得到的四個(gè)截面的面積分別為S1,S2,S3,S4,原四面體各個(gè)面上剩余部分的面積為S1,S2,S3,S4,則剩下的幾何體的表面積為2×,其與原四面體的表面積之比為,故應(yīng)選A. 2.如圖,已知正三棱柱ABC-A1B1C

11、1的底面邊長為2 cm,高為5 cm,則一質(zhì)點(diǎn)自點(diǎn)A出發(fā),沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達(dá)點(diǎn)A1的最短路線的長為　　　　cm.? 答案:13[來源:] 3.如圖,在三棱錐P-ABC中,PA⊥底面ABC,D是PC的中點(diǎn).已知∠BAC=,AB=2,AC=2,PA=2.求: [來源:] (1)三棱錐P-ABC的體積; (2)異面直線BC與AD所成的角的余弦值. 解:(1)S△ABC=×2×2=2,三棱錐P-ABC的體積為V=S△ABC×PA=×2×2=. (2)取PB的中點(diǎn)E,連接DE,AE, 則ED∥BC, 所以∠ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角. 在△ADE中,DE=2,AE=,AD=2, cos∠ADE=, 因此,異面直線BC與AD所成的角的余弦值是.